Gödel – ‘dos Sonhos e Mecanismos Mentais’

“O homem vive em um mundo de sonhos, antes que de fatos… e um mundo de sonhos, organizado em torno de desejos… — cujo sucesso ou frustração, constitui sua própria essência” (J. Dewey – ‘Reconstruction in Philosophy’)

“A arte evoca o mistério sem o qual o mundo não existiria”, René Magritte

“A arte evoca o mistério sem o qual o mundo não existiria”
René Magritte

Durante o século XIX…a matemática;  mãe reconhecida de todas as ciências; começou a voltar sua atenção…a seus próprios fundamentos… 

Com os trabalhos de BooleFrege, MorganPeano, Russell e outros, um grande projeto começou a tomar forma:

‘a matemática iria analisar… – com todo o rigor, sua própria estrutura’.

O objetivo era um sistema que fosse inquestionável e seguro; assim, uma “linguagem matemática” seria então desenvolvida, com simplicidade e clareza, para dissipar todas as dúvidas, e revelar todas suas próprias verdades…O objetivo do projeto era o mesmo sonho de muitos pensadores do século XVII, que queriam criar… ou descobrir uma ‘linguagem universal‘, na qual um conjunto de símbolos seria usado, para tentar descrever todo conhecimento humano.

A sua estrutura seria tão ligada à estrutura do universo, que sua própria linguagem – por si só – poderia ser usada para descobrir verdades…Sua sintaxe impediria falsidades. – Não mais haveria significados ambíguos.

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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ao propor uma precisa linguagem simbólica — era, de fato…uma grande influência sobre a sistematização da lógica do século XIX — e, assim criou sua ‘sintaxe lógico-matemática‘.

Com efeito, sempre houve problemas com o sistema geométrico de Euclides (séc.III a.c.) — apesar de sua longevidade… Os 4 primeiros dos 5 axiomas… formadores da ‘geometria plana’, pareciam inquestionáveis… Mas, o 5º axioma (‘através de um ponto fora de uma linha apenas 1 paralela pode ser traçada‘) sempre pareceu menos evidente –     e por séculos, inúmeras tentativas de demonstrar sua ‘dispensabilidade’… – derivando-o,   a partir dos 4 primeiros, foram elaboradas.

Afinal, foi reconhecido ser impossível tal comprovação, sendo de fato independente dos outros axiomas… No entanto, esta independência é intrigante, pois se o 5º axioma fosse contrariado…quando, por exemplo alguém afirmasse que ‘através de um ponto fora   de uma linha nenhuma outra paralela pode ser traçada‘, e se este novo axioma fosse adicionado aos 4 primeiros, os resultados pareceriam ‘absurdos’…Alguém poderia, por exemplo… – encontrar a soma dos ângulos de um triângulo maior do que 180 graus.

Desse modo, a descoberta de geometrias não-euclidianas levantou                 sérias questões — sobre como a matemática deveria ser entendida.

Matemáticos tendem a assumir que termos da matemática… como “ponto“, “linha“, ou “número“, se referem, obviamente a objetos de nossa experiência cotidiana; o que, hoje em dia, já não é tão claro assim… Na verdade, reinterpretando estes termos…poder-se-ia criar sistemas completamente diferentes – alguns dos quais, não tendo nada a ver com a própria experiência.

Como Ernest Nagel e James Newman bem colocaram:

É reconhecido que a validade de uma associação matemática, em nenhum sentido depende de significados especiais que sejam associados aos seus termos“… Ou seja:   O ‘negócio’ da matemática não é a ‘verdade’ mas sim sua própria ‘derivação lógica’. 

Mas, se já era difícil – em um campo tão concreto quanto a geometria – determinar quais instruções podem ser comprovadas, e quais seriam suas contradições, quanto mais difícil isso se tornaria em sistemas ainda mais abstratos?

David Hilbert

David Hilbert…”Contudo, não se deve exigir de uma teoria que resolva integralmente, de uma só vez, todas as questões pertinentes; basta que ela indique o caminho”.

O avanço abstrato

Toda a matemática foi se tornando mais abstrata no século XIX… – já não estando mais amarrada a uma descrição do nosso universo…do seu espaço… ou, de seus números… Também desobrigada da confirmação que a experiência tem para dar, como poderia… então, se ter certeza de que a matemática não estaria criando contradições, nestes ‘reinos sobrenaturais’?

David Hilbert (1862/1943)… que fez mais do que qualquer outro matemático contemporâneo… — no aperfeiçoamento e simplificação dos “fundamentos axiomáticos” da geometria… acreditava que só este método garantiria a ‘segurança‘ de seus resultados.

Para isso, ele propôs uma formalização radical da matemática – todos os sinais matemáticos seriam esvaziados de significado’ … para evitar confusões como as que surgiram na geometria… Demonstrações matemáticas‘ não seriam mais do que vestígios de tais sinais…arbitrariamente escolhidos, como traços“, “hifens” e “letras… Além disso, axiomas seriam fragmentos fornecidos pelo sistema… — Assim, usando específicas regras mecânicas — estes fragmentos poderiam ser manipulados para produzir outras ‘figuras’ — conhecidas como teoremas

A derivação de um teorema – seria apenas uma sequência de fragmentos…organizados de acordo com suas próprias regras. A Matemática seria um jogo… – uma ‘mecânica sintática‘… – E os sistemas ‘metamatemáticos‘ também estavam para ser incluídos.

“the false mirror” – Magritte, 1928

Estas questões eram substanciais…Por exemplo como podemos determinar se uma dada sequência é um teorema… e, sendo, se pode ser comprovado?… Ou, dada uma interpretação particular do sistema, há contradições dentro dele?

O projeto formalista de Hilbert

Ao tratar sistemas como se sua origem fosse ‘puramente sintática  —  Hilbert chamou atenção às “particularidades  do pensamento matemático, trazendo ‘rigor abstrato’ ao escopo de sua ideal representação. Definindo os domínios ‘metamatemáticos…Hilbert explicitamente, levantou questões sobre a ‘verdade e a ‘demonstrabilidade‘ da ciência matemática.

Antes… — a mais completa tentativa para consolidar a matemática em um sistema havia sido feita por Bertrand Russell e Alfred Whitehead, em “Princípios Matemáticos(…toda a matemática desenvolvida a partir das regras de um cálculo lógico). – Dado um sistema desse tipo… Hilbert, então perguntou — podemos provar que ele seja ao mesmo tempo consistente e completo…não contenha contradições…e, que toda afirmação assim produzida seja verdadeira?…

Se uma única aritmética assim formalizada tivesse essas propriedades, este seria o caminho para construirmos uma poderosa ‘linguagem matemática’.

Hilbert reconheceu que, ao realizar esta dupla tarefa – de provar tanto a consistência quanto a integridade, não se poderia apelar para métodos matemáticos comuns, pois eram estes próprios ‘métodos’…cuja legitimidade estava em questão… — Nem qualquer  ‘evidência’ poderia… em ‘metamatemática‘ fazer referência a um número infinito de termos, ou operações – pois tais conjuntos infinitos tinham criado caos e paradoxos na matemática da época.

Respeitando estas restrições, poder-se-ia construir qualquer objeto matemático que se quisesse fazer uso… — demonstrando assim sua existência… — de uma forma concisa e concreta.

Kurt Gödel

Kurt Gödel (1906-1978)

Incompletude de Gödel                                                           sempre haverá declarações verdadeiras                                          que o sistema formal não poderá provar’.

Mas, como Gödel conseguiu, então – derrubar o projeto de Hilbert?… Ele provou que…sob as restrições de Hilbert, não haveria qualquer evidência de coerência interna…e que tais poderosos sistemas matemáticos…nunca seriam completos. 

A ironia é que, provando esse resultado, ele permaneceu dentro das restrições de Hilbert sobre as evidências metamatemáticas’. O Teorema da Incompletude é provado pela elaboração de uma afirmação não provável.

De fato, a técnica por trás dessa construção é quase tão importante quanto o resultado em si. — Gödel começou com o sistema formal do “Principia Mathematica” — mas…como ele próprio observou — poderia ter escolhido qualquer ‘sistema formal aritmético’… Em tais sistemas, fatos aritméticos familiares, como1 + 1 = 2“, seriam representados por signos no sistema — que poderiam ser manipulados … como se não tivessem significado algum.

O código de Gödel, por exemplo, é bastante semelhante a um padrão de ‘criptogramas‘…Se codificássemos letras do alfabeto em números… nós poderíamos ‘codificar’ qualquer tipo de mensagem… — e… inversamente, dada uma sequência de números em código, seríamos capazes de dizer se poderiam ser decodificados… e qual a mensagem.

Tal codificação poderia dividir todas sequências de números em 2 classes  –  aquelas que poderiam ser traduzidas em uma mensagem, e aquelas que não poderiam (ou por que os nºs não corresponderiam às letras codificadas…ou por que corresponderiam, mas não fariam sentido).

Da mesma forma, a codificação de Gödel permitiria caracterizar qualquer número… — um nº seria um ´Número de Gödel’se – e somente se, pudesse ser traduzido em um teorema, ou numa demonstração no sistema formal… Por outro lado, dado um ‘nº de Gödel’, poder-se-ia, igualmente, recuperar qualquer sequência ou comprovação.

Todo este procedimento pode parecer ridiculamente fútil. O código é uma interpretação peculiar do sistema formal, que parece conseguir, nada mais do que levar os sinais para ainda mais longe dos fatos teóricos expressos em algarismos básicos, como  “1 + 1 = 2“. No entanto, como Douglas Hofstadter explica claramente…

“A importância da codificação é que o sistema formal o qual ele mapeia…ou codifica em nºs, é um sistema formal que representa afirmações sobre nºs”.

Isso dificilmente seria eficaz…em uma linguagem natural como o Inglês, mas é notável para um sistema, a princípio tão silencioso como a aritmética… Em Inglês…a dificuldade surge a partir de seu poder reflexivo… – por exemplo…a declaração… — Esta afirmação é falsa‘ é o exemplo clássico… – Sendo falsa, a afirmação é verdadeira… e se é verdade… — então … ela é falsa.

Usando o seu código … Gödel criou uma afirmação semelhante em seu sistema formal… uma sequência G  que poderia ser interpretada como “G não é demonstrável.”

Com efeito este não é, num sistema formal um mero paradoxo; G é tanto demonstrável, quanto não… Se é demonstrável, então – considerando sua aritmética consistente – G é verdadeira. Mas G diz que G não é demonstrável; por isso, se fosse verdade, seria falso,   e temos uma contradição. G, então… é ‘improvável’. – Mas, isso é exatamente o que diz, por isso é verdadeiro… E assim, temos um exemplo real de uma verdadeira declaração que não pode ser provada… – Seu sistema aritmético é, portanto‘incompleto

Além disso, Gödel demonstrou que… “a aritmética é… ‘essencialmente’ incompleta, não havendo meios de adicionar complementos ao sistema, como axiomas… para completá-lo.” 

Este resultado — em nossa era incerta e relativística — pode não ter o mesmo efeito devastador que teve sobre os matemáticos… que, há quase 50 anos, acreditavam que,       com axiomas e lógica, poder-se-ia chegar, se não à toda verdade filosófica, ao menos,         à mais completa ‘formalização matemática’.

Mas, a diferença entre demonstrabilidade e verdade, no entanto, tem levado a uma ênfase metafórica ainda mais abrangente. O Teorema de Gödel tem sido utilizado — por exemplo, como argumento que, o ‘mundo natural’ sempre ilude nossas mais poderosas teorias… — e, assim…  ‘o conhecimento humano nunca poderá alcançar tudo’.

máquina de turing

‘máquina de Turing’

‘Limitações computacionais                            O ‘Teorema de Gödel’ parece sugerir algo bem preciso sobre as limitações dos computadores.

O teorema também tem sido utilizado como fonte de controvérsias na ciência da computação… pois, como diz Hofstadter em seu livro…Gödel, Escher, Bach…um entrelaçamento de Gênios Brilhantes:

“Sistemas formais – com seu vaivém sintático     de sinais e sentidos – estão na origem de toda atividade computacional”…

Em 1936…antes do 1º computador moderno ser construído…Alan Turing (1912-1954) criou uma teoria formal de como um computador poderia funcionar … e um ‘sistema formal‘ também se vê no nível mais elementar das máquinas mais avançadas de hoje…Se encontra no “hardware” um sistema formal no qual, bits de informações binárias ‘1‘ e ‘0‘ são manipulados — tão mecanicamente — quanto ‘leis de inferência de Hilbert’ manipulam sequências matemáticas.

Hofstadter, em seu comentário sobre um artigo de J.R. Lucas, contribuiu para             um animado debate entre filósofos e cientistas da computação. – Lucas escreveu:

O teorema de Gödel, parece-me provar que a ‘filosofia mecanicista’ é falsa – isto é… que a mente não pode ser explicada como máquina… — Se uma máquina pode ser facilmente programada para criar teoremas de um determinado sistema formal, falhará ao detetar as ‘armadilhas de Gödel’ — latentes nesse sistema — as quais; embora nunca possam ser consideradas como ‘teoremas’ pela máquina  —  ainda assim…  podem ser vistas como verdades, pela mente humana […] Por conseguinte, sendo a mente… na verdade ‘viva’ – sempre pode fazer melhor, do que quaisquer sistemas formais… mortos e ossificados.

Como disse Michael Polanyi … “Os poderes da mente                                         excedem as de uma máquina de inferência lógica”.

“Panic Attack” – (George Grie)

Este argumento, e outros similares, utilizam a demonstração de Gödel para transcender a mente… – em relação à máquina.

Já Hofstadter argumenta de outra forma. – Ele acredita que o que vale para a máquina também é válido ao cérebro — pois ambos são sistemas formais

O cérebro possui um “hardware” básico, composto de — talvez … 10 bilhões de neurônios; cada um dos quais dispara ou não, de acordo com rigorosas leis mecânicas. Mais de 30 anos atrás, em seu clássico ‘Cibernética’, Norbert Wiener escreveu:

“O caráter de ‘tudo-ou-nada’ da descarga do neurônio… é precisamente análogo à singular escolha a ser feita, quando da definição de um dígito… na escala binária“.

E, se o nível mais elementar do cérebro é também um sistema formal, então ele deve estar sujeito às limitações do ‘teorema de Gödel’. – Assim… Hofstadter desenvolve convincente argumento matemático de… por que a mente é tão limitada quanto uma máquina… No entanto, é um dos temas mais importantes de seu livro que… — ‘embora possa haver um sistema formal subjacente a toda a atividade mental… – a ‘mente‘ … de alguma forma transcende o sistema formal que a suporta’.

Uma vez que o sistema subjacente formal é poderoso o suficiente para se refletir – mesmo nos níveis mais elementares – como argumenta Hofstadter…uma nova dinâmica acontece no cérebro. – E, para ilustrar isso, produz uma extensa comparação entre o cérebro e uma colônia de formigas – que na complexa organização do formigueiro exibe sua estratégia e consciência – enquanto as formigas individuais, parecem se identificar com os neurônios. No cérebro, também os conjuntos de atividades são formados…e a interpretação se opera, quando diferentes níveis começam a interagir. – Quanto a isso, assim escreve Hofstadter:

“Cada aspecto do pensamento pode ser visto como uma descrição de alto nível de um sistema que, em um nível elementar é governado por regras simples, até mesmo formais”.

O método de argumento usado na demonstração de Gödel, se torna mais importante, para Hofstadter, do que seu resultado limitador… O uso da verificação de códigos, e seus mapeamentos; sua mistura de níveis; e a vertiginosa ‘recursividade, tudo parece levar Hofstadter a implicações metafóricas para a lúdica atividade da ‘inteligência’ (de per si).

Inteligência artificial…                                                                                                      ‘Sem alguma habilidade para se referir à nossa própria atividade                                           mental, e transformá-la – a própria inteligência seria impossível.’

M.C.Escher _

A mente, escreve Hofstadter, parece agir como as 2 mãos do famoso desenho de Escher, cada uma desenhando a outra. Esse estranho “loop”, afirma ele, pode até estar no centro da própria vida.

Para Hofstadter a mais importante noção encontrada na lógica de Gödel é a ‘auto-referência…E ele faz dessa ideia o eixo  central de seu texto… numa análise séria, apoiada por inúmeras alusões lúdicas.

Esta é uma das mais ricas e originais de suas concepções… – ela, de acordo com Hofstadter é processo crucial em nossa mente. Sempre quando nos corrigimos, resolvemos ‘quebracabeças‘ — que nos envolvem em suas interpretações.

Hofstadter, em uma de suas metáforas mais elaboradas e ousadas — analisa a transferência de informações dentro da célula — e, encontra as mesmas complexidades formais que encontrou na lógica matemática, e no cérebro humano.

O DNA, por exemplo, contém, ao mesmo tempo, o programa para a atividade da célula;   os dados que são manipulados por enzimas específicas; e o idioma transcrito pelo RNA:     é uma cadeia formal, interpretada em diferentes níveis…

De fato, todo o mecanismo celular envolvendo a transcrição e tradução do código genético, a partir de uma cadeia do DNA que, indiretamente, dirige a sua própria auto-replicação, é mapeado por Hofstadter – em um gráfico elaborado sobre as interpretações e codificações do teorema de Gödel, com a sua sequência auto-referente.

Hofstadter escolheu o idiossincrático sistema de numeração de Gödel para sua demonstração, e assim, pôde criar uma estreita identificação entre esse código,                   e, o igualmente arbitrário código genético decifrado recentemente…Ele parece     argumentar que:

‘Se a vida pode extrapolar o substrato químico padrão da célula… – e a consciência emergir de um sensível sistema de neurônios… – então… os computadores também podem alcançar o nível da inteligência humana’. 

De uma ‘forma rudimentar’ — os sistemas formais elementares do computador já correspondem às complexidades  da  ‘inteligência’ (talvez porque foram projetados de forma inteligente).

Sequências básicas binárias de informação são agrupadas em “palavras”,  e interpretadas de diversas maneiras…como nºs, endereços e comandos.

Linguagens de informática em alto nível — praticamente eliminam o ‘ruído eletrônico, agrupando em padrões as transferências mecânicas de “bits” de informação, se ajustando eventualmente à experiência cotidiana do programador… — Há, reconhece Hofstadter um longo caminho a percorrer — mas, eventualmente… para ele… um computador poderá ser programado para se tornar indistinguível da mente humana.

Com efeito, este não é um sonho impossível…Nestas últimas décadas a inteligência artificial tornou-se um importante campo de pesquisa.

Margaret Boden, em seu recente trabalho, ‘Artificial Intelligence and Natural Man’, transmite a enorme emoção, e teimosa perseverança dos pesquisadores da área. Muito já foi alcançado… — há programas para o jogo de damas…para o aprendizado de Inglês, etc.

Estes são indícios incertos de uma inteligência universal – mas, Hofstadter é deveras  persuasivo sobre as potencialidades da Inteligência Artificial (AI), ao menos em seus insights sobre os processos envolvidos na resolução de problemas. — Na verdade, ele,     não só quer discutir o assunto em suas várias formas; na demonstração de Gödel, em Inteligência Artificial, em células, etc… Ele quer criá-lo no texto…bem como criar um modelo literário – colocando o livro inteiro em um grande ‘ciclo auto-referencial.  

Escher-Relatividade, 1962

Jogos lúdicos (Escher e Magritte)

Muito do que está por vir… com efeito, também tem a ver com Escher (1898-1972). Seus desenhos…na maior parte, são truques divertidos…que exploram auto-referências…níveis de interação; jogos de figuras de fundo, etc.

São friamente intrigantes, instigantes;   e às vezes até inquietantes — sendo, a maioria… ‘truques proposicionais‘ de formas de imagem.

Muitas das ideias de Hofstadter…em  analogia, confundem visões profundas com as mais superficiais, como a figura e fundo de um desenho… – ou sistemas (matemáticos) regulares e aleatórios… – Uma implicação do teorema de Gödel porém… – é que… em certos sistemas formais… figura e fundo não carregam a mesma informação.

Ao se entregar a uma consideração metafórica do conhecido teorema lógico de Alfred Tarski (1901-1983), que afirma… não existir um critério mecânico para determinar         a verdade das afirmações de certos sistemas matemáticos – incluindo a aritmética’;

Hofstadter diz que, da mesma forma…‘não há procedimento decisório para a beleza da arte’… — sugerindo para tanto … alguma remota ligação com o Teorema de Tarski… No entanto, essas referências se tornam um problema sério… pois seu livro se preocupa diretamente com a natureza das relações, ou “traçados”, entre os sistemas formais.

Hofstadter em suas discussões sobre Gödel … cérebro … computadores, e células — utiliza vários ‘dispositivos formais’ para ‘conectar’ os sistemas tratadostextos e ideias reduzem-se     à sintaxe; enquanto mapas/gráficos distinguem as variedades de objetos, mediante sua ‘forma compartilhada’.

Tal identificação – acredita Hofstadter, contém significados sugestivos – como uma correspondência entre o o sistema ‘auto-referencial’ de Gödel…e o ‘código auto-replicador celular’.

Formalismos analógicos devem ser preenchidos com interpretações, antes de serem espontaneamente delineados – pois, podem atingir apenas aspectos mais triviais da estrutura. A dificuldade então, não reside em criar paralelos formais – mas sim, em produzir interpretações de julgamento não na sintaxemas na semântica.

Hofstadter, sem embargo, não tem ilusões sobre isso. Ele discute variações do significado, e limitações do formalismo muito claramente. Muito embora, ainda que, geralmente, fale sobre as complexidades da linguagem… música ou beleza – fica muito mais à vontade em expor formalismos. É levado – por exemplo…ao proposicional das artes visuais de Escher   e Magritte, por ‘ilustrarem’ suas noções sobre níveis e auto-referência.

Através do estabelecimento de correspondências, que envolvem recursividade entre a teoria de Gödel, a célula e a mente… – Hofstadter tenta provar certa transcendência…ao revelar estruturas semelhantes, mostrando que…o que se mantém em um sistema, pode também, acontecer em outro.

Para ele… — ‘consequências imprevisíveis’ podem estar em jogo quando sistemas formais alcançam certo nível de complexidade; a sequência de Gödel pode se reproduzir – a vida surgir … – e a inteligência ser criada.

No entanto…essas correspondências são inconclusas e metafóricas — mais assertivas do que convincentes. Para demonstrar como esses sistemas poderiam alcançar criatividade, Hofstadter teria de, por conta própria, articular uma ‘teoria do significado’. Ele teria que se deslocar… – dos sintáticos, estruturais, e formais vínculos de diferentes valores e profundidade – para uma consideração semântica da linguagem e arte.

Aquiles e a tartaruga ‘Bem, agora, você gostaria de ouvir a estória de uma pista de corridas — onde a maioria das pessoas…imagina poder chegar ao fim em 2 ou 3 passos…mas que na verdade são um nº infinito de distâncias…cada uma maior que a anterior?’ L. Carroll  – ‘What the Tortoise Said to Achilles’)

Em um dos ‘paradoxos de Zenão‘,       é demonstrado que, em uma corrida, Aquiles nunca alcançaria a tartaruga,     se esta tiver uma vantagem; uma vez       que Aquiles teria que percorrer mais 1/4… 1/8, após cobrir metade da distância entre eles, e assim por diante…ad infinitum.

O diálogo de Lewis Carroll (… “O que a tartaruga disse a Aquiles”) … que Hofstadter toma como modelo é uma brilhante analogia lógica ao paradoxo de Zenão, de como a tartaruga mostra o que Aquiles nunca resolverá com a ajuda de um simples silogismo (…raciocínio dedutivo)… – Tomando uma proposição Z de Euclides … que se utiliza, logicamente, das premissas A e B… desafia Aquiles para fazê-lo aceitar a conclusão Z… Isto significa – no entanto, que a tartaruga deve aceitar outra proposição C… a saber:

Se A e B são verdade, então Z deve ser verdadeiro“.

A tartaruga ainda não aceita Z, então há ainda outra proposição D que a tartaruga deve aceitar. “Se A, B e C são verdadeiras, então Z deve ser verdadeira“, e assim por diante.

M. Escher – “smaller and smaller”

A questão da regressão infinita contínua, nos lembra uma questão de Wittgenstein“Por que razão seríamos obrigados a ter que aceitar uma conclusão lógica?”…

Hofstadter responderia que há sempre um ‘substrato inviolável’ na célula… na mente, no computador…‘um sistema formal que é o limite da regressão infinita; fim de toda procura para se chegar ao conhecimento fundamental’… Porém, a princípio – não vejo razão para aceitarmos esta solução. Problemas lógicos de ‘regressão infinita’     não são resolvido tendo como referência um ‘hardware’. Pelo próprio Hofstadter:

“Você não pode ir em defesa de seus padrões de raciocínio para sempre,                             pois acaba chegando a um ‘ponto crítico’… onde a fé assume o controle”.

Hofstadter tem fé que a Inteligência Artificial terá sucesso em sua busca; tal como Hilbert, anteriormente acreditava. Realmente, para o sucesso do programa A.I. não deveria existir nenhum obstáculo comparável ao que bloqueou Hilbert…mas, não há nenhuma evidência sobre isso.

Hofstadter não minimiza as dificuldades, mas as chances parecem formidáveis. O cérebro em si, parece ser mais um sistema probabilístico do que formal; mais uma nuvem, do que um relógio (para usar a metáfora de Popper); e…por sua interação com o resto do corpo, seria também muito difícil considerá-lo diferentemente…como um sistema independente.

Pesquisadores em AI esperam nunca ter de modelar a fisiologia do cérebro; eles se concentram sobre o funcionamento da mente – e tentam imitar suas características. Mas, mesmo esse projeto já parece enorme.

A realização do projeto AI significaria um programa, um conjunto finito de instruções, que forneceria uma verdadeira estrutura da mente humana… – uma sequência de proposições, em que se poderia ler uma  ‘gramática universal da criatividade.

Tal projeto é o sonho arquétipo de grande parte da investigação contemporânea…Sua finalidade não é encontrar uma ‘linguagem universal’ cuja sintaxe revelaria a ‘verdade     do mundo’ (…Gödel provou ser tal linguagem impossível) mas…uma ‘hermenêutica universal’ que – reduzida a uma sintaxe subjacente de ‘estruturas básicas’…fosse  capaz de ler a complexidade que nos rodeia.

Este é o sonho não só da AI… – mas da maior parte da genética contemporânea, linguística e teoria literária avançada – todas                     as quais… – ressaltam a importância da… “auto-referência“. 

photo - Leonid Tishkov

photo – Leonid Tishkov

Livre Tradução (RESUMO) da resenha de Edward Rothstein para o livro de Douglas Hofstadter…”Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de Gênios Brilhantes”   

‘The Dream of Mind and Machine’ (Edward Rothstein) (06/12/1979)

fontes p/ consulta:  ‘Uma viagem informal ao Teorema de Gödel’ (R. Kubrusly)     Ditos Bem Ditos (‘Kurt Gödel & Douglas Hofstatder’) ### A Hipótese de Riemann  *********************(texto complementar)************************************

Por que não podemos voltar ao passado?  (Mário Novello / junho 2013)                     ‘O universo (de per si) se encarrega para que nele não surjam contradições…                       – É essa a sua natureza formal’.       

viajar no tempo

Gödel demonstrou que na teoria de Einstein da gravitação — podem existir situações nas quais o ‘campo gravitacional é tão intenso… que permite uma…”volta ao passado“. – Os físicos lidam com essa questão … — criando soluções técnicas — que nos permitem uma mudança radical na descrição do mundo.

Pensávamos que cada evento possuía uma liberdade total e quase absoluta de ocorrer, desde que não violasse leis físicas. – O que essa característica de ‘curvas-que-levam-ao-passado’ permite concluir é que isso não é mais possível. Temos uma liberdade local de eventos, mas não global… Dito de outro modo: um processo físico não depende apenas     do que acontece em sua vizinhança…mas tem um ‘componente global’ que diz respeito       ao universo como uma totalidade solidária.

Transladando essa dependência para nosso mundo do cotidiano, tudo se passa como se uma decisão individual tivesse somente uma limitada dose de independência. Uma boa parte dela depende de um processo global que transcende a individualidade. Ou seja, o Universo entendido como uma totalidade é solidário. Suas partes não têm autonomia,       a não ser quando se trata de procedimentos mínimos, como, por exemplo, aqueles que ocorrem na Terra, ou em sua vizinhança.

Tal visão parece ser um rude golpe no orgulho de nossa espécie, além mesmo de nossa individualidade. Mas se limitarmos nossas atividades a pensar somente nos processos   que ocorrem aqui e agora  –  ou seja… na Terra… – essa liberdade pode ser entendida   como completa, pelo menos no que diz respeito às leis físicas.

No entanto, ao pensarmos a Terra na Via Láctea com suas centenas de bilhões de estrelas, e mesmo para além dessa galáxia…nas centenas de bilhões de galáxias que formam nosso horizonte observável, ou seja, nessa totalidade que chamamos Universo… – e, se Einstein e Gödel têm razão, os processos que controlam os movimentos dos corpos não dependem somente de suas interações locais, mas possuem um componente global.  (texto base)  ***********************************************************************************

‘Matemática e Natureza’ (trechos do livro)

Teorema da Incompletude de Gödel 

Paradoxo de Liar “Esta sentença é falsa!” – é indecidível                                                 (tanto falsa quanto verdadeira)

Proposição de Gödel “Esta proposição não tem prova!”                                                      — é incompleta

  1. Se o conjunto axiomático de um sistema formal é consistente, então nele               existem teoremas que não podem ser demonstrados…        (ou, negados).
  2. Não existe procedimento construtivo… – que demonstre se determinada                         teoria é consistente.

Sistemas axiomáticos aritméticos só são provados por                                                         outros sistemas axiomáticos… (consistência interna)

Qualquer sistema lógico – de qualquer complexidade – contém mais proposições verdadeiras, do que pode ser provado por seus próprios axiomas. (incompletude)

A matemática possui 3 classes de sistemas:

a) discretos – associados aos nºs naturais;

b) contínuos – associados aos nºs reais.

c) ‘fractais‘… associados aos sistemas caóticos… por autossemelhança.

Sistemas Caóticos (não-lineares) 

A turbulência em um sistema dissipativo é um movimento caótico induzido a desenvolver certo padrão. Este padrão – que varia para cada fenômeno físico, é denominado ‘estranho atrator‘.

Este nome se deve ao fato de sistemas caóticos serem atraídos para um destino muito bem definido… – da mesma forma que sistemas não-caóticos tendem a pontos fixos – ou ciclos. Porém… diferente destes, os atratores não são pontos, ou curvas bem definidas… mas sim, objetos caóticos‘ de natureza (geométrica) fractal… — com ‘dimensões não-inteiras’. 

Sendo extremamente sensíveis às condições iniciais, revelam um contínuo de frequências, ao invés de frequências aleatórias… – similar ao de sistemas não-lineares. (Michel Janos)

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Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979... (s/ diploma)
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Uma resposta para Gödel – ‘dos Sonhos e Mecanismos Mentais’

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