A função matemática nas ‘Ciências Naturais’

“O matemático joga um jogo, no qual ele mesmo inventa as regras; já o físico                    joga um jogo…no qual as regras são inventadas pela Natureza.”  (Paul Dirac) 

Naturalmente, estamos inclinados a sorrir…com a simplicidade do ‘bom senso’, e talvez até confusos, quando alguém expressa sua ‘perplexidade’… pelo fato de precisarmos de uma seleção mais rigorosa na escolha dos ‘dados’… com que testamos nossas teorias. Dessa forma (diria) como podemos saber, se… na construção de uma teoria… – centrada em  aspectos que desconsiderem… fenômenos atuais relevantes”… – não estaríamos construindo outra, que mesmo tendo pouco em comum com a ‘teoria vigente’… explicasse mais fenômenos que aquela?

  Temos de admitir…que – não possuímos nenhuma                                          evidência definitiva de não existir tal possibilidade.

Este argumento serve para ilustrar os 2 aspectos principais – objetos do presente ensaio.  O primeiro é que os ‘conceitos matemáticos aparecem em conexões totalmente inesperadas’.  O segundo é que justamente por causa disso… e por não entendermos as razões de sua utilidade, não podemos, a princípio…saber se uma teoria formulada em termos de conceitos matemáticos…é a totalmente apropriada…ao fenômeno em questão.  Nesse caso, nosso principal objetivo é uma abordagem desse assunto sob vários ângulos:

O 1º deles é que a…”incrível utilidade da matemática nas ciências naturaisé algo que beira o mistério…não havendo até hoje, uma boa explicação racional para isso.    O 2º… é a incondicional aplicação dos conceitos matemáticos aos…”fenômenos físicos”, abordado na questão da “Unicidade das Teorias Físicas” (incluída ao final deste artigo).

A fim de estabelecer o 1º tema… serão úteis algumas palavras sobre os seguintes itens:    a)“O que é a matemática?”; b) “O que é física?”; c) “Como a matemática se insere nas teorias físicas”; d) “Por que o sucesso matemático na física parece tão desconcertante”.

a) O que é Matemática?                                                                                                      “Leis naturais se encontram intrinsecamente formuladas em linguagem matemática”.

Alguém uma vez disse que…Matemática é a ciência das operações práticas, com regras e conceitos ‘inventados’ só para este fim”. E, de fato, a matemática logo ficaria sem teoremas interessantes se esses tivessem de ser formulados em termos de conceitos que já aparecem nos axiomas. Por outro lado, enquanto é uma ‘verdade inquestionável‘ que os conceitos de matemática elementar… especialmente “geometria euclidiana”… – foram formulados para descrever entidades diretamente propostas no mundo real, o mesmo não seria verdade em conceitos mais avançados — como os que exercem indispensável função na física moderna.

Assim… – enquanto regras de operações com pares ordenados são logicamente concebidas de modo a se…representar graficamente… as expressões algébricas num ‘plano cartesiano’, as regras de operações com os… – “números irracionais“… ou… séries – já fazem parte da  categoria de regras determinadas de modo a reproduzir operações bem mais sofisticadas.  Tais conceitos matemáticos mais avançados, como… “números complexos”… “operadores lineares” e “matriz”… foram engendrados de tal modo…a se tornarem instrumentos úteis,  pelos quais o matemático pode mostrar toda a sua…“engenhosidade”…e, “senso estético”.

De fato, a definição desses conceitos, com a percepção de que interessantes considerações poderiam ser aplicadas a eles…é a 1ª demonstração da engenhosidade do matemático que os define…A profundidade de ideias que entram na concepção dos conceitos matemáticos,  é por certo mais tarde justificada, pela habilidade com que tais conceitos são empregados.  Não obstante, é difícil acreditar que nosso “poder de raciocínio“…tenha sido levado…pelo processo da seleção natural de Darwin, à perfeição que parece possuir. Mas, nesse caso, o principal ponto a se destacar…é a possibilidade de se formular um grupo de interessantes teoremas…sem a necessidade de se definir conceitos além daqueles contidos nos axiomas. Já conceitos externos aos contidos nos axiomas… são definidos para permitir engenhosas operações lógicas, buscando um “senso estético” de universalidade, simplicidade e beleza.

“O bom matemático, quase que implacavelmente…explora o domínio do possível, contornando o raciocínio impossível. Que sua imprudência não o direcione a um emaranhado de contradições…é, de fato, verdadeiro milagre. – Contudo, todas                estas dificuldades, no fundo, são apenas uma consequências da nossa recusa em            perceber … que a matemática não pode ser definida … sem que para isso se faça reconhecer sua característica mais óbvia… extraordinária beleza”. (M. Polanyi)

numero-complexoOs “números complexos  nesse caso, fornecem          um exemplo particularmente notável. – Certamente, nada existe…em nossa ‘experiência cotidiana‘… que possa sugerir (‘de cara‘) a introdução destes valores.

Aliás, se um matemático for solicitado a justificar seu interesse em números complexos…certamente ele        irá mencionar aqueles mais belos teoremas – as mais intrincadas equações…séries de potência … e funções analíticas em geral… – as quais devem sua origem…à introdução dos números complexos. Ele decerto, não estará a fim de desistir de seu interesse, por uma das mais belas realizações da plena ‘genialidade humana’.

b) O que é física?                                                                                                                  Tudo aquilo que não pode ser descrito em termos de figuras,                                      números ou relações, não pode pertencer ao campo da física’.                                        (Galileu Galilei)

O interesse do físico é descobrir as leis da natureza inanimada. Para compreender essa afirmação, é necessário analisar o conceito leis da natureza. O mundo à nossa volta       é de uma complexidade desconcertante… E, como Schrödinger observou, é um milagre que, apesar disso… determinadas regularidades” nos eventos possam ser descobertas.

Galileu

Galileu e a Torre de Pisa

Uma dessas… por exemplo, descoberta por Galileu é que 2 pedras com pesos distintos, lançadas simultaneamente de uma mesma  altura…atingem o solo… ao mesmo tempo.

As “leis da natureza se reportam a tais regularidades. – O exemplo de Galileu é o protótipo de uma classe de regularidades; e das mais surpreendentes – por 3 razões. A primeira delas…é que é verdadeira, não só em Pisa — e…na época de Galileu; mas em toda parte da Terra, foi sempre assim, e assim sempre será… – Tal regularidade,  é mais comumente reconhecida… como… uma…”propriedade de invariância“.

(sem ‘princípios de invariância‘ tais como os implicados na conclusão da observação de Galileu… – a física não seria possível…)

A 2ª característica surpreendente é que, a regularidade de que estamos falando independe  das condições que possam ter efeito sobre ela…É válida se chove ou não, se o experimento é realizado numa sala fechada; datorre inclinada(…ou da Lua) … não importando quem atire as pedras. É válida mesmo se as 2 pedras forem lançadas simultaneamente…de igual altura – por 2 pessoas diferentes…. – A irrelevância destas circunstâncias – que poderiam influir no fenômeno observado também é denominada uma…invariância…(de fatores).

As 2 razões anteriores… – embora altamente significativas (do ponto de vista filosófico)… não surpreenderam Galileu, nem contêm uma lei específica da natureza… Mas, uma 3ª, que se tornou lei da natureza, está contida na afirmação de que… — “a duração do tempoque leva para um objeto pesado cair de uma determinada altura, independe tanto … do seu tamanho … do material de que é composto  como da forma que possui“.

O que equivale, no âmbito da 2ª lei de Newton à declaração de que — a força gravitacional que age sobre o corpo em queda livre é somente proporcional à massa desse corpo.

No presente caso, a restrição de Galileu para observações de corpos relativamente pesados… foi o passo mais importante neste contexto.            E, de fato… se os “fenômenos naturais” não dependessem apenas de algumas administráveis condições iniciais, a física seria impossível.

A análise de condições que podem ou não influenciar um fenômeno, é parte da sondagem experimental de uma teoria, na qual suas leis naturais – como “postulados“…podem ser usadas para prever eventos futuros…desde que conhecidas todas variáveis pertinentes ao seu estado atual (condições inicias do sistema). É sobretudo por isso que os instrumentos criados, bem como a capacidade do que possam prever – constitui a realização maior dos físicos. Nestas máquinas é criada uma situação…em que todas as coordenadas relevantes são conhecidas, podendo-se assim prever o comportamento do ‘evento‘ com boa precisão.  

É bom lembrar especialmente, que não é de todo natural que leis da natureza existam, muito menos que o homem seja capaz de descobri-las. Schrödinger…em seu livro – “O que é vida?” diz que, este 2º milagre… poderia estar além da nossa capacidade humana. Ele considera que a sucessão de estruturas superpostas das leis naturais — cada vez mais abrangentes…e com uma visão cada vez mais profunda da estrutura do universo…abarca apenas uma pequena porção…do nosso relativo conhecimento do… “mundo inanimado”.

As leis da natureza são todas ‘instruções condicionais’…só dizendo           respeito a uma “ínfima parte” – do nosso conhecimento de mundo.

A rigor, deve-se mencionar que, a algumas décadas atrás, descobriu-se que mesmo estas evidências condicionais não podem ser totalmente precisas. Na verdade, as leis naturais são leis de probabilidade‘ que nos permitem apenas fazer “apostas razoáveis” sobre propriedades futuras do mundo inanimado (tendo as “condições iniciais“). Elas não nos permitem afirmações categóricas (nem mesmo condicionais) sobre um ‘estado presente’.

c) a “função matemática” nas teorias físicas                                                                    É atribuída a Galileu (300 anos atrás)a afirmação (mais verdadeira do que nunca),          de que as leis da natureza estão corretamente escritas na…”linguagem matemática”.

galileu-galilei-fraseDe posse de uma noção atual dos conceitos da matemática e da física, poderíamos analisar a… “função da matemática” nas teorias físicas…ao avaliar seu efeito nas ‘leis naturais’.  Mas uma tal função… sobre teorias consolidadas, é só uma ferramenta. 

Isto aliás já estava implícito ao se discutir o papel da matemática aplicada…onde as leis da natureza seriam formuladas em linguagem matemática, numa ‘ferramenta’ de uso próprio. A importância desses conceitos é citada por Paul Dirac nos axiomas da mecânica quântica:

“Existem 2 conceitos básicos em mecânica quântica…’estados‘ e ‘variáveis‘… – Os  estados (posição/momento) são representados por vetores no espaço de Hilbert e as         variáveis (toda grandeza física) são operadores autoadjuntos desses vetores…Ambos        são definidos, respectivamente, pelos ‘vetores unitários’ e ‘operadores lineares’… em        um espaço de dimensão infinita (‘espaço de Hilbert‘)… – Os elementos desse espaço (‘estados’), e os operadores lineares (‘variáveis dinâmicas’)…que agem sobre ele, são representados por sequências de ‘nºs complexos’…e ‘matrizes’ de dimensão infinita”.

É evidente que a física escolhe certos conceitos matemáticos para a formulação das ‘leis naturais’…e certamente, apenas uma fração de todos conceitos matemáticos é utilizada.    É verdade também que os conceitos escolhidos – não são selecionados arbitrariamente,      a partir de uma lista de termos matemáticos…mas sim, em muitos (talvez maioria) dos casos, elaborados livremente, para serem a seguir, reconhecidos como ‘pré-concebidos’.  Não é verdade, contudo (como frequentemente declarado)…que isto tinha de acontecer porque a matemática utiliza os conceitos mais simples possíveis, e estes ocorreriam em qualquer formalismo. Como vimos, os conceitos de matemática não são escolhidos por    sua simplicidade, mas sim, pela surpreendente ‘operacionalidade e ‘abrangência.

Certamente, para um leigo… os ‘números complexos‘ — estão longe de ser uma operação natural ou simples; não podendo sequer ser associados a observações físicas. Além disso,   o uso destes números, no caso…não é um truque computacional de matemática aplicada, mas chega perto de ser uma “necessidade”, na formulação das leis da mecânica quântica (como o citado “espaço de Hilbert” da mecânica quântica, um espaço vetorial complexo).

E não apenas ‘números complexos’, mas também ‘funções analíticas’ se destinam a desempenhar um papel decisivo na formulação da…teoria quântica… É isso que se deduz da  ‘Teoria das Relações de DispersãoAqui… tem-se a impressão…de um milagre… comparável em raridade, ao “dom” da mente humana… em relacionar argumentos … sem cair em contradição… ou – até mesmo    à existência de “leis naturais”…e a nossa capacidade em percebê-las.

(A associação do termo “relação de dispersão”…com a relação entre energia e momento para entes físicos com massa de repouso (partículas massivas) decorre diretamente dos princípios estabelecidos por De Broglie e Max Planck no âmbito da física quântica… De Broglie trouxe à luz o fato de que, partículas massivas têm comportamento ondulatório, com comprimentos de onda relacionados a seus ‘momentos’; enquanto Plank mostrava que energias associadas às partículas quânticas – estão relacionadas às frequências das ondas a elas associadas. Portanto… estabelecer uma relação entre energia e momento é como estabelecer uma relação entre frequência e comprimento de onda – ou seja…uma “relação de dispersão” … mesmo para o caso de partículas massivas. — “wikipédia“)

A ideia que mais se aproxima de uma explicação aos conceitos matemáticos imanentes à física que conheço é a afirmação de Einstein que diz “somente são belas as teorias físicas que estamos dispostos a acreditar”, nos sugerindo que os conceitos da matemática têm a qualidade intrínseca da ‘beleza’… A observação de Einstein contudo, não faz referência à consistência da teoria em si – mas sim… à concisão das propriedades de seus elementos.

d) A surpreendente eficácia (matemática) das teorias físicas                                  “Math is so successful in predicting physical events that it could not be only coincidence”. 

Uma possível explicação para o uso da matemática na formulação das leis da natureza é que o físico – sendo uma pessoa um tanto irresponsável, quando descobre uma conexão entre 2 quantidades – que se assemelha a uma conexão matematicamente bem definida,     já conclui ser essa conexão a procurada, simplesmente, porque ele não sabe de qualquer outra conexão similar… Não é a intenção do presente artigo refutar a acusação de que o físico seja pessoa um tanto irresponsável… No entanto, é importante ressaltar que, num número incomum de casos, a sua ‘formulação matemática’…muitas vezes com carência experimental resulta numa descrição incrivelmente precisa de grande nº de fenômenos.

O que mostra que a linguagem matemática, num sentido bem real,                deve ser a linguagem correta… – Vejamos agora alguns exemplos:

O primeiro deles é o frequentemente citado movimento planetário… As leis da queda de corpos tornaram-se bem estabelecidas através de resultados experimentais realizados sobretudo na Itália (Galileu). Estas experiências porém, não podiam ser muito precisas, em parte, devido ao efeito da resistência do ar…e também, pela dificuldade experimental da época em medir intervalos muito curtos de tempo. Newton, a seguir, relacionou a lei dos corpos em queda livre ao movimento lunar, observando que a “trajetória parabólica” de uma pedra lançada da Terra – e o curso circular da lua no céu…são casos particulares (geometricamente) de uma elipse … postulando assim a ‘lei da gravitação universal‘,    com base numa muito singular, e bastante aproximada…à época, coincidência numérica.

lei da gravitação de Newton, onde a força F entre dois corpos com massas gravitacionais 1 e 2, separados pela distância d, sendo G uma constante universal, é a ‘força de gravitação‘.

Filosoficamente…a ‘lei da gravitação formulada por Newton – por si própria…era repugnante para o seu tempo. Empiricamente, foi baseada em observações muito escassas. A linguagem matemática em que foi formulada, continha o conceito nada trivial baseado num círculo osculador, de uma 2ª derivada. Mesmo  assim, alei da gravidade“…que, relutantemente, Newton estabeleceu…com precisão em torno de 4%, mostrou um “grau de precisão” menor que 0,010 %; tornando-se então, a ideia de “precisão absoluta“.

Com efeito, o exemplo da ‘lei de Newton’ deve ser inicialmente citado como um extraordinário exemplo de uma lei formulada em termos que parecem simples,               mas que tem provado sua precisão – para além de todas expectativas razoáveis.

O 2º exemplo vem dos fundamentos da ‘mecânica quântica’, e surgiu quando Max Born  notou que algumas das regras do cálculo de Heisenberg eram formalmente idênticas às regras do cálculo matricial, já estabelecidas há algum tempo…Born, Jordan, e o próprio Heisenberg propuseram então substituir as variáveis posição e momento, das equações    da mecânica clássica, por ‘matrizes‘… Eles aplicaram as regras da ‘mecânica matricial’  para alguns problemas altamente sofisticados — e os resultados se mostraram bastante satisfatórios. — No entanto, naquele momento… não havia qualquer evidência racional      de que a ‘mecânica matricial‘ poderia estar correta… – sob condições mais realistas.

mecânica-matricialDe fato… – a primeira aplicação dessa mecânica emergente a um problema real…do átomo de hidrogênio foi dada vários meses mais tarde por Pauli, em uma bem sucedida experiência, ainda referente à antiga teoria do ‘átomo de hidrogênio’. – O “milagre” ocorreu ao ser aplicada a ‘mecânica matricial’ (não comutativa) a problemas para os quais as regras de cálculo de Heisenberg não surtiam efeito… Estas regras pressupunham que equações clássicas de movimento tinham soluções com certas propriedades periódicas – e, que as equações de movimento dos 2 elétrons do “átomo de hélio“… – ou, de um número ainda maior de elétrons em átomos mais pesados…não possuíam tais propriedades – de modo que não poderiam ser aplicadas nestes casos. – No entanto…o cálculo do menor nível de energia do hélio foi realizado com uma concordância experimental… dentro do limite de precisão das observações … ou seja… – aproximadamente… – uma parte em 10 milhões. 

A física, como hoje a conhecemos… não seria possível sem uma recorrência constante a milagres similares ao do átomo de hélio…talvez o mais notável no decurso da mecânica quântica… – mas, certamente, não o único… – Na verdade…supomos que a quantidade desses milagres é limitada apenas pela capacidade de corrermos atrás… de mais outros.

O 3º exemplo vem da… eletrodinâmica quântica pela ‘Teoria do Deslocamento’ de Lamb Primeiro efeito, explicado em 1947 – a partir da noção de ‘vácuo quântico‘, aplicado a ‘raias espectrais’ do “hidrogênio“… — Se trata de uma teoria puramente “matemática“… cuja única contribuição experimental — foi comprovar um “efeito mensurável” no “átomo de hidrogênio” — com grau de certeza maior que – uma parte em mil.

Os 3 exemplos anteriores… que poderiam ser multiplicados quase indefinidamente, devem ilustrar a adequação e a precisão da formulação matemática às leis da natureza, em termos de conceitos escolhidos pela sua… ‘eficácia’ – com uma precisão quase inacreditável, mas de alcance bem limitado. Propus a terminologia… “leis empíricas da epistemologia“… para caracterizar a ideia que os exemplos acima ilustram. – Estas leis, junto com as ‘leis de invariância’, são fundamento teórico indispensável, ao desenvolvimento da “ciência física”.

Sem as leis de invariância, as teorias físicas poderiam não ter chegado a fundamento algum – e…se a lei empírica da epistemologia não estivesse correta, não teríamos o incentivo e confiança para a exploração – com grande sucesso… das ‘leis da natureza‘.  O Dr. R.G. Sachs, com quem discuti a lei empírica da epistemologia, chamou-a de um… objeto de fé… do físico teórico — e… com toda certeza… — é a isso que se propõe. 

O problema da Unicidade das Teorias Físicas                                                                  It was not possible to formulate the laws of quantum mechanics in a fully                      consistent way without reference to the consciousness”.  (Eugene Wigner) 

Para Eugene Wigner…existem 2  espécies de realidades existenciais – aquela da minha consciência …e a realidade da existência de todo o resto, ou seja, o mundo material,      e as sensações dos “outros”. – A existência de um objeto…um livro, por exemplo… – se trata de uma realidade relativa… expressão apropriada para descrever as sensações      que experimento…Ao passo que a “realidade absoluta“, para Wigner…é a ‘realidade consciente’. Tal concepção advém da noção analítica de medida em mecânica quântica.

Numa medida física – há uma interação do aparelho com o objeto observado; e o estado do sistema (aparelho + objeto) permanece tal…que apenas um estado do objeto pode estar associado com um dado ‘estado do aparelho‘… – Assim, a medida desse estado, conduz à medida do objeto físico, que só é definida, quando consciente dessa indicação.

“Esta última etapa é – no presente estado de nosso conhecimento, envolta     em mistério, e não há nenhuma explicação para ela até agora, em termos de mecânica quântica, ou em termos de qualquer outra teoria.”  (Wigner)

Temos visto que existem “regularidades” nos eventos ao nosso redorque poderiam ser formuladas em termos de conceitos matemáticos – com precisão excepcional. – Há, por outro lado, aspectos do mundo, aos quais não acreditamos na possibilidade de qualquer regularidade explícita. – Nesse sentido, a questão que se nos apresenta é…se diferentes regularidades, isto é… as várias ‘leis naturais’que estão sendo descobertas, se juntarão em uma unidade coerente… – ou, pelo menos dela se aproximarão… – assintoticamente.    É provável que sempre existam algumas…leis da natureza…que nunca terão nada em comum entre si… – É, portanto, até possível que algumas dessas leis entrem em conflito umas com as outras … mas, com cada qual coerente em seu próprio domínio, de modo a    não nos obrigar a abandonar nenhuma delas. – Talvez tenhamos que nos resignar a um      tal ‘estado de coisas‘, a fim de manter nosso interesse numa ‘verdade global’ (amálgama    constituído…como um caleidoscópio…de vários diversos aspectos da mesma natureza).

Atualmente na física temos como bom exemplo… 2 teorias de grande poder e interesse:      teoria quântica’, e a relatividade’(teorias com tipos de ‘fenômenos’ excludentes entre si). – A teoria da relatividade de Einstein se aplica aos “corpos macroscópicos” (como estrelas), e é fundamentada no evento da “simultaneidade”…na identificação da “força da gravidade” com uma distorção do espaçotempo…e no limite da velocidade da    luz (‘c‘). A teoria quântica, por sua vez, se refere ao mundo microscópico… e, do seu ponto de vista, os eventos de simultaneidade, ou colisão, mesmo que ocorram entre partículas virtuais não são fundamentais nem definidos isolados no espaçotempo.

As 2 teorias operam com diferentes conceitos matemáticos:                           as 4 dimensões espaciais de Riemann (relatividade)… e o dimensionalmente infinito “espaço de Hilbert” (quântica).

Até agora, as 2 teorias não puderam ser unidas, ou seja, não há formulação matemática para a aproximação de ambas. Acredita-se que a união das 2 teorias seja inerentemente possível, e um dia possamos encontrá-la…No entanto, é possível imaginar também que nenhum tipo de união possa se realizar…Nesse sentido, é um aspecto adverso, o fato de algumas das teorias que sabemos ser falsas… – ofereçam resultados…tão incrivelmente precisos; pois… se, por acaso, tivéssemos um pouco menos de conhecimento a respeito,      o conjunto de fenômenos que tais falsas teorias explicam nos pareceria forte o bastante para comprová-las… – No entanto, elas poderiam ser consideradas falsas…apenas pela razão de serem… – em última instância – incompatíveis com teorias mais abrangentes.

Se acontecesse de uma quantidade suficientemente grande                        dessas teorias falsas, ser experimentalmente confirmadas,                          seriam obrigadas a provar também a incoerência entre si.

Dessa forma, é possível que teorias que consideramos como ‘demonstradas’ – por uma série suficientemente grande de concordâncias numéricas…sejam falsas… por estarem      em conflito com uma possível… ‘teoria mais abrangente’ – que estaria além dos nossos recursos atuais de percepção. Nesse caso, seria de se esperar conflitos teóricos, assim      que seu campo crescesse além de certo ponto…que abarcasse um nº grande o bastante      de fenômenos semelhantes…sendo esse… – o “pior dos pesadelos” do físico teórico. 

Consideremos alguns exemplos de falsas teorias que segundo suas idiossincrasias, fornecem descrições com grau de precisão acima do normal… — com relação a certos tipos de fenômenos… O sucesso das ideias iniciais e pioneiras de Bohr sobre o átomo, sempre foi um tanto restrito…sendo que o mesmo se aplica aos epiciclos (Ptolomeu). Nosso ponto de vista atual — fornece uma descrição precisa dos… ‘fenômenos’ – que essas teorias, um dia cogitaram descrever.

O mesmo já não se pode dizer da chamada ‘Teoria dos Elétrons Livres’…que nos dá uma imagem maravilhosamente precisa, de muitas… se não a maioria das propriedades dos metais… semicondutores… e… isolantes. Ela, inclusive, explica o fato…nunca muito bem compreendido pela teoria atual…de materiais isolantes terem uma… resistência específica à eletricidade – que pode ser…até 10e26 vezes maior…do que a dos metais.    Na verdade não há nenhuma evidência experimental para nos mostrar que a resistência não seja infinita, sob condições nas quais a Teoria dos Elétrons Livres nos levaria a assim esperar. – Todavia…estamos convencidos de que esta ‘teoria’ é uma aproximação grosseira… – a ser substituída na descrição de todos os fenômenos de materiais sólidos. Do ponto de vista atual, a situação apresentada lança dúvidas sobre a confiabilidade na concordância numérica…em teorias e experimentos…e, na evidência de sua veracidade.

mendel

Uma situação…bem mais difícil e confusa… surgiria se pudéssemos algum dia … construir uma teoria dos… ‘fenômenos da consciência’.  Ou talvez…uma “teoria biológica” que pudesse ser, tão convincente    e coerente…quanto nossas atuais teorias… do “mundo inanimado”.  Em relação à biologia… as leis dahereditariedade” de Mendel, e o trabalho seguinte…sobre “genes”, poderiam ser uma ‘ótima aposta.

Porém, é ainda possível de se achar argumentos abstratos – mostrando inconsistências entre tal teoria, e princípios físicos… O argumento poderia ser de natureza tão abstrata, que a dúvida em favor de uma ou outra teoria, fosse ‘praticamente‘ insolúvel… Uma tal situação traria grande pressão sobre a fé em nossas teorias, e na verdade dos conceitos que formamos. – A razão por que tal situação se torna possível, é… basicamente, o fato      de não sabermos o motivo das nossas teorias funcionarem tão bem. Daí, a sua precisão pode não ser a… “prova definitiva” – que possa determinar…a sua verdade e coerência.

É minha crença, que ocorreria uma situação semelhante à descrita acima…se as leis da ‘hereditariedade‘ fossem confrontadas com as ‘leis físicas‘. Mas, vou encerrar num tom mais animador…O milagre de que a linguagem matemática seja apropriada para a formulação das leis da física…é uma dádiva maravilhosa… que ainda nem entendemos, nem merecemos. – Devemos ser gratos por ela, e assim, almejar que permaneça válida  nas pesquisas futuras – podendo se estender…para melhor ou pior…para nosso prazer      ou espanto… — “ad aeternum“… — sobre os vastos ramos do nosso saber. (texto base)

extraído deThe Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”      in Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I (February 1960).   New York… — John Wiley & Sons, Inc. Copyright © 1960, by John Wiley & Sons, Inc.      ******************************************************************************    Artistas têm consciência de que a mais sublime beleza não é alcançada, reproduzindo          a natureza, mas sim…pela ‘representação’ dela. Matemáticos e físicos teóricos – mais        do que ninguém…compartilham com artistas…dessa abordagem estética de trabalho,    pois dão forma a explicações…que quando dão certo, captam algo de novo do mundo        real – que…ao mesmo tempo…continua sendo um produto total de sua ‘imaginação‘:      “Uma profunda e permanente realidade, por trás da experiência, apenas transitória”.      Tal misticismo das coisas matemáticas… a crença que em seu nível mais profundo, a realidade possa ser captada por uma equação – ou, por uma estrutura geométrica, é            a…’religião particular‘…do físico teórico… Semelhante a outras formas genuínas de ‘misticismo’, não é algo que possa ser comunicado em palavras…deve ser vivenciado.          É a experiência ímpar de sentir a possibilidade, de que uma construção matemática inteligível, possa também ser o mundo. (do livro “A Vida do Cosmos” – Lee Smolin)  ****************************(texto complementar)*****************************            É um desejo antigo… tanto dos físicos, quanto dos matemáticos, criar abordagens geométricas para as teorias físicas… – Carece o físico, da visão mais intuitiva dos conceitos, quando algumas vezes estes tornam-se abstratos; por outro lado…é um desejo inerente ao matemático, encontrar algum tipo de natureza nas coisas mais abstratas possíveis. E assim, cada vez mais… estes 2 universos tornam-se comuns.

galileuA“Filosofia da Matemática”“O livro da natureza está escrito na linguagem matemática.” (Galileu Galilei)

A linguagem da ciência moderna é a “matemática”… Se,    na tentativa de descrever o mundo pela religião…com a erudição ancestral dos sábios, foi utilizada a linguagem ‘simbólica‘…enquanto o pensamento filosófico, nascido    da ‘cultura grega’…logrou se expressar por ‘conceitos’;    a ‘ciência moderna‘…com início pelas ideias de Galileu, fala a ‘linguagem matemática‘…síntese de símbolos      e conceitos. Na busca do sentido da realidade – muitos filósofos e matemáticos têm concluído que vivemos em um universo matemático, no qual todas as estruturas também fazem parte – de certo modo…do mesmo mundo físico.

Desde os tempos antigos … sempre tem despertado uma enorme atenção – a existência da proporção áurea, também conhecida como “Proporção Divina” – termo cunhado pelo Frei (e matemático) Luca Pacioli, no século XV … em referência a uma relação proporcional na natureza, que parece modelar todas as coisas. Geometrias da arquitetura, pintura, música, e até mesmo natureza seguem esta representação, correspondente a uma relação definida em 1,618 (o número áureo)… o qual se supõe ser uma “chave universal” para penetrar nos segredos da beleza e natureza – de onde se situa o “Homem”… – medindo todas as coisas.

homem-vitruviano

O ‘Homem Vitruviano‘ ganhou popularidade graças ao desenho de Leonardo Da Vinci (…amigo de Luca Pacioli), em que o Homem de Vitrúvio é desenhado dentro dos limites de um quadrado e de um círculo, demostrando assim — a possibilidade de se achar a Divina Proporção também no corpo humano. De fato, multiplicando, numa pessoa adulto comum, a distância do seu pé ao umbigo por 1,618… obtemos a medida de sua altura… Além disso, a distância da mão ao cotovelo, multiplicada por este mesmo valor – representa o comprimento total do braço. Também, a distância do joelho à cintura, multiplicada por este “nº áureo” coincide com o tamanho da perna – desde a cintura ao tornozelo…Até a relação entre falanges dos dedos médio e anular é áurea…e divisões do rosto humano…seguem a mesma proporção.

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Mas, o corpo humano não é a única realidade natural que se desenvolveu respeitando estas bases… – O que haverá de comum entre uma galáxia – o crescimento orgânico de algumas espécies de animais, o espaço entre as folhas ao longo da haste… – e arranjo de pétalas…e sementes de girassol?…Todos esses sistemas estão relacionados com a proporção áurea, e  a “espiral logarítmica”…ou “espiral áurea“.

Até em numerosas obras arquitetônicas, de um passado mais remoto, suas proporções estão relacionadas à relação áurea. Como exemplos, nos monolitos de ‘Stonehenge’, as superfícies dos 2 círculos concêntricos de pedras, guardam a relação 1,6 — enquanto a pirâmide de Quéops tem uma base de 230 metros, com altura de 145 metros…em uma relação bem próxima de 1,6. E, mais atualmente…a catedral de ‘Notre Dame’ em Paris,        e o edifício da ONU/Nova York foram construídos em proporções do ‘retângulo áureo’.

Muitos pensadores têm perguntado…se a matemática é um sistema inventado pela mente humana… – ou se tem ‘origem cósmica’ (espécie de conhecimento divino que carregamos conosco). O primeiro deles a refletir sobre uma possível origem metafísica da matemática foi o filósofo grego do século VI a.C…chamado Pitágoras. – Segundo o ‘filósofo de Samos’, os números podem explicar tudo que nos rodeia; do movimento das estrelas…às estações do ano; ou a harmonia musical. Para ele…o ‘número’ é o elemento que faz todas as coisas.

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Mas, responder à questão da origem da matemática – se uma invenção humana…ou, o descobrimento de algo que existe na natureza, por si mesmo, não é uma tarefa simples.    Ao longo dos séculos…filósofos, matemáticos, físicos e psicólogos têm tentado dar uma resposta à esta pergunta … semelhante à de Hamlet– Invenção, ou…descobrimento?

O neurobiólogo Jean-Pierre-Changeux questiona a pergunta da seguinte forma…”Como pode um estado físico, dentro do cérebro, representar outro estado físico externo a ele?”   Boa pergunta!…Kurt Gödel, famoso lógico e matemático estava plenamente convencido     de que a matemática se tece dentro da estrutura da realidade, para formular uma prova matemática de Deus… Em seu livro La prueba matemática de la existencia de Dios o matemático se envolve numa prova lógica…de “Sua Existência”… empreendimento que hoje pode parecer anacrônico… mas que se encontra no roteiro de uma antiga tradição.

Igualmente convencido da “objetividade matemática”, o atual astrônomo do MIT, Max Tegmark disse… “Se acreditamos que exista uma realidade externa independe de nossa atenção, então devemos crer na hipótese de um ‘Universo Matemático’Ou seja…Nosso universo não é só descrito pela matemática… – ELE É A MATEMÁTICA”… (texto base) *******************************************************************************  “Existe um ponto de vista que na minha opinião não é raro entre matemáticos criativos;       a saber – as ‘estruturas matemáticas’ a que eles chegam…não são criações artificiais da mente humana…mas, ao contrário – há naturalidade nelas, como se tão reais fossem – quanto estruturas criadas por físicos, para descrever o assim chamado ‘mundo real’…E, assim sendo, matemáticos não estão inventando matemática nova, mas a descobrindo”. **********************(Mario Livio…”Deus é matemático?”) ************************

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Tudo o que existeé feito de números?  Indo fundo o suficiente…talvez descubramos que objetos físicos como mesas, cadeiras não se fazem de partículas ou cordas, mas de nºs.

Os números participaram de alguns eventos extraordinários no século passado. Einstein, por exemplo intuiu o universo em expansão, antes de qualquer evidência disto, antes até dele mesmo perceber … que seria possível o Universo físico encolher, ou expandir. Mais recentemente o Grande Colisor de Hádrons (LHC) achou uma partícula que há décadas assombrava as equações físicas (o Bóson de Higgs). – Não esquecendo da descoberta da ‘radiação cósmica de fundo em microondas’, comprovando a temperatura do ‘Big Bang‘.

Como a matemática sabia destas coisas?… Como previsões teóricas encontraram um eco tão dramático no mundo físico?… “Talvez por que a matemática seja a realidade”… diz o físico Brian Greene, da Universidade Columbia/EUA. – Já James Ladyman… filósofo da ciência na Universidade de Bristol acredita ser este um problema bem difícil de resolver:  “mas, seria menos enganoso dizer que o universo é feito de matemática, do que matéria”.    Mas antes de dizer que “o universo é feito de matemática”, vamos começar perguntando do que é feita a matemática?…O renomado físico John Wheeler já disse que “a base de toda matemática é0=0″. – Toda estrutura matemática pode ser derivada… de algo chamado “conjunto vazio“…ou…’conjunto sem elementos’…que corresponde ao zero.    

Pode-se definir o 1…como o conjunto que contém apenas o conjunto vazio… o 2 como o conjunto que contém os conjuntos que correspondem a 0 e 1… e assim por diante. – Ao juntarmos estes “nadas” – um dentro do outro…  – veremos toda a matemática emergir.    E justamente sobre isso, o matemático Ian Stewart comenta…“o mais terrível segredo      da matemática, é que está baseada em nada”. – A realidade pode vir a ser a matemática, mas a matemática é nada… — e um universo feito de ‘nada’ … não precisa de explicação.

Aparentemente, as estruturas da matemática não precisam de uma origem física; como explica Max Tegmark, do ‘MIT‘… “Um dodecaedro nunca foi criado!…Para ser criada, primeiro alguma coisa tem que não existir no espaço ou tempo, para então existir. Mas,    ele existe, independente de espaço e tempo. – Mesmo, o próprio…’espaço-tempo’…está contido em estruturas matemáticas maiores, que não podem ser criadas ou destruídas”. 

PlanoComplexo

O “Plano cartesiano” é chamado “Plano complexo” quando o eixo das abscissas (x) é o Eixo real, e o eixo das ordenadas (y) é o eixo imaginário.

Mas aí temos outro problema… por que o universo é feito, apenas, de uma parte da matemática que conhecemos?…Há muita matemática mas somente uma parte dela aparece no mundo físico…Algumas vezes, certas estruturas…que parecem ‘arcaicas’  acabam por se relacionar com o “mundo físico”…”Números imaginários“…por exemplo, representam agora, no “campo quântico” – o desempenho elementar de ‘partículas virtuais‘. Por outro lado, a ‘geometria não euclidiana‘ foi usada pela ‘relatividade geral’… para explicar a gravidade. – Mas, mesmo assim…tudo        isto não passa, de uma ínfima porção da matemática… — que podemos conhecer.

O ilustre cosmólogo Max Tegmark, também acredita que existência física…bem como    existência matemática são a mesma coisa. – Assim, qualquer estrutura matemática é também uma ‘estrutura física real’. – Mas… e a matemática que nosso universo não usa? Diz ele que… — “Outras estruturas matemáticas… correspondem a outros universos”.    É o que ele chama de multiverso nível 4…e é muito mais estranho que os multiversos discutidos pelos cosmólogos. Multiversos são governados pelas mesmas básicas…regras matemáticas do nosso universo, contudo o multiverso de nível 4 de Tegmark opera com matemáticas desconhecidas… – ou… não utilizáveis. ## (‘Texto base’) ## [(original)**********************************************************************************

“Números complexos”

Teoria dos Números… é o ramo da Matemática… – que investiga as propriedades dos ‘números naturais’, ou inteiros positivos 1, 2, 3, 4, 5, … Os números naturais surgem do processo de contar…  cujo conceito foi axiomatizado(como ‘verdade inicial’– aceita sem demonstração) por Giuseppe Peano, em 1889, numa das 1ªs manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática.

A história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração Os nºs inteiros negativos  resultam de subtrações. Ao longo da história os matemáticos não resistiram à curiosidade de multiplicar números negativos — dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3…}. E então quando os Pitagóricos (550 AC) descobriram que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1… é √2… um número que não poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais), com m e n naturais e n distinto de zero, esse modelo do mundo ruiu…Ora, √2 não é razão de números naturais!…E assim, por necessidades intrínsecas da investigação matemática, o universo dos números naturais… foi amplamente expandido ao longo dos tempos.

Álgebra é a parte da matemática elementar que generaliza a aritmética, com variáveis e constantes, simplificando a resolução – por meio de funções…de problemas nos quais as grandezas são representadas por símbolos. Originária dos povos árabes… durante seu desenvolvimento…na Europa da Idade Média…matemáticos italianos exploraram vários tipos de equações, e classificaram suas soluçõesTal investigação mostrou que algumas equações algébricas … não possuíam solução em termos dos números conhecidos.

Um dos problemas enfrentados consistia na solução da equação x² + 1 = 0. Essa equação não parecia ter solução…pois contrariava o fato de que todo número real distinto de zero, quando elevado ao quadrado, é positivo. – Os matemáticos indianos e árabes, quando se deparavam com essas equações…se recusavam a definir algum símbolo para expressar a raiz quadrada de um número negativo…entendendo o problema totalmente sem sentido.    Quando, no Século XVI…raízes quadradas de números negativos começaram a aparecer em textos algébricos, os autores frisavam que as expressões não possuíam significado, e utilizavam termos tais como ”fictícias”, “impossíveis”, “sofisticadas”, para mencioná-las.

Leibniz (1646-1716), um dos inventores do Cálculo Diferencial, atribuía à raiz quadrada      de –1 um certo caráter metafísico interpretando-a como uma manifestação do “Espírito Divino”; a mesma sensação de espanto se deu pouco mais tarde com Euler (1707-1783).

Mesmo assim…alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Cardano e Bombelli…durante o Século XVI…introduziram os números complexos na Álgebra,          assumindo então a existência de raízes quadradas de números negativos, apesar de considerarem tais raízes ‘números impossíveis’, e assim, denominá-los “números imaginários”. Postulava-se assim a existência de raízes quadradas de números          inteiros negativos … assumindo que i é solução da equação x² + 1 = 0. Satisfeita a relação i² = –1 pode-se efetuar operações envolvendo i e números reais. De modo            que, para qualquer nº real positivo a, a raiz quadrada de –a é i√a, isto é, √-a = i√a.

Os matemáticos costumam representar os ‘números reais’ como pontos em uma reta denominada de reta real (x)… onde a cada ponto corresponde um único número real, e a cada número real, por uma função f(x) associa um único ponto dessa reta…Como a “raiz quadrada de um número negativo” não poderia ser aí representada, persistiu o impasse até o Século XIX. A questão foi resolvida associando-se aos “imaginários” pontos sobre uma reta perpendicular…(y) à reta real, passando pelo ponto zero…em um “sistema de coordenadas cartesianas”.

Assim, não só imaginários passam a ter uma representação gráfica, como as combinações possíveis de reais e imaginários (a + bi), isto é, os números complexos, são representados por pontos no plano definido pelos eixos real e imaginário, denominado ‘plano complexo’.  Até que o talento e a genialidade de Gauss (1777-1855), levaram a um dos resultados mais belos da Matemática – o Teorema Fundamental da Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui solução no corpo dos números complexos. Com base nesse resultado, a álgebra dos nºs complexos originou uma nova área de investigação – a Análise Complexa, que tem um papel fundamental no desenvolvimento da Álgebra e da Teoria dos Números.

Os números complexos representam uma das estruturas mais importantes da Ciência. Atualmente é impossível imaginar a Engenharia Elétrica, Aerodinâmica, ou Dinâmica      dos Fluidos, sem os números complexos. Tal como a Mecânica Quântica faz uso deles (espaço vetorial complexo), na Teoria da Relatividade o espaço tridimensional é visto como real… — enquanto a dimensão relativa ao tempo … é imaginária. (texto base)

Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979.
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2 respostas para A função matemática nas ‘Ciências Naturais’

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