‘Espaço de Hilbert’, e os limites da ‘lógica simbólica’

“As noções fundamentais da geometria… e as abstrações decorrentes – não                          são parte do mundo em que vivemos, mas sim da forma como construímos                            o Universo em nossas mentes”. (Michel Janos … “Matemática e Natureza”)

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René Magritte – “la-idea” – 1966

No início do século 20 havia uma crise na matemática: faltava-lhe um fundamento. – As ‘teorias matemáticas’ estavam dispersas; com cada uma sendo desenvolvida, por suas próprias regras. – É então, que David Hilbert  elabora um programa para resolver essa crise, criando um ‘sistema axiomático’ a partir do qual seria possível construir e demonstrar logicamente, toda matemática até então… Isso, certamente, era muito mais difícil do que à época euclidiana… — quando foi formulado o 1º sistema desse tipo (“Os elementos“)…mas, para tanto, todas ferramentas necessárias, já haviam sido criadas.  Gottlob Frege, p. exemplo, criou em 1879 umalógica de predicados, usando técnicas da lógica formal  ao criar simbolicamente um “quantificador” de variáveis.

Frege todavia, não se estendeu à lógica aristotélica, mas a negou. Para Aristóteles, uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, nada mais. – Cada predicado…ao contrário,    ora assume um valor verdadeiro, ora assume um valor falso…conforme o valor de cada variável nele contido. Em oposto às proposições de Aristóteles, o predicado…x é bom, encerra em si as 2 possibilidades…verdadeiro e falso, ou seja, sua veracidade é relativa      ao valor de “x”. Assim, Frege incorporou na lógica formal um conceito matemático…e,    sem perceber, deu um “salto dialético“…ao desenvolver, e negar a lógica aristotélica.      O trabalho de Frege ficou desconhecido por várias décadas…Em 1893, Frege lança a 1ª edição do livro “Leis Básicas da Aritmética”, criando a partir de sua lógica um sistema axiomático para a aritmética Em 1903, quando a segunda edição do seu livro estava      para ser impressa, Bertrand Russel mostroua partir de seu ‘sistema axiomático’, ser possível chegar a um paradoxo (“Paradoxo de Russel”). Na década de 1910 Russel e Alfred Whitehead lançaram “Principia Mathematica”…contendo um extenso trabalho, visando construir toda matemática conhecida até entãoa partir de algumas dezenas      de axiomas. O trabalho foi baseado no sistema lógico fregeano e objetos matemáticos, concebidos a partir da teoria de conjuntos (Georg Cantor), e teoria dos números reais.

Após mais de 2 mil anos… finalmente, os trabalhos de Aristóteles e Euclides                      achavam uma síntese. Muito embora, algumas décadas depois, Kurt Gödel                          e Alan Turing colocassem um “freio” – na maioria dos objetivos de Hilbert. 

axiomasMétodo axiomático de Hilbert

Um axioma é uma espécie de verdade inicial propriedade mais ou menos evidente, da qual, sem demonstração,  aceitamos sua…’veracidade dos fatos’.  Pode também ser uma “propriedade”, ou regra — aleatoriamente inventada, sem relação direta com a…’realidade’, que nós mesmos decidimos respeitar.

Assim, uma teoria axiomática é uma teoria que…fixando por definição certos objetos – a respeito dos quais a teoria vai tratar – enuncia axiomas (ou postulados), aos quais os objetos em questão devem obedecer – com o objetivo final de deduzir desses axiomas, por meio de raciocínio puramente lógico — outras propriedades inerentes — ditas ‘teoremas (cuja validade possa ser verificada sem auxílio da intuição…e/ou, da experiência sensível).  Na “lógica axiomática” – um postulado é uma ‘sentença‘ não provada ou demonstrada, mas, por ser considerada como… “óbvia” – é um “consenso“…para se aceitar uma teoria.

Osaxiomas de Hilbertsão um conjunto de 20 (originalmente 21) premissas propostas por David Hilbert, em 1899, em seu livro… “Fundamentos da Geometria” … objetivando outorgar um tratamento moderno àgeometria euclidiana‘. (outras tentativas modernas    de axiomatização da geometria euclidiana são as de Alfred Tarski, e de George Birkhoff). Sua proposta foi identificar um conjunto simples e completo de axiomas independentes,    a partir do qual teoremas geométricos pudessem ser deduzidos, fornecendo maior rigor      à geometria euclidiana, inclusive, ao definir as ramificações dopostulado das paralelas‘.

A abordagem de Hilbert marca a transição para o método axiomático moderno…no qual axiomas agora não são mais verdades auto-evidentes. Apesar da Geometria tratar objetos a respeito dos quais temos forte intuição, não são necessários significados explícitos para conceitos indefinidos como ponto, reta, plano e relações de pertinência, congruência, etc.  Segundo Hilbert, não seria mais necessário tratar destes conceitos…comuns à geometria, podendo substituí-los por signos cotidianos…Pois a discussão não mais se baseia nos objetos, mas nas relações entres eles. Estabelecia-se assim…o que chamamos de axiomas    de incidência… – de ordem… – de congruência… – paralelismo de retas… e continuidade.  

9 dimensões escalares

Espaço de configuração (9d)…advindo da transformação de um campo vetorial OG –> em um…”campo escalar”.

“O espaço de Hilbert”                “Espaço vetorial, dotado de produto interno… representado por medidas angulares…bem como, de distância”.

O conceito matemático de “distância” é formalizado através de uma…’métrica do espaço (no exemplo ao lado — a partir do vetor OG). — Para nós…seres humanos, este espaço, é a superfície da Terra mas, há muitos outros tipos de “espaços matemáticos” — alguns dos quais, realmente, bastante…abstratos

Na mecânica quântica, o conjunto das configurações de um sistema (“espaço de fase”)  é representado pelo “espaço (abstrato) de Hilbert”, onde possíveis estados do sistema físico correspondente se caracterizam por ‘funções de onda‘…O que tal espaço tem em comum com a superfície da Terra – é que nele, também podemos quantificar a diferença entre duas funções de onda através de um ângulo (produto escalar) … ou através de uma distância (métrica). – E, assim como na superfície da terra…ângulo e distância fornecem  informações diferentes e complementares… o ‘espaço de Hilbert’ é métrico e unitário

A mecânica clássica estuda os sistemas segundo informações de cada variável, em função do tempo. Por exemplo, uma partícula que se move numa direção e sentido…x(t)…poderia ser medida a cada instante, ao longo de sua trajetória, para determinarmos momentum, velocidade, campo magnético, campo elétrico, massa; tal como se faz com qualquer objeto macroscópico. Para descrever a evolução temporal destas variáveis dinâmicas…utilizamos umespaço de fase, cuja trajetória corresponde à evolução temporal do sistema. Portanto, o ‘espaço de fase’ é uma ferramenta útil na compreensão do comportamento dos sistemas; e tanto a mecânica clássica quanto a mecânica quântica, podem ser formuladas de acordo com seus termos. – A grande diferença … no caso da ‘mecânica quântica’ – é que agora as partículas têm estados que são como função de onda…ψ(x, t)…onde x é um vetor em um “espaço complexo“. Assim…as variáveis físicas que podem ser medidas (“observáveis”) são representadas por “operadores” desta ‘função de onda’…e as coordenadas dos pontos no espaço de fases são tais que (x.y) não é igual a (y.x) ou seja… “nãocomutam“.

A “geometria não-comutativa” aparece…entre outros vários casos, como uma geometria apropriada – para espaços no domínio quântico,        por assim dizer. A ideia é utilizá-la… não só para melhor entender tais    fatos, mas também para buscarmos eventuais generalizações teóricas.

Uma das inquietudes da Mecânica Quântica no campo didático – é justamente essa sua descrição Matemática. – Enquanto na Mecânica Clássica os “estados” são tipicamente vetores que guardam os dados de posição e momento de cada partícula do sistema (isto    é…elementos de um espaço vetorial de dimensão finita)e “observáveis” são funções nesses espaços (temperatura, pressão, e energiapor exemplo), na Mecânica Quântica, temos um modelo bem mais sofisticado – A necessidade de um Espaço de Hilbert, para descrever os…”estados”… – e de operadores…para caracterizar os “observáveis”, quebra intuitivamente a noção clássica, onde ‘estados’ e ‘observáveis’, respectivamente,  são os elementos de um espaço de fase e ‘funções contínuas’ sobre ele. (texto1) (texto2) *********************************************************************************

Espaço emergindo da Mecânica Quântica (set/2016)                                                      “Certamente, tem-se colocado que a introdução de um continuum espaço-tempo pode        ser considerada contrária à natureza – tendo em vista a estrutura molecular de tudo o        que acontece em micro-escala. Sustenta-se que talvez o sucesso de Heisenberg aponte    para um método puramente algébrico de descrição da natureza…assim eliminando de funções contínuas…a física. A princípio… então – deveríamos abandonar também o continuum espaçotempoNão seria surpreendente, nesse caso, que a engenhosidade humana pudesse encontrar métodos que possibilitem prosseguir por tal caminho. No momento, entretanto, tal programa parece uma tentativa de respirar no espaço vazio”.

Outro dia eu me diverti ao encontrar uma citação de Einstein de 1936, sobre o quão difícil seria quantificar a gravidade: “É como uma tentativa de respirar no espaço vazio”. Oitenta anos mais tarde, eu acho que ainda podemos concordar que é difícil.  Então aqui está uma possibilidade que vale a pena considerar — em vez da “quantização da gravidade” talvez precisássemos “gravitizar” a mecânica quântica…Ou, seja…“encontrar a gravidade dentro da mecânica quântica”. Ao invés de começar com alguma visão essencialmente clássica da gravidade, e‘quantificá-la’ – poderíamos começar com uma visão quântica da realidade, desde o início; e encontrar o “espaço tridimensional” em que vivemos de alguma forma, emergindo da ‘informação quântica’. Este projeto foi então elaborado…em junho de 2016, por 3 físicos da Cornell University: ChunJun Cao, Spyridon Michalakis, e eu, neste artigo.

Todos nós, mesmo aqueles que estudam  “mecânica quântica” há um bom tempo, ainda pensamos em…”termos clássicos”, posições, momento, partículas, campos,  o próprio espaçoA mecânica quântica  todavia conta uma história diferente. O “estado quântico” do Cosmos – não é uma coleção de “coisas” distribuídas no espaço…mas uma ‘função de onda‘, que permite ‘prever resultados’…Sempre ao medirmos uma ‘quantidade observável’ como posiçãomomento, ou a rotação    de uma partícula, sua função de onda tem um…’valor provável’…a cada resultado possível; e a probabilidade desse resultado é definida pelo quadrado do módulo ‘função de onda‘.

Na prática … essa é normalmente a forma de construir ‘funções de onda’…Comece              com alguma noção clássica real como ‘posição’ de uma partícula, ou amplitude de            um campo, e a cada valor possível, anexe um ‘nº complexo’…o qual, ao quadrado,              nos dá a probabilidade de se observar o sistemaonde o valor está determinado.

Matematicamente, ‘funções de onda’ são elementos de um ‘espaço de Hilbert’…uma estrutura matemática a cujos “vetores” podemos acrescentar “estados quânticos”          em conjunto (origem das “sobreposições” na mecânica quântica), e assim calcular o            ângulo (produto escalar) entre eles. – A palavraespaço, nesse caso, não significa o clássico espaço tridimensional, nosso conhecido; nem mesmo o quadridimensional espaçotempo relativístico… é só um modo matemática de falar sobre coleções de              coisas abstratas, neste caso “possíveis estados quânticos do Universo”. Por parecer          algo bastante “abstrato” afastado dos fenômenos tangíveis da nossa vida comum;            algumas vezes surgem dúvidas…se precisamos complementar a mecânica quântica          com novas variáveis adicionais, ou, por outro lado, se as ‘funções de onda’ refletem          nosso atual conhecimento do mundo, por meio de… “representações da realidade”.

Podemos construir um ‘espaço de Hilbert’ iniciando com uma ideia clássica como              “todas as posições possíveis de uma partícula”, e anexando um número complexo                  a cada valor, obtendo assim uma ‘função de onda’. Todas as funções de formas de            onda concebíveis constituem o espaço de Hilbert, mas, como Einstein poderia ter              dito…“Deus não faria dessa forma”. – Uma vez que quantizamos funções de onda              em algum sistema clássico, temos estados que vivem no espaço de Hilbert. Neste              ponto…independente de como chegamos, agora estamos no espaço de Hilbert…e,              deixamos para trás nossa…”origem clássica”. Na verdade, sabemos que muitas                teorias clássicas diferentes…quando quantizadas…levam à mesma teoria como                também, que algumas teorias quânticas não tem antecessores clássicos, em tudo.

Função de onda em um “espaço de Hilbert”                                                                      Enquanto ‘estados clássicos’ são pontos no espaço de fase‘estados quânticos’                      são funções de onda que vivem em algo chamado ‘espaço de Hilbert’Por um        princípioda mecânica quântica o mundo real é melhor descrito por uma                    função de onda: elemento do espaço de Hilbert, evoluindo ao longo do tempo.

Mas o…mundo real desde o seu início, não é a quantização de um‘sistema clássico’, mas sim a mecânica quântica mesma. O Universo é descrito por um elemento do…”Espaço de Hilbert”…todas    as nossas noções clássicas habituais devem ser derivadas disto; não o contrário. Até o próprio espaço através do qual nos movemos, ao invés de um dos componentes básicos e irredutíveis do mundo real, pode ser melhor pensado como uma “forma entrelaçada” ‘não-local’…e ‘fractal’, que emerge a grandes distâncias  e baixas energias.    A ideia de que a geometria do espaço-tempo está relacionada ao emaranhamento, tem na maior parte, sido explorada no contexto holográfico da correspondência AdS/CFT; e da conjectura ER= EPR, associando ‘entrelaçamento’ a ‘wormholes‘.

Em certo sentido, estamos fazendo esta proposta um pouco mais específica, dando uma fórmula para a distância em função do…”emaranhamento”…e assumindo — a princípio,    diretamente o ‘espaço de Hilbert’…ao invés de variáveis clássicas, uma fronteira, ou um espaço-tempo de fundo…A relação de geometria para a energia – vem de algo chamadoPrimeira Lei do Emaranhamento, sendo usada numa versão daGravidade Entrópica‘.

Talvez a característica mais interessante e provocativa do que fazemos, seja partir de um pressuposto em que os graus de liberdade correspondentes a uma dada região do espaço possam ser descritos por um espaço dimensional-finito de Hilbert… — Em certo sentido, isso é natural: como resultado da fronteira de Bekenstein (entropia total que pode caber numa região), ou do princípio holográfico (definindo graus de liberdade pela área limite de sua região). Mas, por outro lado, é totalmente contrário ao que estamos habituados a pensar a partir da ‘teoria quântica de campos’, que geralmente assume que o número de graus de liberdade em qualquer região do espaço é infinitamente grande…um espaço de Hilbert de dimensão infinita…Um único oscilador harmônico simples é descrito por um espaço dimensional-infinito de Hilbert…pois sua energia poder ser arbitrariamente alta.

Estados do Espaço de Hilbert (Resgatando a Geometria do ‘Emaranhamento’)                E essa é a grande cartada; de acordo com os argumentos de Jacobson e Seth Lloyd, qualquer teoria gravitacional será localmente descrita…por espaços de Hilbert de dimensão finita. Todavia, sendo a teoria de campos assim incorporada; todas as “infinidades” notórias da física de partículas  cujas distâncias foram arduamente “renormalizadas”…existem, graças a um número infinito de…”graus de liberdade”.

Podemos também adicionar mais estrutura a um espaço, aprimorando as informações      que esse espaço contém, mas assim limitaremos as formas de como deformá-lo. – Por exemplo…podemos adicionar uma estrutura métrica à superfície de uma bola como linhas de longitude e latitude em um globoEsta estrutura permite medir a distância entre 2 pontos … mas uma vez fixada, não podemos mais inflar ou esvaziar a bola sem quebrar a estrutura original…porque estaremos então alterando as distâncias entre os pontos. Temos assumido que as partes do ‘espaço de Hilbert’ altamente emaranhadas também são ‘próximas’…mas não temos como derivar esse fato. – É certamente o que          deve acontecer – segundo a nossa compreensão atual da teoria quântica de campos.

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Um estado quântico no espaço de Hilbert, longe de aleatório ou genéricoé um tipo bem particular de estado. – Seus pedaços, são fatores que se multiplicam … para em conjunto — construir o todo. Utilizando a informação quântica – em particulara quantidade de emaranhamento entre as diferentes partes … podemos definir uma “distância”…entre elas…Partes altamente emaranhadas são consideradas próximas, enquanto as não-emaranhadas, distantes.

Isto nos dá um grafo, onde os vértices são as diferentes partes do espaço de Hilbert, e as bordas são ponderadas pela distância emergente entre eles. Surgem, então, 2 perguntas:

  1. Quando diminui-se o zoom…se o grafo assumir a geometria de um espaço                      contínuo, será então assumido um número fixo de dimensões? (Resposta:                      sim, sempre quando, inicialmente, colocarmos um tipo certo de estados).
  2. Se perturbarmos um pouco o estado…qual será a mudança de “geometria                        emergente”? (curvas espaciais…em função da massa/energia emergentes,                        de uma forma que lembrará a equação da relatividade geral de Einstein).

Esta última parte é a mais emocionante, mas também a mais especulativa. A alegação,        na sua forma mais dramática…é que a gravidade (curvatura do espaço-tempo causada    pela energia/dinâmica) não é difícil de se obter na mecânica quântica – é automática!    Ou, pelo menos…é a coisa mais natural de se esperar. Se a geometria é definida por emaranhamento e informação quântica, perturbar o ‘estado’ – pela adição de energia,    por exemplo, naturalmente muda a geometria. – E, sendo o modelo aplicado em uma teoria de campo emergente a grandes distâncias, a relação mais natural entre energia          e curvatura será dada pela equação de Einstein. A visão otimista é que a gravidade só emerge no limite clássico de um sistema quântico apropriado. Maso demônio está      nos detalhes; e há um longo caminhoaté que se possa declarar vitória. (texto base)

Espaços topológicos, e sua estrutura                                                                                    “A matemática, há muito…se interessa por números complexos; e pelo movimento dos planetas. – Então, se adicionarmos uma geometria que mostra como essas 2 coisas são manifestações diversas da mesma estrutura subjacente – decerto também funcionará.”

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Oh, pelo amor de Deus! Você age como se nunca tivesse visto um buraco no continuum espaço-tempo antes.

Um espaço de Hilbert com “dimensão finita” descreve um mundo muito diferente, em vários aspectos – muito mais simples…mais fácil de entender – se esta noção…de fato, corresponder ao que pensamos como “distância”Mas para isso não é suficiente falar sobre o espaço; também precisamos falar sobre o tempoe, como os estados evoluem. Esse é um próximo passo óbvio … mas que levanta uma rede de perguntas intrigantes: Qual o hamiltoniano apropriado…que realmente gera a evolução temporal?…O tempo        é fundamental e contínuo…ou emergente e discreto?… — Podemos derivar uma teoria emergente que inclua não só ‘espaço curvo’ e ‘tempo’, mas outros ‘campos quânticos’?        E será que tais campos iriam satisfazer a condição relativística de ser invariantes, sob transformações de Lorentz? Será que a gravidade – em especial…se propaga a graus          de liberdade suficiente para girar…2 grávitons?…(com somente um tipo de gráviton, unido universalmente à energia-momentum?) Pleno emprego para o futuro imediato.

Espaços geométricos podem ser flexíveis como uma lona ou rígidos como uma barraca.      A lona é muito maleável, mas pode-se ter um monte de estacas para moldá-la…e assim torná-la uma coisa mais concreta. Os espaços menos estruturados são apenas coleções      de pontos conectados (como a lona). – A linha é um espaço unidimensional desse tipo.      A superfície de uma bola é uma versão bidimensional. Nesses espaços, uma falta de estrutura significa que é fácil deformá-los, sem mudanças fundamentais: mexa a linha,      e infle, esvazie…ou gire a bola, e ambos ainda são…em termos topológicos, os mesmos espaços não estruturados. Neste caso o que interessa é sua forma geral; desde que não        a rasguemos…é possível esticar a superfície da bola o quanto quisermos… que ainda assim se trata do mesmo espaço. — Quando matemáticos falam sobre deformar um espaço, eles não querem dizer transformar tais espaços com funções…As coordenadas      de um ponto (ao longo do tempo) formam uma função a qual, pode então definir as coordenadas de um novo ponto. Tais transformações levam cada ponto do espaço, em direção a um novo ponto desse espaço. É o equivalente matemático de ‘sacudir a lona‘.

Geometria simplética                                                                                                                Pode parecer que partículas entrelaçadas possam ser tão distantes…quanto queiram,            mas a contribuição dessas partículas ao entrelaçamento global…é quase totalmente insignificante – isto porque é o próprio ‘vácuo quântico’ quem se encarrega de quase        todo emaranhamento; e é dessa maneira…que conseguimos obter a nossa geometria.

No início do século 19, William Rowan Hamilton descobriu um novo tipo de espaço geométrico, com propriedades quase mágicas. Codificava movimento e matemática          em um único objeto geométrico reluzenteEste fenômeno deu origem a um campo chamado “geometria simplética”, que nas últimas décadas cresceu de uma pequena coleção perceptiva, para uma dinâmica área de pesquisa, vivamente conectada com            mais áreas da matemática e física – do que jamais Hamilton poderia ter imaginado.

‘Geometria simplética’, em suma, é o estudo de espaços geométricos…com uma estrutura simplética; a qual nos  dá meios de medir áreas espaciais; permitindo alterar sua forma apenas    quando o ‘valor da área’…se mantém ‘constantes’. – A o estudar sistemas planetários“…Hamilton deduziu um exemplo desse ‘espaço’ definido pela mudança de 3 coordenadas ao longo dos eixos x, y e z. Como os pontos retratando todas ‘possíveis posições’ dos planetas formam um espaço 3D,    ele observou que a cada ponto deste ‘espaço tridimensional’ podem-se atribuir – 3 coordenadas adicionais, definindo o ‘momento‘ do planeta,    ao longo de cada eixo. – Chamando-    os de xm, ym e zm…agora temos 6 coordenadas 3 de posição…e 3 de momento, definindo pontos em um novo espaço; agora de 6 dimensões.

Este espaço hexadimensional é um exemplo de espaço com estrutura simplética porque permite medições de área. É assim que funciona Em cada ponto no espaço, é possível desenhar 6 vetores, ou setas direcionadas, que correspondem à direção ou momento do planeta ao longo da dimensão apontada pelo vetor Como 2 vetores podem definir um paralelogramo… — espaço bidimensional com área — é possível pegar 2 dos vetores do espaço e medir uma área. Mas para garantir que seja este um número diferente de zero, devemos escolher pares específicos de vetoresaqueles que representam a direção, e o momento ao longo do mesmo eixo (‘vetores incompatíveis’ – como o vetor de direção z emparelhado com o vetor de momento y…formam paralelogramos com uma área zero).

Tais vetores emparelhados também refletem outra propriedade importante dos espaços simpléticos, sua conexão intrínseca com ‘números complexos’, que formados por i, a raiz quadrada de −1, tomam a forma a + bi, em que a é a parte real, e b a imaginária. Uma forma de definir o espaço simplético de 6 dimensões é com 3 números complexos … com    as duas partes de cada número fornecendo 2 das coordenadas. — Essas 2 partes também correspondem aos 2 vetores emparelhados para medir a área. Portanto, para cada ponto, os vetores de direção e momento baseados em x (p/exemplo) não só fornecem um modo de medir a área, como também constituem um dos 3 nºs complexos que definem espaço.

A geometria simplética estuda as transformações de espaços que preservam a estrutura simplética, mantendo as medidas de área constantes. — Isso permite alguma liberdade, mas não muito – nos tipos de transformações que podemos empregar. Como resultado,      a geometria simplética ocupa uma espécie de meio termo, entre a ‘topologia flexível’ de uma lona, e a ‘geometria rígida’ de uma barraca… São chamados de “difeomorfismos hamiltonianos”os tipos de transformações que conservam sua “estrutura simplética”.

“Conjectura de Arnold” & “Homologia de Floer”                                                             A ‘homologia de Floer’ permite provar que não podemos simplesmente                               sacudir os… ‘pontos fixos’ ao demonstrar que estes precisam estar lá.

Mas, embora Hamilton tenha descoberto o primeiro exemplo de um espaço simplético, não havia razão para terminar ali…Depois de um tempo, os matemáticos começaram a pensar sobre como seriam os…fenômenos simpléticos…em espaços geométricos não relacionados ao ‘mundo físico’. E, de fato, a partir da década de 1960, Vladimir Arnold      fez várias interessantes conjecturas – que capturaram as formas específicas em que os espaços simpléticos são mais rígidos que os topológicos comuns (como esfera flexível).      Uma delas (conjectura de Arnold), prevê que os ‘difeomorfismos hamiltonianos’ têm      um número surpreendentemente grande de ‘pontos fixos’, que não se movem durante    uma transformaçãoEntão, ao estudá-los, podemos entender o que torna um ‘espaço simplético’ diferente de outros tipos de ‘espaços geométricos’. — Já no final da década        de 1980, um outro matemático…Andreas Floer…desenvolveu uma poderosa estrutura teórica (“homologia de Floer”), que agora é a principal maneira pela qual fenômenos simpléticos são investigados. Nela são usadas ‘curvas pseudo-holomórficas’…objetos matemáticos que, de forma indireta, permitem contar pontos fixos…e estabelecer que      um determinado número mínimo deles seja… “intrínseco“… ao espaço simplético.

O nome “simplético”, deriva da palavra grega “sumplektikós”, o equivalente do latim “complexo” ambos significando…entrelaçados juntos…evocando o modo como a estrutura simplética e nºs complexos se entrelaçam. – É também uma das principais            razões pelas quais espaços simpléticos capturaram a “imaginação” dos matemáticos.          À medida que a teoria da geometria simplética se desenvolveu, encontrou conexões        com uma gama cada vez mais ampla de tópicos em matemática e física, de teoria das cordas à…”topologia de baixa dimensão” — incluindo recentemente o estudo de uma desconcertante dualidade matemática – chamada…simetria especular“. (texto basePode-se supor que o longo caminho de uma … “Geometria emergente de informação quântica” — que obedeça a uma versão da equação de Einstein no limite clássico…se aproxime ao máximo da realidadese considerarmos, para tanto, que (1) regiões do espaço tem um número finito de graus de liberdade; e (2) o mundo seja descrito por          uma função de onda no espaço de Hilbert. Tais postulados são bem razoáveis, mas é        claro que pode haver um número qualquer de voltas e mais voltas, para chegar onde queremos … se é que isto, de fato…é possível. — Pessoalmente, acho empolgantes as perspectivas, e estou ansioso para ver onde essas ideias irão dar. (original) jun/2016 *****************************(texto complementar)*****************************

Idealismo x Naturalismo (Construtivistas, Intuicionistas…Formalistas)                     Para os idealistas… a razão orienta sua prática a moldando, de acordo                          com suas necessidades, independente das tradições. Já os naturalistas  consideram que a razão recebe seu conteúdo da prática, que descreve seu                    modo de funcionamento – e, então formula… seus ‘princípios subjacentes’.

A posição filosófica de David Hilbert sobre os fundamentos da matemática é chamada de…”formalismo“, por pretender reduzir  o infinito a um “sistema formal” … livre de contradições cuja validadepudesse ser provada por meios reais. A discórdia entre formalistas e construtivistas‘, não é uma disputa da legitimidade dos métodos de prova matemática – mas, da possibilidade de se concluir um – processo infindável, que uns afirmam, enquanto outros negam.

Por se tratar de um tema (independente) da…’lógica’ – aí a matemática nunca poderá, exclusivamente se fundamentar. Seu objeto, com efeito, deverá consistir nos próprios símbolos concretos – imediatamente reconhecíveis – de sua mais complexa estrutura.

Sobre quais fundamentos está baseada a convicção de uma exatidão                                    incontestável das leis matemáticas…por séculos…tem sido objeto de                                    investigação filosófica – e…daí… – dois pontos de vista se destacam:                                    ‘intuicionismo‘ e ‘formalismo‘. Em muitos aspectos, essas duas                                          vertentes se tornaram opostas entre si mas há pouco, passaram a                                          concordar na validade das ‘leis matemáticas’, como…”leis naturais”.

Já a questão sobre a existência da ‘exatidão matemática’ é respondida de maneira diversa pelos 2 lados; o intuicionista diz…no ‘intelecto humano’; já o formalista afirma: no ‘papel’.  Em Kant, temos uma antiga forma de…’intuicionismo‘ – hoje, praticamente abandonada, na qual tempo e espaço são tidos – como formas de concepção inerentes à razão humana. Os axiomas da aritmética e geometria seriam ‘juízos sintéticos a priori’ independentes da experiência, e não suscetíveis de demonstração analítica… Refutar a possibilidade de tais leis experimentalmente, para o filósofo do ‘idealismo transcendental’…seria inconcebível.

Diametralmente oposto, é o enfoque do…formalismo– o qual mantém, por exemplo,  que…não tendo a razão humana à sua disposição imagens exatas de linhas retas… tais objetos geométricos não existem em nossa concepção de natureza – além do que – na própria natureza. – Nesse caso, a ‘exatidão‘ consiste no método de desenvolver ‘séries      de relações’ – independendo portanto, do significado“… que possamos atribuir a tais relações, ou aos objetos relacionados; formando assim, a chamada…’lógica simbólica.

Enquanto os intuicionistas aderiam à teoria de Kant, parecia que o desenvolvimento da matemática no século 19, os colocava numa posição cada vez mais fraca, com respeito aos formalistas. E o mais sério golpe à teoria kantiana foi a “geometria não-euclidiana“; teoria desenvolvida a partir de um conjunto de axiomas…somente diferindo da geometria elementar euclidiana, em relação ao “axioma das paralelas”…substituído por sua negação.  Quão fraca parecesse ser a ‘posição intuicionista’ – após este período de desenvolvimento matemático…recobrou forças, aderindo de maneira resoluta ao absolutismo temporal em “juízos sintéticos a priori”…e, em relação à ‘teoria dos conjuntos’…reconhecendo (apenas) conjuntos “enumeráveis”, cujos elementos pudessem ser colocados em “correspondência biunívoca” com elementos de um número ordinal finito – ou com aqueles de um número ordinal transfinito. (do livro “Lógica e fundamentos da matemática”, Carnielli & Epstein)  ***********************************************************************************

LÓGICA ARISTOTÉLICAA lógica formal aristotélica

A lógica aristotélica é formal, sem ser formalista…sendo formal em relação ao pensamento, representado por suas leis. Dedutiva, mas sem a ‘rigidez formal’ do ser expresso da mesma maneira…o que exige um simbolismo artificial. Quando Aristóteles desenvolve o termo…’todo‘, não expressa o…’universal’ – mas… tão somente o sujeito visto universalmente.

Proposições Categóricas — Todo a é b (afirmação universal). Existe a que é b (afirmação particular)Nenhum a é b (negação universal). Existe a que não é b (negação particular)Aristóteles explica as relações entre proposições, partindo do princípio quetudo o que afirmamos será possível negar, e tudo o que negamos… afirmar”. A ‘contradição‘ surge então, a partir da oposição entre ‘proposições universais’ e ‘particulares’ de modo que: se uma dessas proposições é verdadeiraa outra obrigatoriamente é falsa“.  Para Aristóteles uma “proposição particular” é “universal”, só que vista particularmente. 

Na lógica aristotélica uma proposição assume um, e apenas um…entre 2 valores: verdadeiro ou falso. E, é isso que, essencialmente, está por trás dos 3 “princípios aristotélicos” (princípios da identidade; não-contradição; e do terceiro excluído).     

Por isso a lógica formal aristotélica é incapaz de lidar com alguns tipos de sentenças matemáticas. – Nem mesmo alguns resultados mais complexos que Euclides obteve, poderiam ser formalizados na ‘lógica aristotélica’… Como estudar proposições sobre objetos desconhecidos (‘variáveis’) se o próprio valor de verdade dessas proposições        não são variáveis?…Para poder resolver essa contradição…a ‘lógica formal‘ também precisou aprofundar sua compreensão…sobre proposições…e o ‘pensamento lógico’.

A lógica formal é a ciência que estuda as regras de se chegar a uma conclusão, a partir      de um conjunto fixo de premissas (“axiomas“), em uma sequência de passos lógicos.      Não podendo estipular quais premissas devem ser aceitas; apenas avalia se a conexão entre tais premissas e sua conclusão, seguem regras lógicas. O trabalho de Aristóteles (“Metafísicas”) serviu de base para a “lógica clássica”, que até hoje é a “lógica padrão”.        É assim chamada…”lógica formal“, pelo fato de dar importância apenas à forma do raciocínio, e não seu conteúdo. Nesse caso o raciocínio é verdadeiro por sua forma de apresentação…independente se o conteúdo é verdadeiro ou não. – Como no exemplo:  Toda professora é casada. Mariana é professoralogo, Mariana é casada. Observe-se      que apesar da forma de raciocínio ser válida, o conteúdo é duvidosopois nem todas professoras são casadas. E, como a validade do raciocínio não depende dos conceitos,  estes podem ser substituídos por letras (símbolos)…Todo p é cm é p… Logo m é c. Note-se que a validade do raciocínio não está ligada nem a Mariana, nem ao conceito.

page_10Descartes e o Método científico

Quando a filosofia de Aristóteles cai em descrédito – o mesmo ocorre à…lógica escolástica. Durante esse processo, em meados do século 17, René Descartes (1596-1650) constrói um procedimento subordinando a lógica…ao método… de modo a orientar…’trabalhos científicos’. 

Descartes, em seu “Discurso do método”…estabelece que o procedimento de análise inclui decompor o todo em suas partes constituintes, da parte mais complexa à menos complexa, enquanto a síntese, reconstruindo o todo decomposto, caminha do menos complexo, para o mais complexo. Em seu “método dedutivo”…o filósofo estabelece 4 regras fundamentais:

1) Regra da evidência – jamais acolher alguma coisa como verdadeira que eu não. Conhecesse evidentemente como tal; isto é, de evitar cuidadosamente a precipitação            e a prevenção, e de nada incluir em meus juízos que não se apresentasse tão clara…e distintamente a meu espírito…que não tivesse nenhuma ocasião de pô-lo em dúvida.

2) Regra da análise – dividir cada uma das dificuldades que examinasse em tantas parcelas quantas possíveis… e, quantas necessárias fossem… para melhor resolvê-las.

3) Regra da síntese – conduzir por ordem meus pensamentos, começando                      pelos objetos mais simples e fáceis de conhecer… para subir… pouco a pouco,                  como por degraus até o conhecimento dos mais compostos, supondo mesmo,                  uma ordem… – entre os que não se precedem naturalmente…uns aos outros.

4) Regra da enumeração – fazer em toda parte enumerações tão                        completas e revisões tão gerais, que tivesse a certeza de nada omitir.

Se por um lado Aristóteles considerava a matemática inferior … para operar como instrumento do pensamento filosófico, em contrapartida os pensadores modernos consideram o formalismo da lógica – inferior… para funcionar devidamente como instrumento do pensar cartesiano…ao fato de excesso de formalismo e regras para              se tratar de coisas supérfluas…Mas, com a ‘divinização’ da ciência tendo seu início            em Galileu Galilei (1564-1642)… a lógica percorre um novo caminho… baseado na revolução científica e seus métodos racionais. A lógica assim deixa de ser pensada    isolada da matemática, para ocupar um lugar de destaque…no método científico.

A história diz, que o filósofo René Descartes (1596-1650) foi o primeiro a usar as técnicas algébricas como forma de exploração científica, sendo que com ele o interesse pela lógica diminuiu, e a Lógica Clássica começou a apresentou sua fragilidade…por ter como base a linguagem natural…Buscava-se assim, uma linguagem formal, quando o princípio de umcálculo diferencialfoi desenvolvido por Wilhelm Leibniz (1646-1716), trazendo consigo     a perspectiva de uma Lógica Moderna (Simbólica)…somente estabelecida no século XIX.

O surgimento da Lógica Simbólica                                                                                      “A ambição lógica era construir sistemas cada vez mais compreensíveis,                        linguagens cada vez mais abrangentes, para tender finalmente – a uma                            linguagem Universal…de um cálculo…que englobaria todos os cálculos”.

tabela-verdadeA contribuição de Gottlob Frege ao nascimento da ‘Lógica Simbólica‘ se dá na criação de um “sistema de representação simbólica” aplicável, numalógica de predicados…à estrutura dos enunciados lógicos. Ao contrário de Aristóteles, e mesmo Booleque buscavam formas válidas de argumentação – a principal preocupação de Frege era conceber uma “sistematização lógica” capaz de abarcar todo o…”pensar matemático”.

Buscando uma caracterização precisa do que é uma demonstração matemática, Frege percebeu serem frequentes, na época…”erros matemáticos” nestas demonstrações, ao        se supor certos teoremas como demonstrados…quando na verdade não estavam. Para corrigir este problema, buscou novas regras elementares de demonstração, sobre cuja aplicação inexistissem dúvidas. O resultado revolucionário foi a Lógica de predicados.

Gottlob Frege acreditava, ao final do século XIX, ter realizado…pelo menos em parte          o “projeto leibniziano”. Ao criar um sistema simbólico…com linguagem adequada ao ‘pensamento matemático’ … e um conjunto de regras para a derivação de expressões simbólicas, queria apenas demonstrar a pura logicidade da aritmética, mas fez mais       que isso…Apesar do malogro em seu intento original, Frege criou a ‘lógica simbólica formal‘, uma matemática moderna muito além da ciência aristotélica…que Kant…no século XVIII, julgara como definitiva. A criação da lógica moderna, de fato responde            a aspirações filosóficas, em um projeto matemático…de reduzir a aritmética à lógica, demonstrando, em oposição à Kant…a tese filosófica da ‘analiticidade’ da aritmética.

A Lógica simbólica, ao contrário do silogismo e formalismo – ao trocar palavra por ideia, raciocínio por cálculo, fazendo para isso uso de símbolos…substitui qualquer proposição, conferindo-lhe valor de verdade (ou falso). Passamos assim, à noção de ‘forma concreta’, representada por símbolos…sujeitos a ‘operações transformadoras’…onde são resolvidos    “problemas lógicos” causados por perturbações ao entendimento comum de “linguagens formais”…por falta de clareza, ambiguidade, erros, emotividades. Daí…a importância de uma lógica simbólica, numa linguagem artificial onde a verificação de enunciados se faz, em 5 casos… — ‘Negação’ … ‘conjunção’ … ‘disjunção’ … ‘implicação’ … e… ‘equivalência’.

Outros filósofos opõem-se à descrição de Frege da natureza dos predicados, e a sua caracterização da lógica da linguagem vulgar em termos quase matemáticos. – Seja        qual for a posição adotada, contudo, quer na teoria do significado, ou na metafísica,    temos certeza de que a tradição da “filosofia analítica“…tem contado com as ideias            de Frege – se não em argumentos, ao menos na terminologia em que se expressam.  *****************************************************************************

Lógica simbólica & filosofia matemática                                                                          Com a definição formal de verdade (Tarski), e a concepção computacional (Turing), mais uma vez o desenvolvimento lógico respondia inquietações de natureza filosófica. A lógica moderna nasce de “braços dados” à filosofia matemática, e uma ‘filosofia da computação’.

lógica matemáticaNo campo matemático, com o intuito de complementar o… “logicismo fregeano”, surgiram 2 outros projetos – de alcance fundamental…formalismo hilbertiano, eintuicionismo brouweriano; os quais, serão a seguir mencionados en passant:

Hilbert deu mais uma guinada no rumo da ‘lógica’, ao torná-la…”estritamente formal“, desenvolvendo o estudo da “formalização” das…teorias matemáticas – com o objetivo de demonstrar sua consistência…utilizando métodos algo intuitivos. Ademais, mesmo com o  fracasso frente aos teoremas de Gödel, o formalismo mostra suas marcas na lógica…com  a teoria da prova…e, a computacional…teoria formal dos procedimentos algorítmicos.  Já o “intuicionismo, ainda mais intensamente que o logicismo fregeano e o ‘formalismo hilbertiano’, vicejou em campo filosófico. Todo projeto fundacional de Brouwer respondia à necessidade de refundação epistemológica, ainda que restrita ao domínio matemático; e nos legou também uma fatia de progresso lógico…permitindo a criação de sistemas lógico-formais alternativos; no caso, a lógica intuicionista e toda uma dimensão de estudos meta-lógicos. — E assim…mais uma vez…a ‘lógica’ se beneficiava das “preocupações filosóficas”.

Por outras razões…de natureza também filosófica…a 1ª metade do século XX assistiu ao eclodir das lógicas não-aristotélicas, tais como…’modais’…’intuicionistas’…’polivalentes’, ‘relevantes’, ‘difusas’, entre outras. Inequivocamente isso nos mostra o quão filosófica é,  na origem, a moderna lógica simbólica – e reciprocamente, seu valor como instrumento metodológico da filosofia…”Símbolos”, como pensava Leibniz, são grandes auxiliares da razão…Boa parte da filosofia do século 20 não existiria…sem a lógica simbólica e formal.

“Lógica formal”e a matemática hoje                                                                                Teria sido criada uma filosofia simbólica e exata – em que opiniões…dariam                      lugar a teses demonstráveis (ou refutáveis), e infindáveis debates filosóficos,                        se resumiriam ao cálculo simbólico, do tipo… “não discutamos, calculemos”. 

sistema axiomático

Descobertas atuais na Física levaram a outros sistemas lógicos formais, como as lógicas ‘quântica’ e ‘fuzzy’, que desobedecem às regras aristotélicas. 

Enquanto o fundamento da “matemática grega” eram os…’postulados de Euclides’,    o fundamento da matemática de hoje é o sistema axiomático Zermelo-Fraenkel. Tal sistema não é baseado na…atividade humana…ou características da natureza, sendo seus…”axiomas”…empiricamente  não verificáveis – e tampouco evidentes.

Muitos julgam esses axiomas ‘intuitivos’, outros, defendem que… por ser invenção humana, o ‘universo matemático’  é uma abstração… que – de fato… – não existe.

Contudo… não só a matemática é produto da ‘abstração humana’ do                                      mundo real…como também, através do trabalho humano, se mostra                                        capaz de compreender…prever, e modificar o mundo ao nosso redor.

Na definição clássica corrente, a matemática só pode se desenvolver a partir de axiomas, cuja veracidade é tomada como pressuposto e fundamento para o raciocínio lógico. Estes axiomas geralmente incluem uma concepção fregeana da lógica, criando a ilusão de que a matemática se desenvolve a partir do ‘pensamento puro’, desvencilhado da materialidade, que independe de qualquer subjetividade ou contexto histórico no qual o ser humano que a estuda está inserido. A História… entretanto… mostra que a matemática, na verdade, se desenvolveu historicamente…a partir da abstração da atividade humana concreta sobre a natureza, sempre estando ligada ao seu contexto histórico e social…Assim como a ‘lógica’, que também evoluiu historicamente – a partir de um conhecimento humano da natureza.

Alguns dos principais nomes da lógica moderna:

Auguste De Morgan (1806-1871) inaugurou a ‘lógica das relações’ a partir da noção de universo do discurso…e também iniciou a lógica da quantificação; George Boole (1815-1864) criou a ‘álgebra booleana’; Gottlob Frege (1848-1925), cria a ‘lógica matemática’, introduz a noção de função, bem como o uso moderno das variáveis, dos quantificadores,    de enunciados e predicados, organizando a “lógica moderna”; Guisseppe Peano (1858-1932) publicou em 1889 seus 9 axiomas (evidente por si mesmo) dos quais…5 ganharam enorme repercussão, como os…”axiomas de Peano” – sendo que destes, um foi essencial para a formalização do ‘princípio da indução matemática‘. Pode-se concluir que a Lógica Moderna e a Contemporânea…empregam os mesmos métodos utilizados na matemática, sendo que, analisando por outro lado, a própria matemática faz uso constante da Lógica, em seus fundamentos, e demonstrações; Bertrand Russell (1872-1970) fundamenta a “teoria hierarquizada dos tipos“, bem como a questão do “Um e do Múltiplo“, para tanto, descobrindo que existem classes, sem o mesmo “estatuto” que os indivíduos; Charles S. Peirce (1889-1914) avança a…’teoria das relações’, elabora um sistema de quantificação, funda a “semiótica”…introduz a ‘inclusão/implicação’…trabalha com ‘lógica dos gráficos’.  Wttgenstein (1889-1951) define leis lógicas como tautologias, e as esvazia de conteúdo. 

Turing machineTuring…e a lógica das máquinas

Alan Turing cresceu num mundo onde as máquinas se desenvolviam, e adquiriam cada vez mais importância. Isso o inspirou a conceber teoricamente uma máquina capaz de executar qualquer algoritmo. Com sua teoria matemática… além de provar que alguns dos objetivos do Programa de Hilbert não poderiam ser atingidos, ele também foi capaz de criar sua própria máquina…a “Máquina de Turing”, que deu origem ao ‘computador atual’. Mostrava-se assim, ser possível tornar concreta uma abstração matemática ao associar prática à teoria.

A matemática…ao contrário do que a lógica formal prega, não é um conjunto de resultados lógicos obtidos de axiomas, entregues aos seres humanos pelos Céus. Seu fundamento não está nos axiomas – mas em seu desenvolvimento histórico – que tem por base o progresso social… – através do avanço racional…da lógica…da cultura…e do ‘conhecimento humano’.

Para finalizar…há que se salientar…nos anos 50, o surgimento das ‘lógicas paraconsistentes‘, das quais – Newton Carneiro Affonso da Costa é um dos seus fundadores. – Tanto quanto no caso da concepção intuicionista, a visão paraconsistente  da lógica…levou a uma noção de ‘progresso’ que se refletiu – em especial no Brasil, onde sempre foi bem ativa a interação entre lógicos, filósofos,  e…matemáticos – com contribuições originais à “lógica formal” de notável repercussão mundial, sempre em forte diálogo com a atual filosofia. A criação do…Centro de Lógica, Epistemologia e História da Ciência da Unicamp…por Oswaldo Porchat Pereira em 1977, iconiza essa interação.

Matemáticos brasileiros dedicados à pesquisa em “lógica contemporânea” são pioneiros, com trabalhos de repercussão mundial em aplicações tecnológicas… tais como’incerteza’ informacional, complexidade, computação quântica…etc. (texto 1) # (texto 2) # (texto3)

Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979.
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2 respostas para ‘Espaço de Hilbert’, e os limites da ‘lógica simbólica’

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