A Incrível Eficácia da Matemática nas Ciências Naturais

“O matemático joga um jogo – no qual ele mesmo inventa as regras, enquanto o físico joga um jogo no qual as regras são inventadas pela Natureza.”  (Paul Dirac) 

Há uma interessante estória sobre 2 amigos — ex-colegas de escola — conversando sobre suas vidas. Um deles…que se tornou estatístico – lidando com “tendências populacionais”…  –  mostrava ao velho amigo uma edição de seu trabalho. Como de praxe, o artigo se iniciava com a ‘distribuição de Gauss’, e   o estatístico explicava ao ex-colega o significado dos dados para a população atual, para a média da população, e assim por diante. Este então ficou incrédulo, sem saber ao certo se o estatístico estava falando a verdade…

Como você pode saber disso?“, era sua dúvida…”E o que é este símbolo aqui?” – “É o pi” disse o estatístico… – “E o que significa?“…A razão da circunferência do círculo pelo seu diâmetro“…Bem, agora você  já está indo longe demais!… – que diabos uma população pode ter a ver com a circunferência do círculo”…resmungou o colega, desconfiado.

Naturalmente, estamos inclinados a sorrir com a simplicidade da abordagem do amigo.   No entanto, quando ouvi essa estória tive que admitir um sentimento estranho, porque, certamente, a reação do colega, se julgando traído…era apenas de bom senso.

Fiquei ainda mais confuso quando – poucos dias mais tarde … alguém veio até a mim, e expressou sua perplexidade com o fato de fazermos uma seleção tão rigorosa na escolha dos dados em que testamos as nossas teorias… – Dessa forma, como saberíamos que ao construirmos uma teoria – centrada em aspectos que desconsideram alguns fenômenos atuais mais relevantes, não poderíamos construir uma outra, que – apesar de pouco em comum com a teoria vigente – explicasse tantos… ou mais fenômenos quanto aquela?…

  Temos de admitir que… – não possuímos nenhuma                                          evidência definitiva de não existir tal possibilidade.

Todos exemplos anteriores ilustram os 2 aspectos principais…objetos do presente ensaio. O primeiro é que os  ‘conceitos matemáticos aparecem em conexões totalmente inesperadas’.  O segundo é que justamente por causa disso… e por não entendermos as razões de sua utilidade, não podemos, a princípio… saber se uma teoria formulada em termos de conceitos matemáticos…é a totalmente apropriada…ao fenômeno em questão.

A maior parte do que será dito sobre estas questões não será novidade; provavelmente de alguma forma, em algum momento, ocorreu com a maioria dos cientistas…Meu principal objetivo é uma abordagem do assunto sob vários ângulos.

O 1º deles é que a extraordinária utilidade da matemática nas ‘ciências naturais é algo que beira o mistério, não havendo explicação racional para isso…O 2º, é justamente,   a incondicional aplicação desses conceitos matemáticos aos ‘fenômenos físicos’… – o que levanta a questão da Unicidade das Teorias Físicas… (tema…cuja resposta apropriada exigiria um trabalho teórico mais elaborado; anexo ao presente artigo).

A fim de estabelecer o 1º tema…que a ‘Matemática desempenha um papel super importante na Física’… – serão úteis algumas palavras sobre os seguintes itens:

a)“O que é a matemática?”; b) “O que é física?”; c) “Como a matemática se insere nas teorias físicas”; d) “Por que o sucesso matemático na física parece tão desconcertante”.

a) O que é Matemática?

Alguém uma vez disse que… Filosofia é o mau uso de uma terminologia que foi inventada apenas para esta finalidade“… (W. Dubislav, 1932). Na mesma linha,               eu diria que…

Matemática é a ciência das operações práticas, com                                      regras e conceitos ‘inventados‘ apenas para este fim”.

Ipso facto, a matemática logo ficaria sem teoremas interessantes, se esses tivessem de ser formulados em termos de conceitos que já aparecem nos axiomas… Além disso, enquanto é uma verdade inquestionável que os conceitos de matemática elementar… especialmente ‘geometria elementar’ foram formulados para descrever entidades diretamente propostas no mundo real — o mesmo não parece ser verdade para os conceitos mais avançados…em particular, aqueles que desempenham tão importante função na física moderna.

Assim, enquanto regras de operações com pares ordenados são logicamente concebidas para dar os mesmos resultados que as com frações; – as regras de operações com séries, ou números irracionais, pertencem à categoria de ‘regras determinadas’ – de maneira a reproduzir operações com quantidades já conhecidas.

Os mais avançados conceitos matemáticos tais como números complexos, álgebras,   e operadores linearesforam engendrados de tal forma, a se tornaram instrumentos úteis – pelos quais o matemático pode mostrar sua engenhosidade…e seu senso estético.

Certamente é difícil acreditar que o nosso poder de raciocínio foi levado, pelo processo de Darwin da seleção natural à perfeição que parece possuir. No entanto, o principal ponto a se destacar é a possibilidade de se formular um punhado de teoremas interessantes…sem   a necessidade de se definir conceitos além daqueles contidos nos axiomas. E os conceitos externos aos axiomas…sendo definidos com o objetivo de permitir engenhosas operações lógicas… – logram alcançar o senso estético de alta universalidade, simplicidade, e beleza.

O bom matemático – quase que absoluta… e implacavelmente, explora o domínio do possível, contornando o raciocínio impossível. Que sua imprudência não o leve a um emaranhado de contradições… – é um verdadeiro milagre.

numero complexo

Os números complexos  nesse caso, fornecem um exemplo particularmente notável. – Certamente, nada em nossa ‘experiência cotidiana‘, sugere a introdução destas quantidades.

A  propósito, se um matemático é solicitado a justificar seu interesse em “números complexos”, ele irá apontar — certamente — para os mais belos teoremas…as mais intrincadas equações … séries de potência … e funções analíticas em geral… — as quais devem sua origem… à introdução dos números complexos…Ele, decerto, não estará disposto a desistir de seu interesse por uma das mais belas realizações da genialidade humana.

b) O que é física?                                                                                                                  Tudo aquilo que não pode ser descrito em termos de figuras,                                      números ou relações, não pode pertencer ao campo da física.’                                        (Galileu Galilei; 1564-1642)

O interesse do físico é descobrir as leis da natureza inanimada. Para compreender essa afirmação, é necessário analisar o conceito leis da natureza. O mundo à nossa volta       é de uma complexidade desconcertante… E, como Schrödinger observou, é um milagre que, apesar disto, certas regularidades nos eventos‘ possam ser descobertas.

Galileu

Galileu e a Torre de Pisa

Uma dessas… por exemplo  –  descoberta por Galileu… é que 2 pedras (com pesos distintos), lançadas simultaneamente, de uma mesma altura  –  atingem o solo, ao mesmo tempo.

As leis da natureza se reportam a tais regularidades. O exemplo de Galileu é     um protótipo de uma grande classe de regularidades; e, representa uma das mais surpreendentes – por 3 razões…

A primeira delas, é que é verdadeira não só em Pisa — e, na época de Galileu; mas em toda parte da Terra foi sempre assim, e assim sempre será.

Esta regularidade é reconhecida como propriedade de invariância’ (sem ‘princípios de invariância’ semelhantes aos implicados na generalização da observação de Galileu, a física não seria possível.)

A 2ª característica surpreendente é que, a regularidade de que estamos falando é independente de tantas condições – quantas possam ter efeito sobre ela. É válida independentemente se chove ou não… se o experimento é realizado em uma sala,               ou da ‘torre inclinada(ou até da Lua)… – não importando quem atire as pedras.

É válida mesmo se as 2 pedras forem lançadas simultaneamente e da mesma altura por 2 pessoas diferentes…. – A irrelevância destas circunstâncias – que poderiam influir no fenômeno observado também é chamada ‘invariância‘… mas de uma natureza diferente     da anterior, uma vez que não pode ser formulada como um “princípio geral”.

As 2 razões anteriores… – embora altamente significativas (do ponto de vista filosófico) – não surpreenderam Galileu, nem contêm uma lei específica da natureza….

Mas a 3ª, que se tornou uma ‘lei da natureza‘ está contida na afirmação de que… a duração do tempo que leva para um objeto pesado cair de uma certa altura… – independe do seu tamanho, do material, ou da forma do corpo…

O que equivale, no âmbito da 2ª lei de Newton à declaração de que — a força gravitacional que age sobre o corpo em queda livre é somente proporcional à massa desse corpo.

No presente caso, a restrição de Galileu para suas observações de corpos relativamente pesados foi o passo mais importante neste contexto… Ou seja, a verdade é que – se não houvesse nenhum fenômeno que fosse independente de todas – menos de um pequeno conjunto de manejáveis condições internas, a física seria impossível.

A análise das condições que podem ou não influenciar um fenômeno, faz parte do início   da exploração experimental de uma teoria, na qual suas leis naturais, como ‘postulados’ podem ser usadas para prever eventos futuros – desde que conhecidos todos os eventos pertinentes ao seu estado atual (condições inicias do sistema).

É sobretudo por isso, que a construção de equipamentos, e a possibilidade do que podem prever – constitui a realização mais espetacular do físico…Nestas máquinas, ele cria uma situação em que todas as coordenadas relevantes são conhecidas, podendo assim, prever o comportamento futuro do evento com exatidão.  

É bom lembrar, especialmente, que não é de todo natural que leis da natureza existam, muito menos que o homem seja capaz de descobri-las… Schrödinger, em seu livro – “O que é vida?” diz que, este 2º milagre, poderia estar além da nossa capacidade humana…

Schrödinger considera que a sucessão de estruturas de ‘leis naturais superpostas’… cada qual contendo leis mais abrangentes que as anteriores… – cuja descoberta representa uma visão cada vez mais profunda da ‘estrutura do universo’, abrange apenas pequena parte do nosso conhecimento do mundo inanimado.

As leis da natureza são todas ‘instruções condicionais’…só dizendo           respeito… – a uma ínfima parte do nosso conhecimento de mundo.

A rigor, deve-se mencionar que, há algumas décadas atrás, descobriu-se que, mesmo estas evidências condicionais não podem ser totalmente precisas. Na verdade, as leis naturais são ‘leis de probabilidade’… – que nos permitem apenas, fazer ‘apostas razoáveis’ sobre propriedades futuras do ‘mundo inanimado’ (sabendo as condições iniciais). Elas não nos permitem afirmações categóricas (nem mesmo condicionais) do presente.

c) a função da matemática nas teorias físicas                                                               ‘As leis naturais se encontram intrinsecamente formuladas em linguagem matemática’.

Tendo atualizado nosso pensamento com a essência da matemática e da física, estamos em melhor condição de analisar o papel da matemática nas teorias físicas… Naturalmente, nós usamos a matemática no mundo físico ao avaliar o resultado das leis naturais…No entanto, a função de avaliar as consequências de teorias já estabelecidas não é o objetivo físico mais importante da matemática… que não é a “dona do pedaço” neste caso – sendo apenas uma ferramenta… – mas, ocupando na física, um lugar de destaque.

galileu-galilei-frase

Isto, aliás — já estava implícito na declaração feita…quando se discutia o papel da matemática aplicada… ou seja – que as leis da natureza deveriam ter sido formuladas em… linguagem matemáticapara ser uma ferramenta de “uso próprio.

A afirmação de que as leis da natureza estão corretamente escritas – na linguagem da matemática, foi feita 300 anos atrás (atribuída a Galileu) e, é mais verdadeira do que nunca. Para mostrar a importância dos conceitos matemáticos na formulação das leis físicas, recordemos por exemplo, os axiomas da mecânica quântica como formulados, explicitamente, pelo grande físico Paul Dirac…

‘Existem 2 conceitos básicos em mecânica quântica – ‘estados‘ e ‘variáveis‘. Os estados (posição/momento) representam vetores no espaço de Hilberte                       as variáveis (toda grandeza física) operadores autoadjuntos desses vetores’.

Os ‘estados’ e as ‘variáveis’ são definidos – respectivamente… pelos ‘vetores unitários‘… e ‘operadores lineares’ em um espaço de dimensão infinita (‘Hilbert‘)… Os elementos desse espaço (‘estados’), e os operadores lineares (‘variáveis dinâmicas’) que agem sobre ele são representados por sequências de ‘números complexos’… e ‘matrizes’ de dimensão infinita.

“O espaço de Hilbert” (adendo)

O conceito matemático de distância é formalizado através da ‘métrica do espaço‘. Para nossos caminhos percorridos, este espaço é a superfície da Terra… — mas existem muitos outros tipos de espaços matemáticos… — alguns dos quais… — bastante abstratos.

Espaços nos quais as diferenças entre objetos são medidas em ângulos são ‘espaços unitários(espaços vetoriais com produto escalar)…já espaços com tais diferenças medidas por distâncias são ‘espaços métricos‘.

Na mecânica quântica, os estados de sistemas físicos são caracterizados por funções de onda; cujo conjunto forma o espaço (abstrato) de Hilbert. O que este espaço tem em comum com a superfície da Terra… é que nele, também podemos quantificar a diferença entre duas funções de onda através de um ângulo (produto escalar) … ou através de uma distância (métrica)

E, assim como na superfície da terra, ângulo e distância dão informações diferentes e complementares, o ‘espaço de Hilbert’ é métrico e unitário.

Porém, desde o início da ‘mecânica quântica’, tem-se focado quase que exclusivamente no ‘produto escalar como uma medida da diferença entre 2 estados quânticos…ignorando   o fato do espaço de Hilbert também ser métrico. (mecânica quântica em espaços métricos)

É evidente que a física escolhe certos conceitos matemáticos para a formulação das leis da natureza, e certamente…apenas uma fração de todos os conceitos matemáticos é utilizada. É verdade também – que os conceitos escolhidos não foram selecionados arbitrariamente, a partir de uma lista de termos matemáticos – mas sim, em muitos (se não a maioria) dos casos, elaborados independentemente – para serem, em seguida, reconhecidos como pré-concebidos matematicamente.

Não é verdade, contudo, como frequentemente é declarado, que isto tinha de acontecer porque a matemática utiliza os conceitos mais simples possíveis, e estes ocorreriam em qualquer formalismo. Como vimos, os conceitos de matemática não são escolhidos por       sua simplicidade, mas sim, pela surpreendente ‘operacionalidade e ‘abrangência.

Certamente, para um leigo, os números complexos’ estão longe de ser uma operação natural ou simples; não podendo sequer ser associados a observações físicas. Além disso,   o uso de números complexos, neste caso, não é um truque computacional de matemática aplicada — mas chega perto de ser uma ‘necessidade’ na formulação das leis da mecânica quântica (como exemplo, o citado espaço de Hilbert da mecânica quântica, um espaço vetorial complexo).

E… – complementando – começa a configurar-se, que — não apenas os ‘números complexos’, mas também as ‘funções analíticas’…se destinam a desempenhar um ‘papel decisivo’ na formulação da ‘teoria quântica’. Refiro-me à recém-desenvolvida… Teoria das Relações de Dispersão.

É difícil evitar a impressão de que um milagre nos confronta aqui — bastante comparável… — em sua originalidade, ao ‘dom’ da mente humana em relacionar milhares de argumentos; sem se deixar cair em contradição…ou à existência de leis da natureza,   e a capacidade da mente humana em percebê-las.

A observação que mais se aproxima de uma explicação — para os conceitos matemáticos imanentes à física que conheço — é a afirmação de Einstein de que ‘somente são belas as teorias físicas que estamos dispostos a acreditar’. Isso nos faz pensar que os conceitos da matemática – que convidam ao exercício de tanta sagacidade, têm a qualidade da beleza.   A observação de Einstein contudo, não se refere à consistência da teoria em si…mas sim,     à concisão de suas propriedades.

d) O surpreendente sucesso das teorias físicas

Uma possível explicação para o uso da matemática na formulação das leis da natureza é que o físico – sendo uma pessoa um tanto irresponsável, quando descobre uma conexão entre 2 quantidades – que se assemelha a uma conexão matematicamente bem definida,     já conclui ser essa a conexão procurada, simplesmente, porque ele não sabe de qualquer outra conexão similar.

Não é a intenção do presente artigo refutar a acusação de que o físico seja pessoa um tanto irresponsável. No entanto, é importante ressaltar que – num número incomum de casos, a sua ‘formulação matemática’ — muitas vezes com carência experimental — acarreta numa descrição incrivelmente precisa de uma grande classe de fenômenos…

O que mostra que a linguagem matemática, num sentido bem real,                 pode ser a linguagem correta… – Vejamos agora alguns exemplos:

O primeiro deles, é o frequentemente citado ‘movimento planetário. As leis da queda de corpos tornaram-se bem estabelecidas, através de resultados experimentais realizados principalmente na Itália (Galileu). Estas experiências, porém, não podiam ser muito bem precisas — no sentido em que se entende por precisão hoje em dia — em parte, devido ao efeito da resistência do ar — e, em parte, à impossibilidade experimental nessa época, de medir intervalos curtos de tempo.

Newton, em seguida, relacionou a lei dos corpos em queda livre com o movimento da lua, observando que, a parábola do caminho de uma pedra lançada da Terra, e o curso circular da lua no céu são casos geometricamente particulares de uma elipse – assim postulando a lei da gravitação universal com base numa singular… — e muito aproximada, à época, coincidência numérica.

lei da gravitação de Newton entre dois corpos com massas gravitacionais 1 e 2, separados pela distância d, onde G é a ‘constante de gravitação universal’

Filosoficamente…a ‘lei da gravitação formulada por Newton – por si própria…era repugnante para o seu tempo. Empiricamente, foi baseada em observações muito escassas. A linguagem matemática em que foi formulada…continha o conceito de uma 2ª derivada, e — quem já tentou desenhar um ‘círculo osculador sobre uma curva … — sabe que não se trata de um conceito muito trivial.

Contudo, a lei da gravidade que, relutantemente, Newton estabeleceu — e a qual ele poderia confirmar com uma precisão de cerca de 4%, mostrou-se com um grau de precisão menor que 10 milésimos por cento – tornando-se   tão intimamente associada à ideia de precisão absoluta – que, apenas recentemente, os  físicos fizeram-se ousados o suficiente… – para investigar as limitações de sua precisão.

Certamente o exemplo da ‘lei de Newton’ deve ser inicialmente citado como um extraordinário exemplo de uma lei — formulada em termos que parecem simples,               mas que tem provado sua precisão, para além de todas as expectativas razoáveis.

O 2º exemplo vem da ‘mecânica quântica‘ elementar… e surgiu, quando Max Born notou que algumas das regras do cálculo de Heisenberg eram formalmente idênticas     às regras de ‘cálculo matricial‘ – já estabelecidas há um bom tempo.

Born, Jordan e Heisenberg então – propuseram substituir por matrizes, as variáveis posição e momento das equações da mecânica clássica. Eles aplicaram as regras da ‘mecânica matricial’ para alguns problemas altamente sofisticados…e os resultados se mostraram bastante satisfatórios.

No entanto, naquele momento, não havia qualquer evidência racional que a ‘mecânica matricial‘ se provaria correta sob condições mais realistas. – Para dizer a verdade, a 1ª  aplicação dessa mecânica emergente a um problema real – do átomo de hidrogênio…foi dada vários meses mais tarde, por Pauli…dando resultados satisfatórios, de acordo com     a experiência – mas, ainda considerando que, as regras de cálculo de Heisenberg foram extraídas de problemas que, incluíam a velha teoria do átomo de hidrogênio.

O milagre ocorreu apenas quando a mecânica matricial proposta foi aplicada a problemas, para os quais as regras de cálculo de Heisenberg não surtiam efeito.

As regras de Heisenberg pressupunham que as equações clássicas de movimento tinham soluções com certas propriedades periódicas  —  e…que as equações de movimento dos 2  elétrons do átomo de hélio, ou de um número ainda maior de elétrons de átomos mais pesados simplesmente não possuíam estas propriedades… – de modo que não poderiam ser aplicadas nestes casos.

No entanto – o cálculo do menor nível de energia do hélio – como realizado por Kinoshita em Cornell, e por Bazley no ‘Bureau of Standards’, concorda com os dados experimentais dentro da precisão das observações, o que significa uma parte em 10 milhões. Certamente, neste caso… “existe alguma coisa fora das equações…que nós não colocamos pra dentro”.

O mesmo, aliás é verdade para as características qualitativas do                   ‘espectro complexo’, isto é…os espectros de átomos pesados.

É verdade – por outro lado… que a física como nós a conhecemos hoje, não seria possível sem uma recorrência constante a milagres similares ao do átomo de hélio – talvez o mais notável milagre que ocorreu no decurso do desenvolvimento da mecânica quântica…mas, certamente, não o único. – Na verdade, em nossa opinião a quantidade desses milagres é limitada apenas pela vontade de ir atrás de outros semelhantes.

Com efeito, a mecânica quântica teve tantos sucessos marcantes,                     que nos dá a firme convicção… de que é… — realmente … correta.

O 3º exemplo vem da… eletrodinâmica quântica pela Teoria do Deslocamento de Lamb’… – O 1º efeito explicado pela ‘eletrodinâmica quântica’ — a partir da noção de vácuo quântico, foi o assim chamadodeslocamento de Lamb”, em raias espectrais do hidrogênio, em 1947.

A ‘teoria quântica do deslocamento de Lamb’…tal como concebida por Bethe,    e estabelecida por Schwinger… é uma teoria puramente matemática — cuja única contribuição experimental, foi comprovar a existência de um efeito mensurável no átomo de hidrogênio, com grau de certeza maior do que 1 parte em mil.

Os 3 exemplos anteriores – que poderiam ser multiplicados quase indefinidamente, devem ilustrar a adequação e a precisão da formulação matemática às leis da natureza, em termos de conceitos escolhidos pela sua eficácia… – sendo as leis da natureza’ de uma precisão quase fantástica, mas de alcance estritamente limitado.

Propus a terminologia…‘leis empíricas da epistemologia’ à ideia que os exemplos acima ilustram. Sendo, junto com as ‘leis de invariância’ das teorias físicas… – fundamento teórico indispensável (à ciência da física).

Sem as leis de invariância, as teorias físicas poderiam não ter chegado a fundamento algum – e…se a lei empírica da epistemologia não estivesse correta, não teríamos o incentivo e confiança para a exploração – com grande sucesso – das ‘leis da natureza‘.

O Dr. R.G. Sachs, com quem discuti a lei empírica da epistemologia, chamou-a de um ‘objeto de fé’ do físico teórico, e, certamente, é isso. No entanto, esse nosso ‘ato de fé’ pode ser bem apoiado por outros exemplos atuais … além dos já 3 citados. (texto base)   ‘Números Complexos’ ‘História dos Números Complexos’ ¿Y si Dios es un matemático?

NOTA:  Deste artigo de 1960, ao seu final, consta um complemento “A UNICIDADE DAS TEORIAS FÍSICAS” (‘The Uniqueness of the THEORIES of PHYSICS’) … postado a seguir. *****************************(texto complementar)**********************************

photo -Erik Johansson

photo -Erik Johansson

Método axiomático de Hilbert

Um axioma é uma espécie de verdade primeira, isto é, uma propriedade mais     ou menos evidente…da qual aceitamos         sua veracidade… – sem demonstração.     Mas um axioma também pode ser uma propriedade (ou regra) aleatoriamente inventada – sem relação imediata com         a realidade… — que nós mesmos… nos obrigamos a respeitar.

Assim, uma teoria axiomática é uma teoria que…fixando por definição certos objetos – a respeito dos quais a teoria vai tratar – enuncia axiomas (ou postulados), aos quais os objetos em questão devem obedecer – com o objetivo final de deduzir desses axiomas, por meio de raciocínio puramente lógico — outras propriedades inerentes — ditas ‘teoremas‘ (cuja validade possa ser verificada sem auxílio da intuição… – ou, da experiência sensível).

A abordagem de Hilbert marca a transição para o ‘método axiomático moderno‘, no qual axiomas agora não são mais verdades “auto-evidentes”. Apesar da Geometria tratar     de objetos a respeito dos quais temos forte intuição, não se faz necessário ter significado explícito para conceitos indefinidos tais como ponto, reta, plano, relações de pertinência, congruência e “estar entre”.

Segundo Hilbert, não seria mais necessário tratar dos objetos comuns à geometria… (reta, ponto e plano), podendo substituí-los por objetos cotidianos. A discussão, entretanto, não se baseia nos objetos… mas sim nas relações entres eles – estabelecendo o que chamamos de  axiomas de incidência… ordem… congruência… paralelismo de retas… e continuidade. 

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Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979... (s/ diploma)
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