A Incrível Eficácia da Matemática nas Ciências Naturais

“O matemático joga um jogo, no qual ele mesmo inventa as regras…já o físico                joga um jogo…no qual as regras são inventadas pela Natureza.”  (Paul Dirac) 

Há uma interessante estória sobre 2 amigos… — ex-colegas de escola… — conversando sobre suas vidas. Um deles… que se tornou estatístico — lidando com tendências populacionais, mostrava ao velho amigo uma edição de seu trabalho… — Como de praxe … o artigo se iniciava com uma distribuição de Gauss, e o estatístico explicava ao ‘ex-colega’ … o significado dos dados para a população atual… para sua média, e assim por diante. Este então ficou incrédulo, sem saber se o amigo estatístico falava mesmo verdade:

Como você pode saber disso?“, era sua dúvida. E o que é este símbolo aqui?“…“É o pi” disse o estatístico… “E o que significa?“…“A razão da circunferência do círculo pelo seu diâmetro”…respondeu ele. Bem, agora você  já está indo longe demais!… – que diabos a população tem a ver com circunferência do círculo”, resmungou o amigo desconfiado.

Naturalmente, estamos inclinados a sorrir com a simplicidade da abordagem do amigo.   No entanto, quando ouvi essa estória tive que admitir um sentimento estranho, porque, certamente, a reação do colega, se julgando traído…era apenas de bom senso… E fiquei ainda mais confuso quando, poucos dias mais tarde alguém veio até a mim – expressar      sua perplexidade com o fato de fazermos seleção tão rigorosa na escolha dos dados em    que testamos nossas teorias…Dessa forma, como saberíamos que ao construirmos uma teoria — centrada em aspectos que desconsideram alguns fenômenos atuais relevantes, não poderíamos construir uma outra… que — apesar de pouco em comum com a teoria vigente — explicasse tantos… ou mais fenômenos quanto aquela?…

  Temos de admitir que… – não possuímos nenhuma                                          evidência definitiva de não existir tal possibilidade.

Todos exemplos anteriores ilustram os 2 aspectos principais…objetos do presente ensaio. O primeiro é que os  ‘conceitos matemáticos aparecem em conexões totalmente inesperadas’.  O segundo é que justamente por causa disso… e por não entendermos as razões de sua utilidade, não podemos, a princípio… saber se uma teoria formulada em termos de conceitos matemáticos…é a totalmente apropriada…ao fenômeno em questão.

A maior parte do que será dito sobre estas questões não será novidade; provavelmente de alguma forma, em algum momento, ocorreu com a maioria dos cientistasMeu principal objetivo é uma abordagem do assunto sob vários ângulos… – O 1º deles é que a fantástica  utilidade da matemática nas ‘ciências naturais‘…é algo que beira o mistério – não havendo explicação racional para isso… — O 2º… é justamente, a incondicional aplicação desses conceitos matemáticos aos ‘fenômenos físicos‘… – pela questão da ‘Unicidade das Teorias Físicas’ (tema cujo trabalho mais elaborado… foi desanexado do presente artigo).

A fim de estabelecer o 1º tema… serão úteis algumas palavras sobre os seguintes itens:    a)“O que é a matemática?”; b) “O que é física?”; c) “Como a matemática se insere nas teorias físicas”; d) “Por que o sucesso matemático na física parece tão desconcertante”.

a) O que é Matemática?

Alguém uma vez disse que…“Filosofia é o mau uso de uma terminologia inventada apenas para esta finalidade” (W. Dubislav, 1932)…Na mesma linha, eu diria que… Matemática é a ciência das operações práticas – com regras e conceitos ‘inventados’…só para este fim”.  Com efeito, a matemática logo ficaria sem teoremas interessantes se esses tivessem de ser formulados em termos de conceitos que já aparecem nos axiomas… Além disso, enquanto é uma verdade inquestionável que os conceitos de matemática elementar… especialmente ‘geometria elementar’ foram formulados para descrever entidades diretamente propostas no mundo real — o mesmo não parece ser verdade para os conceitos mais avançados…em particular, aqueles que desempenham tão importante função na física moderna.

Assim, enquanto regras de operações com pares ordenados são logicamente concebidas para dar os mesmos resultados, que as com frações – as regras de operações com séries,  ou números irracionais, pertencem à categoria de ‘regras determinadas’ – de maneira a reproduzir operações com quantidades já conhecidas… — Os mais avançados conceitos matemáticos tais como números complexosálgebras… e operadores lineares,  foram engendrados de tal forma, a se tornaram “instrumentos úteis“…pelos quais o matemático pode mostrar sua engenhosidade…e seu senso estético.

Certamente é difícil acreditar que o nosso poder de raciocínio foi levado, pelo processo de Darwin da seleção natural à perfeição que parece possuir. No entanto, o principal ponto a se destacar é a possibilidade de se formular um punhado de teoremas interessantes…sem   a necessidade de se definir conceitos além daqueles contidos nos axiomas. E os conceitos externos aos axiomas…sendo definidos com o objetivo de permitir engenhosas operações lógicas… – logram alcançar o senso estético de alta universalidade, simplicidade e beleza.

O bom matemático – quase que absoluta e implacavelmente, explora o domínio                  do possível, contornando o raciocínio impossível… — Que sua imprudência não                    o leve a um emaranhado de contradições…é, de fato… um “verdadeiro milagre”.

numero-complexoOs números complexos  nesse caso, fornecem um exemplo particularmente notável. – Certamente, nada em nossa ‘experiência cotidiana‘, sugere a introdução destas quantidades.

A  propósito, se um matemático é solicitado a justificar seu interesse em “números complexos”, ele irá apontar — certamente — para os mais belos teoremas…as mais intrincadas equações … séries de potência … e funções analíticas em geral… — as quais devem sua origem… à introdução dos números complexos…Ele, decerto, não estará disposto a desistir de seu interesse por uma das mais belas realizações da plena “genialidade humana”.

b) O que é física?                                                                                                                  Tudo aquilo que não pode ser descrito em termos de figuras,                                      números ou relações, não pode pertencer ao campo da física.’                                        (Galileu Galilei)

O interesse do físico é descobrir as leis da natureza inanimada. Para compreender essa afirmação, é necessário analisar o conceito leis da natureza. O mundo à nossa volta       é de uma complexidade desconcertante… E, como Schrödinger observou, é um milagre que, apesar disso… determinadas regularidades” nos eventos possam ser descobertas.

Galileu

Galileu e a Torre de Pisa

Uma dessas… por exemplo, descoberto por Galileu é que 2 pedras com pesos distintos, lançadas simultaneamente de uma mesma  altura…atingem o solo… ao mesmo tempo.

As ‘leis da natureza se reportam a tais regularidades…O exemplo de Galileu é o protótipo de uma classe de regularidades; e das mais surpreendentes – por 3 razões. A primeira delas…é que é verdadeira, não só em Pisa — e…na época de Galileu; mas em toda parte da Terra; foi sempre assim, e assim sempre será… – Tal regularidade,  é reconhecida como… “propriedade de invariância“.

(sem ‘princípios de invariância‘ tais como os implicados na conclusão da observação de Galileu… – a física não seria possível…)

A 2ª característica surpreendente é que, a regularidade de que estamos falando é independente de tantas condições – quantas possam ter efeito sobre ela. É válida independentemente se chove ou não… se o experimento é realizado em uma sala,               ou da ‘torre inclinada(ou até da Lua)… – não importando quem atire as pedras.

É válida mesmo se as 2 pedras forem lançadas simultaneamente e da mesma altura por 2 pessoas diferentes…. – A irrelevância destas circunstâncias – que poderiam influir no fenômeno observado também é chamada ‘invariância‘… mas de uma natureza diferente     da anterior… – uma vez que não pode ser formulada como um “princípio geral”.

As 2 razões anteriores… – embora altamente significativas (do ponto de vista filosófico)… não surpreenderam Galileu, nem contêm uma lei específica da natureza….

Mas a 3ª, que se tornou uma ‘lei da natureza‘ está contida na afirmação de que… a duração do tempo que leva para um objeto pesado cair de uma certa altura… – independe do seu tamanho, do material, ou da forma do corpo…

O que equivale, no âmbito da 2ª lei de Newton à declaração de que — a força gravitacional que age sobre o corpo em queda livre é somente proporcional à massa desse corpo.

No presente caso, a restrição de Galileu para suas observações de corpos relativamente pesados foi o passo mais importante neste contexto… – Ou seja, a verdade é que se não houvesse fenômeno que fosse independente de todas…menos de um pequeno conjunto       de condições internas manejáveis, a física seria impossível… – A análise das condições que podem ou não influenciar um fenômeno é parte inicial da exploração experimental    de uma teoria, na qual suas leis naturais…como “postulados“, podem ser usadas para    prever eventos futuros…desde que conhecidos todos eventos pertinentes ao seu ‘estado atual’ (condições inicias do sistema)…É sobretudo por isso…que equipamentos criados,      e a possibilidade do que possam prever … constitui a realização mais ‘incrível‘ do físico. Nestas máquinas é criada uma situação — em que todas as coordenadas relevantes são conhecidas, podendo-se assim prever o comportamento futuro do evento com exatidão.  

É bom lembrar, especialmente, que não é de todo natural que leis da natureza existam, muito menos que o homem seja capaz de descobri-las… Schrödinger, em seu livro – “O que é vida?” diz que, este 2º milagre, poderia estar além da nossa capacidade humana…  Schrödinger considera que a sucessão de estruturas de leis naturais superpostas, em cada uma é mais abrangente que as anteriores…e – cuja descoberta representa uma visão cada vez mais profunda da “estrutura do universo“… – abrange apenas pequena parte do nosso conhecimento do mundo inanimado.

As leis da natureza são todas ‘instruções condicionais’…só dizendo           respeito… – a uma ínfima parte do nosso conhecimento de mundo.

A rigor, deve-se mencionar que, a algumas décadas atrás, descobriu-se que mesmo estas evidências condicionais não podem ser totalmente precisas. Na verdade, as leis naturais são leis de probabilidade‘ que nos permitem apenas fazer “apostas razoáveis” sobre propriedades futuras do mundo inanimado (tendo as “condições iniciais“). Elas não nos permitem afirmações categóricas (nem mesmo condicionais) do presente.

c) a função da matemática nas teorias físicas                                                               ‘As leis naturais se encontram intrinsecamente formuladas em linguagem matemática’.

galileu-galilei-fraseTendo atualizado nosso pensamento com a essência da matemática…e da física…estamos em melhor condição de analisar a função da ‘matemática’ nas teorias físicas… – Naturalmente, nós usamos a matemática no mundo físico, ao avaliar o resultado das ‘leis naturais’. – No entanto…a função de avaliar as consequências de teorias já estabelecidas não é o objetivo físico mais importante da matemática… sendo neste caso, apenas uma ferramenta. Isto, aliás… já estava implícito na declaração feita… quando se discutia o papel da matemática aplicada… ou seja – que as leis da natureza deveriam ter sido formuladas em “linguagem matemática”… para ser uma ferramenta de “uso próprio“.

A afirmação de que as leis da natureza estão corretamente escritas – na linguagem da matemática, foi feita 300 anos atrás (atribuída a Galileu) e, é mais verdadeira do que nunca. Para mostrar a importância dos conceitos matemáticos na formulação das leis físicas, recordemos por exemplo, os axiomas da mecânica quântica como formulados, explicitamente, pelo físico Paul Dirac… Existem dois conceitos básicos em mecânica quântica…’estados‘ e ‘variáveis‘… – Os estados (posição/momento) representam  vetores no espaço de Hilberte as variáveis (toda “grandeza física”) são operadores autoadjuntos desses vetores. Os estados e as variáveis são definidos respectivamente, pelos ‘vetores unitários’ e ‘operadores lineares’… em um espaço de dimensão infinita (“espaço de Hilbert”). Os elementos desse espaço (‘estados’) e os operadores lineares (‘variáveis dinâmicas’) que agem sobre ele, são representados por sequências de ‘nºs complexos’… e ‘matrizes’ de dimensão infinita”.

É evidente que a física escolhe certos conceitos matemáticos para a formulação das leis da natureza, e certamente…apenas uma fração de todos os conceitos matemáticos é utilizada. É verdade também – que os conceitos escolhidos não foram selecionados arbitrariamente, a partir de uma lista de termos matemáticos – mas sim, em muitos (se não a maioria) dos casos, elaborados livremente, para serem – a seguir… reconhecidos como pré-concebidos.  Não é verdade, contudo – como frequentemente é declarado…que isto tinha de acontecer porque a matemática utiliza os conceitos mais simples possíveis — e estes ocorreriam em qualquer formalismo. – Como vimos, os conceitos de matemática não são escolhidos por    sua simplicidade, mas sim…pela surpreendente ‘operacionalidade e ‘abrangência.

Certamente, para um leigo, os ‘números complexos’ estão longe de ser uma operação natural ou simples; não podendo sequer ser associados a observações físicas. Além disso,   o uso destes números, no caso… não é um truque computacional de matemática aplicada, mas chega perto de ser uma “necessidade”…na formulação das leis da mecânica quântica (como o citado espaço de Hilbert da mecânica quântica, um espaço vetorial complexo).

E…complementando – começa a configurar-se, que — não apenas  “nºs complexos” — mas também,    as funções analíticas se destinam    a desempenhar ‘papel decisivo’…    na formulação da teoria quântica. Refiro-me à recém-desenvolvidaTeoria das Relações de DispersãoÉ difícil evitar a impressão de que um milagre nos confronta aqui — comparável em sua originalidade, ao “dom” da mente humana…em relacionar inúmeros argumentos, sem cair em contradição… ou até,  à existência de “leis da natureza“…e a capacidade da “mente humana” em percebê-las.

A observação que mais se aproxima de uma explicação — para os conceitos matemáticos imanentes à física que conheço — é a afirmação de Einstein de que ‘somente são belas as teorias físicas que estamos dispostos a acreditar’. Isso nos faz pensar que os conceitos da matemática – que convidam ao exercício de tanta sagacidade, têm a qualidade da beleza.   A observação de Einstein contudo, não se refere à consistência da teoria em si…mas sim,     à concisão de suas propriedades.

d) A surpreendente eficácia das teorias físicas

Uma possível explicação para o uso da matemática na formulação das leis da natureza é que o físico – sendo uma pessoa um tanto irresponsável, quando descobre uma conexão entre 2 quantidades – que se assemelha a uma conexão matematicamente bem definida,     já conclui ser essa a conexão procurada, simplesmente, porque ele não sabe de qualquer outra conexão similar… Não é a intenção do presente artigo refutar a acusação de que o físico seja pessoa um tanto irresponsável. No entanto, é importante ressaltar que… num número incomum de casos, a sua ‘formulação matemática’…muitas vezes com carência experimental resulta numa descrição incrivelmente precisa de grande nº de fenômenos.

O que mostra que a linguagem matemática, num sentido bem real,                 pode ser a linguagem correta… – Vejamos agora alguns exemplos:

O primeiro deles, é o frequentemente citado ‘movimento planetário. As leis da queda de corpos tornaram-se bem estabelecidas, através de resultados experimentais realizados principalmente na Itália (Galileu). Estas experiências, porém, não podiam ser muito bem precisas — no sentido em que se entende por precisão hoje em dia — em parte, devido ao efeito da resistência do ar — e, em parte, à impossibilidade experimental nessa época, de medir intervalos curtos de tempo… Newton, em seguida, relacionou a lei dos corpos em queda livre com o movimento da lua, observando que… a “parábola do caminho” de uma pedra lançada da Terra, e o curso circular da lua no céu… – são casos “geometricamente” particulares de uma elipse…assim postulando a lei da gravitação universal com base numa singular… – e muito aproximada, à época, coincidência numérica.

lei da gravitação de Newton entre dois corpos com massas gravitacionais 1 e 2, separados pela distância d, onde G é a ‘constante de gravitação universal’

Filosoficamente…a ‘lei da gravitação formulada por Newton – por si própria…era repugnante para o seu tempo. Empiricamente, foi baseada em observações muito escassas. A linguagem matemática em que foi formulada…continha o conceito de uma 2ª derivada, e — quem já tentou desenhar um ‘círculo osculador sobre uma curva… sabe que não se trata de conceito muito trivial… – Contudo, a “lei da gravidade”…que, relutantemente, Newton estabeleceu…com precisão em torno de 4%, na realidade…mostrou um grau de precisão menor que 0,010 % – tornando-se tão intimamente associada à ideia de precisão absoluta – que…apenas recentemente…os físicos fizeram-se ousados o suficiente… – para investigar a fundo as limitações de sua precisão.

Certamente o exemplo da ‘lei de Newton’ deve ser inicialmente citado como um extraordinário exemplo de uma lei — formulada em termos que parecem simples,               mas que tem provado sua precisão, para além de todas as expectativas razoáveis.

O 2º exemplo vem da ‘mecânica quântica‘ elementar… e surgiu, quando Max Born notou que algumas das regras do cálculo de Heisenberg eram formalmente idênticas     às regras de ‘cálculo matricial‘ – já estabelecidas há um bom tempo. Born, Jordan e Heisenberg propuseram então substituir as variáveis posição e momento das equações    da mecânica clássica por ‘matrizes‘…Eles aplicaram as regras da ‘mecânica matricial’  para alguns problemas altamente sofisticados…e os resultados se mostraram bastante satisfatórios. – No entanto, naquele momento…não havia qualquer evidência racional      que a ‘mecânica matricial‘ se provaria correta sob condições mais realistas.

Na verdade, a 1ª  aplicação dessa mecânica emergente a um problema real, do átomo de hidrogênio…foi dada vários meses mais tarde por Pauli, numa bem sucedida experiência…mas ainda considerando as regras de cálculo de Heisenberg referentes a problemas da velha teoria do átomo de hidrogênio.

O “milagre” ocorreu apenas quando a mecânica matricial proposta foi aplicada          a problemas… para os quais as regras de cálculo de Heisenberg não surtiam efeito.

As regras de Heisenberg pressupunham que as equações clássicas de movimento tinham soluções com certas propriedades periódicas  —  e…que as equações de movimento dos 2  elétrons do átomo de hélio, ou de um número ainda maior de elétrons de átomos mais pesados… simplesmente não possuíam estas propriedades – de modo que não poderiam ser aplicadas nestes casos. – No entanto…o cálculo do menor nível de energia do hélio – como foi realizado por Toichiro Kinoshita, e Norman W. Bazley, concorda com os dados experimentais dentro da precisão das observações… ou seja – uma parte em 10 milhões.

Certamente, neste caso…existe alguma coisa fora das equações…que nós não colocamos pra dentro… O mesmo aliás, é verdade às características qualitativas do “espectro complexo”… — os espectros de átomos pesados.

É verdade – por outro lado… que a física como nós a conhecemos hoje, não seria possível sem uma recorrência constante a milagres similares ao do átomo de hélio – talvez o mais notável milagre que ocorreu no decurso do desenvolvimento da mecânica quântica…mas, certamente, não o único. – Na verdade, em nossa opinião a quantidade desses milagres é limitada apenas pela vontade de ir atrás de outros semelhantes.

Com efeito, a mecânica quântica teve tantos sucessos marcantes,                     que nos dá a firme convicção… de que… — realmente… é correta.

O 3º exemplo vem da… eletrodinâmica quântica pela Teoria do Deslocamento de Lamb’… – O 1º efeito explicado pela ‘eletrodinâmica quântica’ — a partir da noção de vácuo quântico, foi o assim chamadodeslocamento de Lamb”, em raias espectrais do hidrogênio em 1947.  Esta teoria quântica… – concebida por Bethe, e estabelecida por Schwingeré uma teoria…”puramente matemática” cuja única contribuição experimental, foi comprovar um ‘efeito mensurável‘ no átomo de hidrogênio, com grau de certeza…maior do que 1 parte em mil.

Os 3 exemplos anteriores – que poderiam ser multiplicados quase indefinidamente, devem ilustrar a adequação e a precisão da formulação matemática às leis da natureza, em termos de conceitos escolhidos pela sua eficácia… – sendo as leis da natureza’ de uma precisão quase fantástica, mas de alcance bem limitado… Propus a terminologia… “leis empíricas da epistemologia“…à ideia que os exemplos acima ilustram. Estas…junto com as ‘leis de invariância’ das teorias físicas — são fundamento teórico indispensável (…à ciência física).

Sem as leis de invariância, as teorias físicas poderiam não ter chegado a fundamento algum – e…se a lei empírica da epistemologia não estivesse correta, não teríamos o incentivo e confiança para a exploração – com grande sucesso – das ‘leis da natureza‘.

O Dr. R.G. Sachs…com quem discuti a lei empírica da epistemologia, chamou-a de um ‘objeto de fé’ do físico teórico, e, certamente, é isso.    (texto base) ‘Números Complexos’ ‘História dos Números Complexos’

NOTA:  Deste artigo de 1960, ao seu final, consta um complemento “A UNICIDADE DAS TEORIAS FÍSICAS” (‘The Uniqueness of the THEORIES of PHYSICS’) … postado a seguir. *****************************(texto complementar)**********************************

photo -Erik Johansson

photo -Erik Johansson

“O espaço de Hilbert” 

O conceito matemático de “distância” é formalizado através de uma…’métrica do espaço‘… — Para nossos caminhos percorridos… este espaço é a superfície da Terra… mas, existem muitos outros tipos de espaços matemáticos… alguns dos quais, bastante abstratosEspaços nos quais, diferenças entre objetos são medidas em ângulos denotam espaços unitários…ou seja… “espaços vetoriais com produto escalar”…já ‘espaços métricos’  são os com variações medidas por distância.

Na mecânica quântica, os estados de sistemas físicos são caracterizados por funções de onda; cujo conjunto forma o espaço (abstrato) de Hilbert. O que este espaço tem em comum com a superfície da Terra… é que nele, também podemos quantificar a diferença entre duas funções de onda através de um ângulo (produto escalar) … ou através de uma distância (métrica)…

E, assim como na superfície da terra, ângulo e distância dão informações diferentes e complementares, o ‘espaço de Hilbert’ é métrico e unitário.

Porém, desde o início da ‘mecânica quântica’, tem-se focado quase que exclusivamente no ‘produto escalar como uma medida da diferença entre 2 estados quânticos…ignorando   o fato do espaço de Hilbert também ser métrico. (mecânica quântica em espaços métricos************************************************************************************

axiomasMétodo axiomático de Hilbert

Um axioma é uma espécie de verdade primeira; propriedade mais ou menos evidente…da qual, sem demonstração,  aceitamos sua veracidade… – Mas um axioma também pode ser propriedade (ou regra) aleatoriamente inventada – sem relação imediata com a realidade, que nós mesmos, decidimos respeitar.

Assim, uma teoria axiomática é uma teoria que…fixando por definição certos objetos – a respeito dos quais a teoria vai tratar – enuncia axiomas (ou postulados), aos quais os objetos em questão devem obedecer – com o objetivo final de deduzir desses axiomas, por meio de raciocínio puramente lógico — outras propriedades inerentes — ditas ‘teoremas‘ (cuja validade possa ser verificada sem auxílio da intuição… – ou, da experiência sensível).

A abordagem de Hilbert marca a transição para o ‘método axiomático moderno‘, no qual axiomas agora não são mais verdades “auto-evidentes”. Apesar da Geometria tratar     de objetos a respeito dos quais temos forte intuição, não se faz necessário ter significado explícito para conceitos indefinidos tais como ponto, reta, plano, relações de pertinência, congruência e “estar entre”.

Segundo Hilbert, não seria mais necessário tratar destes conceitos, comuns à geometria, podendo substituí-los por ‘objetos cotidianos’. A discussão entretanto, não se baseia nos objetos, mas nas relações entres eles…estabelecendo assim o que chamamos de axiomas    de incidência… – de ordem… – congruência… – paralelismo de retas… – e continuidade.  ***********************************************************************************

logica-simbolica
‘Lógica simbólica’

Intuicionismo & Formalismo

Sobre quais fundamentos está baseada a convicção de uma exatidão incontestável das leis matemáticas… por séculos… tem sido objeto de investigação filosófica… e, daí… — 2 pontos de vista se destacam…

O ‘intuicionismo‘ (predominantemente francês)… e o ‘formalismo‘…(…alemão).

Em muitos aspectos estas 2 vertentes têm se tornado, mais e mais opostas entre si – mas recentemente, passaram a concordar em um aspecto (sobre a validade exata das leis matemáticas – como leis da natureza).

Já a questão sobre a existência da exatidão matemática é respondida de maneira diversa pelos 2 lados; o intuicionista diz… no intelecto humano; já o formalista afirma…no papel.

Em Kant — temos uma antiga forma de intuicionismo‘… hoje, quase totalmente   abandonada – na qual tempo e espaço são considerados como formas de concepção inerentes à razão humana. Para ele, os axiomas da aritmética e geometria são juízos sintéticos a priori independentes da experiência, e não suscetíveis de demonstração analítica. Refutar a possibilidade de tais leis experimentalmente, seria inconcebível.

Diametralmente oposto, é o enfoque do ‘formalismo‘…o qual mantém, por exemplo,    que a razão humana não tem à sua disposição imagens exatas de linhas retas… e – por conseguinte…tais objetos geométricos não possuem existência em nossa concepção de natureza – mais do que, na própria natureza.

Para os formalistas, a exatidão consiste simplesmente, no método de desenvolver ‘séries de relações’ – sendo independente do “significado”            que possamos atribuir, a tais relações – ou aos objetos relacionados, formando assim…o que se costuma denominar…’lógica simbólica.

Enquanto os intuicionistas aderiam à teoria de Kant… parecia que o desenvolvimento da matemática – no século XIX – os colocava numa posição cada vez mais fraca, com respeito aos formalistas… E, sobre isso, o mais sério golpe para a teoria kantiana foi a descoberta da ‘geometria não-euclidiana‘… — uma consistente teoria, desenvolvida a partir de um conjunto de axiomas – diferindo da geometria elementar euclidiana, apenas em relação ao ‘axioma das paralelas‘ (substituído por sua negação).

Quão fraca parecesse ser a posição intuicionista – após este período de desenvolvimento matemático, recobrou forças…abandonando o apriorismo espacial kantiano – ao mesmo tempo que, aderindo de maneira resoluta ao ‘absolutismo temporal‘ em juízos sintéticos   a priori… Além disso, em relação à ‘teoria dos conjuntos’…reconhece (apenas) conjuntos enumeráveis…  —  conjuntos cujos elementos possam ser colocados em correspondência biunívoca com os elementos de um número ordinal finito ou com aqueles de um número ordinal transfinito. (do livro ‘Lógica e fundamentos da matemática’…Carnielli & Epstein)

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Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979.
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