Gödel – “Dos Sonhos…e Mecanismos Mentais”

“As noções fundamentais da geometria… e as abstrações decorrentes… não são parte do mundo em que vivemos; mas sim da forma como construímos o Universo em nossas mentes” … (Michel Janos – ‘Matemática e Natureza’)

“A arte evoca o mistério sem o qual o mundo não existiria”, René Magritte

“A arte evoca o mistério sem o qual o mundo não existiria”
René Magritte

Durante o século XIX…a matemática;  mãe reconhecida de todas as ciências; começou a voltar sua atenção…a seus próprios fundamentos. Em trabalhos de BooleFrege, MorganPeano, Russell e outros, um grande projeto aos poucos começou a ganhar forma:  ‘a matemática iria analisar… – com todo o rigor, sua própria estrutura’.  O objetivo, era um sistema que fosse inquestionável e seguro; assim, uma “linguagem matemática” seria então desenvolvida com toda simplicidade    e clareza – para dissipar dúvidas… e revelar … as suas próprias verdades.

O objetivo do projeto era o mesmo sonho de muitos pensadores do século XVII — de criar, ou descobrir uma ‘linguagem universal‘, na qual um conjunto de símbolos seria usado, para tentar descrever todo ‘conhecimento humano’… — Sua estrutura seria tão ligada à do universo… – que a própria “linguagem“… – por si só… – poderia ser usada para descobrir verdades… – Sua sintaxe impediria falsidades…e, não mais haveria significados ambíguos.

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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ao propor uma precisa linguagem simbólica — era, de fato…uma grande influência sobre a sistematização da lógica do século XIX — e, assim criou sua ‘sintaxe lógico-matemática‘.

Com efeito, sempre houve problemas com o sistema geométrico de Euclides (séc.III a.c.) — apesar de sua longevidade… Os 4 primeiros dos 5 axiomas… formadores da ‘geometria plana’, pareciam inquestionáveis…Mas, o 5º axioma (‘através de um ponto fora de uma linha apenas 1 paralela pode ser traçada’) sempre pareceu menos evidente, e por séculos, foram elaboradas inúmeras tentativas de provar sua “dispensabilidade” … derivando-o a partir dos outros 4.

Afinal, foi reconhecido ser impossível tal comprovação, sendo de fato independente dos outros axiomas… No entanto, esta independência é intrigante, pois se o 5º axioma fosse contrariado…quando, por exemplo alguém afirmasse que ‘através de um ponto fora   de uma linha nenhuma outra paralela pode ser traçada‘, e se este novo axioma fosse adicionado aos 4 primeiros, os resultados pareceriam ‘absurdos’. Alguém poderia, por exemplo – encontrar a soma dos ângulos de um triângulo…maior do que 180 graus.

Desse modo, a descoberta de geometrias não-euclidianas levantou                 sérias questões — sobre como a matemática deveria ser entendida.

Matemáticos tendem a assumir que termos da matemática… como “ponto“, “linha“, ou “número“, se referem, obviamente a objetos de nossa experiência cotidiana; o que, hoje em dia, já não é tão claro assim… Na verdade, reinterpretando estes termos…poder-se-ia criar sistemas completamente diferentes – alguns dos quais, não tendo nada a ver com a própria experiência… – Como Ernest Nagel e James Newman muito bem colocaram…

“É reconhecido que a validade de uma associação matemática, em nenhum sentido depende de significados especiais que sejam associados aos seus termos”… Ou seja: O ‘negócio’ da matemática não é a ‘verdade’; mas sim, sua própria derivação lógica.      Mas, se já era difícil…em um campo tão concreto quanto a geometria – determinar      quais instruções poderiam ser comprovadas… – e, quais seriam suas contradições;      quanto mais difícil isso se tornaria… agora – em sistemas cada vez mais abstratos?

David Hilbert

“Não se deve exigir de uma teoria que resolva integralmente, de uma só vez, todas questões pertinentes; basta que ela indique o caminho”. David Hilbert

O avanço abstrato

Toda a matemática, foi se tornando mais abstrata no século XIX – já não estando mais “amarrada” a uma descrição do nosso universo… do seu espaço… ou, de seus números. Também desobrigada da confirmação que a experiência tem para dar…como poderia então, se ter certeza de que ela… – matemática…não estaria criando contradições…nestes ‘reinos sobrenaturais’?

David Hilbert (1862/1943)… que fez mais do que qualquer outro matemático contemporâneo… — no aperfeiçoamento e simplificação dos “fundamentos axiomáticos” da geometria… acreditava que só este método garantiria a ‘segurança‘ de seus resultados.  Para isso – ele propôs uma formalização radical da matemática – ‘todos os sinais matemáticos seriam esvaziados de significado’… Para evitar confusões como as que surgiram na geometria…demonstrações matemáticas” não seriam mais do que vestígios de tais sinais, arbitrariamente escolhidos…como “traços“, “hifens” e “letras“. Ademais…’axiomas‘ seriam fragmentos dados pelo sistema…E assim, usando específicas regras mecânicas, tais fragmentos seriam manipulados, para gerar teoremas.  A derivação de um teorema – seria apenas uma sequência de fragmentos, organizados de acordo com suas próprias regras. A Matemática seria um jogo de “mecânica sintática“, onde “sistemas metamatemáticos” também estariam aguardando – serem incluídos.

 Como podemos determinar se uma dada sequência é um teorema, e sendo, poderia ser comprovado?…Ou então – dada uma interpretação particular do sistema, haveria contradições nele?…Estas questões eram substanciais.

“the false mirror” – Magritte, 1928

O projeto formalista de Hilbert

Ao tratar ‘sistemas matemáticos‘ como de origem puramente sintática, Hilbert chamou atenção às ‘nuances do pensar’,  trazendo com isso “rigor abstrato“, ao propósito… de sua representação ideal.

Definindo domínios metamatemáticos’  explicitamente — Hilbert assim, logrou  levantar ‘questões fundamentais’ sobre  ‘verdade‘ e ‘demonstrabilidade‘ na “ciência matemática”.

Anteriormente, a mais completa tentativa para consolidar a matemática em um sistema havia sido feita por Bertrand Russell e A. Whitehead em “Princípios Matemáticos(toda a matemática desenvolvida… a partir das regras de um cálculo lógico). – Dado um sistema desse tipo… Hilbert, então perguntou — podemos provar que ele seja ao mesmo tempo consistente e completo…não contenha contradições…e, que toda afirmação assim produzida seja verdadeira?…

Se uma única aritmética assim formalizada tivesse essas propriedades, este seria o caminho para construirmos uma poderosa ‘linguagem matemática’.

Hilbert reconheceu que, ao realizar esta dupla tarefa – de provar tanto a consistência quanto a integridade, não se poderia apelar para métodos matemáticos comuns, pois eram estes próprios ‘métodos‘…cuja legitimidade estava em questão… – Nem qualquer  “evidência” poderia, em ‘metamatemática‘, fazer referência a um número infinito de termos, ou operações… pois tais conjuntos infinitos tinham criado caos e paradoxos na matemática da época… – Respeitando estas restrições…poder-se-ia construir qualquer objeto matemático que se quisesse fazer uso – provando assim sua “existência formal”.

Kurt Gödel

A “Incompletude” de K. Gödel (1906/78)                          O Teorema da Incompletude é provado pela                                elaboração de uma afirmação não provável”.               

Mas, como então, Gödel conseguiu – derrubar o projeto de Hilbert?… Ele provou que…sob as restrições de Hilbert, não haveria qualquer evidência de coerência interna…e que tais poderosos sistemas matemáticos… nunca seriam completos.      A ironia é que, demonstrando tal resultado, ele permaneceu nas restrições de Hilbert das evidências metamatemáticas”.   

De fato, a técnica por trás dessa construção é quase tão importante quanto o resultado em si. — Gödel começou com o sistema formal do “Principia Mathematica” — mas… como ele próprio observou – poderia ter escolhido qualquer “sistema formal aritmético“… Em tais sistemas, fatos aritméticos familiares, como “1 + 1 = 2“, seriam representados por signos no sistema… – que poderiam ser manipulados – como se não tivessem significado algum.

O código de Gödel por exemplo, é bastante semelhante – ao padrão de ‘criptogramas‘. Se codificássemos letras do alfabeto em números…nós poderíamos codificar qualquer tipo de mensagem… – e… inversamente, com 1 sequência de nºs codificados,  conseguiríamos dizer…se poderiam ser decodificados e qual mensagem.

Tal codificação poderia dividir toda “sequência de números” em 2 classes… as “traduzíveis” em mensagens, e aquelas que não poderiam ser decodificadas (ou pelos números não corresponderem às letras codificadas, ou por corresponderem…sem fazer sentido). A “codificação de Gödel” também permitiria caracterizar qualquer número; este seria um Número de Gödelse, e somente se pudesse ser traduzido em um teorema…ou demonstração no sistema formal. Por outro lado, dado um ‘nº de Gödel‘ … poder-se-ia recuperar qualquer sequência.

Tal procedimento pode parecer ridiculamente fútil… – O código é uma interpretação peculiar do sistema formal, que parece… nada mais do que levar os sinais para ainda      mais longe dos fatos teóricos – expressos em algarismos básicos… como  “1 + 1 = 2“. Porém, como Douglas Hofstadter explica claramente: “A importância da codificação            é que o sistema formal então mapeado representa afirmações sobre números“.

Essa técnica é notável em um sistema a princípio – tão silencioso…quanto a aritmética… – mas, dificilmente seria eficaz em uma “linguagem natural”… onde a dificuldade… surge a partir de seu ‘poder reflexivo‘…Por exemplo, a asserção…esta afirmação é falsa”  é o exemplo clássico. – Sendo falsa a afirmação é verdadeira… por outro lado… se for verdade – então é falsa.  Com seu ‘código formal’, Gödel criou algo semelhante … uma sequência G,  onde… – “G não é demonstrável.”

Com efeito este não é, num sistema formal um mero paradoxo; G é tanto demonstrável, quanto não… Se é demonstrável, então – considerando sua aritmética consistente – G é verdadeira. Mas G diz que G não é demonstrável…por isso, se fosse verdade, seria falso,    e, temos assim uma contradição…G é “não provável”…Mas, isso é exatamente o que diz, por isso é verdadeiro. E assim, temos um exemplo real de uma verdadeira declaração… que não pode ser provada… – Seu sistema aritmético é portanto…”incompleto“. 

Além disso, Gödel demonstrou que…“a aritmética é…’essencialmente’ incompleta, não havendo meios de adicionar complementos ao sistema, como axiomas para completá-lo”.  Este resultado, em nossa era atual – incerta e relativística… pode não ter o mesmo efeito devastador que teve sobre os matemáticos, que há quase 50 anos, acreditavam que, com axiomas e lógica, poder-se-ia chegar, se não à toda verdade filosófica…ao menos, à mais completa “formalização matemática”. Todavia, a diferença entre “demonstrabilidade e “verdade”, tem levado a uma ênfase metafórica ainda mais abrangente. – O Teorema de Gödel tem sido utilizado, por exemplo, como argumento que, o ‘mundo natural’ sempre ilude nossas melhores teorias, e assim: “o conhecimento humano nunca alcançará tudo”.

máquina de turing

‘máquina de Turing’

‘Limitações computacionais                            O ‘Teorema de Gödel’ parece sugerir algo bem preciso sobre as limitações dos computadores.

O teorema também tem sido utilizado como fonte de controvérsias na ciência da computação… pois, como diz Hofstadter em seu livro: “Gödel, Escher, Bach… um entrelaçamento de Gênios Brilhantes”:  “Sistemas formais…com seu vaivém sintático de sinais e sentidos… são origem de toda atividade computacional”…

Em 1936…antes do 1º computador moderno ser construído…Alan Turing (1912-1954) criou uma teoria formal de como um computador poderia funcionar…e um ‘sistema formal’ também se vê    no nível mais elementar das máquinas mais avançadas de hoje. Está no “hardware”, um sistema formal no qual, bits de informações binárias ‘1‘ e ‘0‘ — são…tão mecanicamente manipulados, quanto ‘leis de inferência de Hilbert’ manipulam sequências matemáticas.

Hofstadter, em seu comentário sobre um artigo do filósofo J.R. Lucas, contribuiu para    um animado debate entre filósofos e cientistas da computação… – Lucas havia escrito:    “O teorema de Gödel parece-me provar que a filosofia mecanicista é falsa, isto é, que a ‘mente’…não pode ser explicada – como ‘máquina’…Se a máquina pode ser facilmente programada para criar ‘teoremas’ em certo ‘sistema formal’… – falhará… ao detetar as ‘armadilhas de Gödel‘…latentes nesse sistema – as quais – embora nunca possam ser consideradas como teoremas pela máquina… – ainda assim … podem ser vistas como verdades, pela mente humana. – Por conseguinte…sendo a mente, na verdade…‘viva’,  sempre pode fazer melhor do que quaisquer sistemas formais…mortos e ossificados.

“Os…’poderes da mente’… – excedem os de uma                                      máquina de inferência lógica”. (Michael Polanyi

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Este argumento e outros similares, utilizam a demonstração de Gödel para transcender a mente… — em relação à máquina…Já Hofstadter argumenta de outra forma… – Ele acredita que o que vale à máquina também é válido ao cérebro; pois ambos são sistemas formais‘.      O cérebro possui um… “hardware  básico”, composto de…talvez… 10 bilhões de neurônios…onde, cada  um deles dispara ou não segundo rigorosas leis mecânicas. Mais de 30 anos atrás, em seu clássico “Cibernética”, Norbert Wiener escreveu… – “O caráter de ‘tudo-ou-nada‘ da descarga do neurônio é análogo,  àquela singular escolha a ser feita — quando da definição de 1 dígito na escala binária“.

E…se o nível mais elementar do cérebro é também um sistema formal, então deve estar sujeito às limitações do ‘teorema de Gödel’. Assim…Hofstadter desenvolve convincente argumento matemático de…“por que a mente é tão limitada quanto uma máquina”. No entanto… é um dos temas mais importantes de seu livro que – embora possa haver um sistema formal subjacente a toda atividade mental… – a “mente” … – de alguma forma transcende o “sistema formal” que a suportaE, sendo o sistema subjacente formal tão poderoso…a ponto de se refletir – mesmo nos níveis mais elementares – então… como assim argumenta Hofstadter… — “uma nova dinâmica… acontece no cérebro”.

Como exemplo, Hofstadter compara o cérebro a uma “colônia de formigas”…que na complexa organização do formigueiro exibe sua estratégia e consciência… enquanto          as formigas individuais parecem se identificar aos neurônios… No cérebro, também conjuntos de atividades são formados, e a interpretação se opera quando diferentes    níveis começam a interagir. Nesse sentido, Hofstadter oferece mais alguns detalhes:

“Cada aspecto do pensamento…pode ser visto como                                      uma descrição em alto nível do sistema, que a nível                                    elementar é governado por simples regras formais”.

O método de argumento usado na demonstração de Gödel, se torna mais importante, para Hofstadter, do que seu resultado limitador… O uso da verificação de códigos, e seus mapeamentos; sua mistura de níveis; e a vertiginosa ‘recursividade, tudo parece levar Hofstadter a implicações metafóricas para a lúdica atividade (de per si) da “inteligência”.

Inteligência artificial…                                                                                                      ‘Sem alguma habilidade para se referir à nossa própria atividade                                           mental… – e transformá-la … a “inteligência” seria impossível.’

M.C.Escher _

A mente, escreve Hofstadter, parece agir como as 2 mãos do famoso desenho de Escher, cada uma desenhando a outra. Esse estranho “loop”, afirma ele, pode até ser referência ao próprio processo vital.

Para Hofstadter a mais importante noção encontrada na lógica de Gödel é a “auto-referência…E ele faz dessa ideia o eixo  central de seu texto… numa análise séria, apoiada por – inúmeras ‘alusões lúdicas‘. Esta…é uma das mais ricas e originais de suas “concepções”… – sendo considerada como o processo crucial em nossa mente. Sempre…ao nos corrigirmos…resolvemos “quebra-cabeças“…que nos envolvem em suas interpretações. Hofstadter…em uma de suas metáforas mais ousadas…analisa  a transferência de “informações” em uma célula… e, obtém ‘complexidades formais’ da lógica matemática no cérebro humano.

O DNA, por exemplo… contém, ao mesmo tempo…o programa                        para a atividade da célula; os dados manipulados por enzimas              específicas; e o idioma transcrito pelo RNA… sendo…portanto,                      uma… “cadeia formal“… – interpretada em diferentes níveis.

De fato, todo mecanismo celular…envolvendo a transcrição e tradução do código genético, a partir de uma cadeia do DNA, que indiretamente dirige a sua própria auto-replicação, é mapeado por Hofstadter…em um gráfico elaborado sobre as interpretações e codificações do teorema de Gödel, com sua sequência auto-referente. Com efeito, Hofstadter escolheu o idiossincrático sistema de numeração de Gödel para sua demonstração – e assim…pôde criar uma estreita relação entre esse código… e, o igualmente arbitrário “código genético”, decifrado recentemente… – Dessa maneira então…ele parece querer argumentar… – que:

‘Se a vida pode extrapolar…o substrato químico padrão da célula – e, a consciência emergir de um sensível sistema de neurônios… – então… os computadores também podem alcançar o nível da inteligência humana’. 

E, de forma rudimentar…de fato, sistemas formais elementares do computador já correspondem às complexidades da inteligência… (talvez porque foram projetados também… de forma inteligente).

Sequências básicas binárias de informação são agrupadas em “palavras”…e interpretadas de diversas maneiras…como nºs, endereços  e…comandos.

Linguagens de informática em alto nível – praticamente eliminam o “ruído eletrônico, agrupando em padrões, as transferências mecânicas de ‘bits‘ de informação, se ajustando eventualmente…à experiência cotidiana do programador… – como reconhece Hofstadter:  “Há, um longo caminho a percorrer – mas… eventualmente… – um computador poderá ser programado para se tornar indistinguível da mente humana”. E realmente, este não é um sonho impossível; pois a inteligência artificial já se tornou-se importante campo de pesquisa.

Margaret Boden, em seu recente trabalho,Artificial Intelligence and Natural Man’, transmite a enorme emoção, e teimosa perseverança dos pesquisadores da área. Muito já foi alcançado… – há programas para o jogo de damas…aprendizado de línguas, etc. Estes são indícios de uma “inteligência universal”… mas Hofstadter é deveras persuasivo sobre potencialidades da “Inteligência Artificial” – ao menos em seus insights  sobre processos envolvidos na resolução de problemas. – Na verdade… ele não só quer discutir o assunto em suas várias formas (demonstração de Gödel, Inteligência Artificialcélulas, etc.) mas,    criá-lo no texto, como um modelo literário…colocando o livro inteiro num grande “ciclo auto-referencial.  

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Jogos lúdicos (Escher & Magritte)

Muito do que está por vir … com efeito, também tem a ver com Escher… Seus desenhos…na maior parte, são truques divertidos explorando auto-referências  níveis de interação, jogos de fundo, etc. intrigantes, instigantes…e às vezes, até inquietantes… ‘truques proposicionais’ de formas de imagem…Como analogia, muitas das ideias do autor, confundem  visões profundas… às mais superficiais, como a figura de fundo de um desenho, ou meta-sistemas regulares/aleatórios

Uma implicação do teorema de Gödel, porém…é que em certos sistemas formais… “figura e fundo não carregam a mesma informação”.

Ao se entregar a uma consideração metafórica do conhecido teorema lógico de Alfred Tarski (1901-1983), que afirma“não existir um critério mecânico para determinar         a verdade das afirmações de certos sistemas matemáticos… incluindo a aritmética”.  Hofstadter diz, do mesmo modo: “não haver procedimento decisório para beleza na arte”sugerindo…para tanto… – alguma “remota ligação” com o Teorema de Tarski.    Contudo, essas referências se tornam um problema sério – pois seu livro se preocupa diretamente com a natureza das relações – outraçados“…entre os sistemas formais.

Hofstadter em suas discussões sobre Gödel… cérebro… computadores… e, células — utiliza vários “dispositivos formais” para ‘conectar‘ os sistemas tratados; textos e ideias reduzem-se     à sintaxe; enquanto mapas/gráficos distinguem variedades de objetos… por sua forma compartilhada. – Tal identificação … acredita Hofstadter, contém significados sugestivos, em uma correspondência…do “sistema auto-referencial” de Gödel – com o código auto-replicador das células.

Formalismos analógicos devem ser preenchidos com interpretações, antes de serem espontaneamente delineados – pois, podem atingir apenas aspectos mais triviais da estrutura. A dificuldade então, não reside em criar ‘paralelos formais’…mas sim, em produzir interpretações de julgamento…não na sintaxe…mas, na semântica.  Hofstadter não tem ilusões sobre isso. Ele discute trocas de significado e limitações  formalísticas muito claramente. — Muito embora, ainda que costume falar sobre as complexidades da linguagem…música…beleza…fica muito mais à vontade ao expor formalismos. É levado, por exemplo, ao proposicional das artes visuais de Escher e Magritte, pela razão destas ‘ilustrarem’ suas noções sobre níveis, e auto-referência.

Estabelecendo correspondências que envolvem ‘recursividade‘… entre a teoria de  Gödel, a célula, e a mente…Hofstadter tenta provar certa transcendência, ao revelar estruturas semelhantes – mostrando que – o que se mantém em um sistema…pode também acontecer em outro. – Para ele, consequências ‘imprevisíveis‘ podem estar          em jogo. — Quando sistemas formais alcançam certo nível de “complexidade”… – a sequência de Gödel pode se reproduzir…a vida surgir… – e a inteligência ser criada.

No entanto… essas correspondências são inconclusas e metafóricas … mais assertivas do que convincentes. Para demonstrar como esses sistemas poderiam alcançar criatividade, Hofstadter teria de, por conta própria, articular uma ‘teoria do significado’. Ele teria que se deslocar…dos sintáticos…estruturais…e formais vínculos…de diferentes valores e, profundidade…para uma consideração puramente…”semântica“…da linguagem… e arte.

O que a tartaruga disse para Aquiles                                                                                Bem, agora, você gostaria de ouvir a estória de uma pista de corridas,                              onde as pessoas imaginam poder chegar ao fim em 2 ou 3 passos…mas,                            que na verdade são um número infinito de distâncias?” (Lewis Carroll)

O paradoxo de “Aquiles e a tartaruga”, proposto por Zenão…por volta de 450 a.c. — retrata uma situação hipotética entre dois personagens, onde… numa corrida entre eles… — Aquiles ‘nunca’ alcançaria a tartaruga – pois, mesmo    a velocidade maior — estaria sempre, se aproximando dela… — Isso ocorre porque… depois de cobrir a distância, que então os separava, terá sempre… mais uma fração … da nova distância entre eles… – a percorrer… – e assim por diante… – ad infinitum.

O diálogo de Lewis Carroll, que Hofstadter toma como modelo é uma brilhante analogia lógica ao paradoxo de Zenão, de como a tartaruga mostra o que Aquiles nunca resolverá com a ajuda de um silogismo (raciocínio dedutivo)“Se A e B são verdade, então Z deve ser verdadeiro”. A tartaruga não aceita Z, mas há ainda outra proposição D que ela deve aceitar…”Se A, B e C são verdadeiras, então Z deve ser verdadeira”… e assim por diante.

“Aquiles não pode dar um número infinito de saltos para alcançar                   a tartaruga … porque não existem saltos infinitamente pequenos,                   em um espaço…feito de grãos de tamanho finito”. (Carlo Rovelli)

M. Escher – “smaller and smaller”

A questão da ‘regressão infinita contínua’, nos lembra uma questão de Wittgenstein“Por que razão seríamos obrigados…a ter que aceitar…alguma conclusão lógica?”…

Hofstadter responderia que há sempre um ‘substrato inviolável’ na célula… na mente, no computador…‘um sistema formal que é o limite da regressão infinita… fim de toda procura – para se chegar ao conhecimento fundamental’. – Contudo…a princípio não vejo razão … para aceitarmos esta solução. Problemas lógicos de…’regressão infinita’,    não são resolvidos, tendo como referência um “hardware”… – Conforme Hofstadter:

“Você não pode ir em defesa de seus padrões de raciocínio para sempre,                             pois acaba chegando a um ‘ponto crítico’… onde a fé assume o controle”.

Hofstadter, tal como Hilbert, tem fé que a ‘Inteligência Artificial’ terá sucesso; ainda mais, porque acreditava que… para o sucesso do programa ‘A.I‘… não deveria existir obstáculos comparáveis ao que bloqueou Hilbert – entretanto…não há qualquer evidência sobre isso. Hofstadter não minimiza as dificuldades, mas as chances parecem formidáveis. O cérebro em si parece mais um sistema probabilístico…que formal – mais uma nuvem…do que um relógio (usando a metáfora de Popper)…e, por sua interação com o resto do corpo…seria também muito difícil considerá-lo um sistema independente de um “desempenho global”.

Pesquisadores em AI esperam nunca ter de modelar a fisiologia do cérebro; eles se concentram sobre o funcionamento da mente, e tentam imitar suas características. Todavia, mesmo esse simples projeto, já parece enorme. A realização do programa significaria um conjunto finito de instruções fornecendo uma verdadeira estrutura            da mente humana… – uma sequência de proposições – em que se poderia ler uma “gramática universal da criatividade“… — Tal projeto é o ‘sonho arquétipo’              de grande parte da investigação contemporânea… Sua finalidade, não é encontrar          uma ‘linguagem universal’…cuja sintaxe revelasse a “verdade do mundo”… (Gödel      provou ser isso impossível) mas uma interpretação universal, que reduzida a uma      sintaxe subjacente de estruturas básicas…explicasse a complexidade a nossa volta.

Este é o sonho não só da AI… – mas da maior parte da genética contemporânea, linguística e teoria literária avançada – todas                     as quais… – ressaltam a importância da… “auto-referência“. 

photo - Leonid Tishkov

photo – Leonid Tishkov

Livre Tradução (RESUMO) da resenha de Edward Rothstein para o livro de Douglas Hofstadter…”Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de Gênios Brilhantes”   

‘The Dream of Mind and Machine’ (Edward Rothstein) (06/12/1979)

consulta: ‘Uma viagem informal ao Teorema de Gödel’ # K. Gödel & D. Hofstatder    ***************************(texto complementar)*******************************

“Teoremas da Incompletude”… de Gödel                                                                            “Como um sistema matemático não pode provar a sua própria consistência interna, nem ser usado para provar a consistência de outros… – é sempre possível definir proposições que não podem ser testadas em função dos axiomas que definem este sistema… Portanto, sempre haverá declarações formais verdadeiras – que o sistema jamais poderá provar”.

  • Teorema 1: “Se o conjunto axiomático de um sistema formal é ‘consistente‘,       então nele existem teoremas, que não podem ser demonstrados… ou negados”.
  • Teorema 2: “Não existe qualquer teoria, cujo ‘procedimento construtivo‘           seja capaz de demonstrar a sua própria consistência“.

(“incompletude”)…Qualquer “sistema lógico” … de qualquer ‘complexidade’, contém mais proposições verdadeiras    do que pode ser provado… – por seus próprios axiomas…Daí  então resulta:

(consistência interna) que … “sistemas axiomáticos aritméticos”, por exemplo, só podem ser provados… — por outros sistemas axiomáticos.

Paradoxo de Liar — a afirmação… “Esta sentença é falsa!”                                                 é uma proposição indecidível…(tanto falsa quanto verdadeira)

A matemática possui 3 classes de sistemas…a) discretos – associados aos números naturais; b) contínuos – associados aos nºs reais; c) fractais – associados aos sistemas caóticos…(por autossemelhança).

Sistemas Caóticos (não-lineares)

A turbulência em um sistema dissipativo é um movimento caótico induzido a desenvolver certo padrão. Este padrão – que varia para cada fenômeno físico, é denominado “estranho atrator“…Este nome se deve ao fato de tais sistemas                serem atraídos a um destino ‘bem definido’… – assim como “sistemas lineares”              tendem a pontos fixos, ou ciclos. Porém, diferente destes, os ‘atratores’ não são            pontos, ou curvas bem definidas — mas sim…objetos caóticos‘…de natureza (geométrica) fractal… – com ‘dimensões não-inteiras’… Sendo extremamente                sensíveis às condições iniciais…revelam um contínuo de frequências… ao invés                  de frequências aleatórias… similar ao de sistemas não-lineares. (Michel Janos*************************************************************************

Por que não podemos voltar ao passado?  (Mário Novello / junho 2013)                     “O universo (de per si) se encarrega para que nele não surjam contradições”.                   

viajar no tempo

Gödel demonstrou que na teoria de Einstein da gravitação — podem existir situações nas quais o ‘campo gravitacional‘…é tão intenso, que permite uma…”volta ao passado“. – Os físicos lidam com essa questão … — criando soluções técnicas — que nos permitem uma mudança radical — na descrição do mundo.

Pensávamos que cada evento possuía uma liberdade total e quase absoluta de ocorrer, desde que não violasse leis físicas. – O que essa característica de curvas-que-levam-ao-passado permite concluir é que isso não é mais possível. Temos uma liberdade local de eventos, mas não global… Dito de outro modo: um processo físico não depende apenas     do que acontece em sua vizinhança, mas tem um “componente global” que diz respeito       ao universo como uma totalidade solidária. Transladando tal dependência, para nosso mundo cotidiano…tudo se passa como se uma decisão individual tivesse somente uma limitada dose de independência… Uma boa parte dela depende de um processo global,    que transcende a individualidade. Ou seja, o Universo entendido como uma totalidade        é solidário. Suas partes não têm autonomia, a não ser — para procedimentos mínimos.

Tal visão parece ser um rude golpe no orgulho de nossa espécie… – além mesmo, de nossa individualidade…Todavia, se limitarmos nossas atividades, a pensar apenas nos processos que ocorrem aqui e agora…essa liberdade pode ser entendida como completa; pelo menos no que diz respeito às leis físicas. – Porém…ao pensarmos a Terra na Via Láctea com suas centenas de bilhões de estrelas, e mesmo para além dessa galáxia, nas centenas de bilhões de galáxias que formam nosso horizonte observável… nessa totalidade chamada Universo; conforme Einstein e Gödel, os processos que controlam os movimentos dos corpos não só dependem de suas interações locais, mas possuem um componente global. (texto base)  ************************************************************************************

BRusselSobre a “exatidão” matemática

Realizar experiências, observar o mundo natural, formular hipótese, testá-las, são procedimentos fundamentais a qualquer um que tente fazer ciência, exata ou não.

Podemos avaliar o crescimento de uma planta, a colocando em uma sala escura, sem luz solar…e, ao ar livre… – Verificamos que a sua sobrevivência depende do ambiente. – Concluímos então, que plantas precisam de luz.

O exemplo das plantas recai no já discutido problema da “indução”, cujos argumentos não são logicamente válidos. Não é o caso de que… se as premissas de uma inferência indutiva forem verdadeiras, então a conclusão será verdadeira também. É possível que a conclusão de um argumento indutivo seja falsa, embora as premissas sejam verdadeiras… – e, ainda assim, não haja contradição. Ou seja, pode haver lógica…mesmo para um argumento com premissa falsa… – Mas, como podemos ter “certeza absoluta” de que nossa conclusão…ou hipótese é verdadeira?… – E as plantas que vivem dentro de cavernas com carência de luz solar?…E as que se acham dentro de rios e mares?… — Vou te dizer: Não temos certeza!…

Na verdade, uma certa dose de incerteza é recorrente na maior parte        das ciências. — Há sempre uma infinidade de variáveis que devemos          levar em conta…antes de qualquer afirmação conclusiva… Tudo isso      para que essa afirmação… afinal… – possa então ser “questionável”.

conjectura de goldbachProvas, Teoremas & Conjecturas

Na matemática, a mais verbalmente explicita das ditas ciências exatas (seja por mérito…ou demérito), nenhuma porção de experiência é suficiente para uma conclusão ‘inteiramente’ válida… sem que todos casos possíveis sejam finalmente esgotados…Porém, a maior parte dos problemas matemáticos, não permite tal possibilidade. A Conjectura de Goldbach por exemplo diz que todo número par maior que 3… é igual à soma de 2 nºs primos.

Já foram verificados milhares deles, mas para que a conjectura vire um teorema é preciso que alguém encontre uma prova… usando argumentos lógicos e válidos, que assegure que qualquer um dos infinitos números pares, pode ser escrito como a soma de 2 números primos. – A proposição é muito simples…mas, até hoje…ninguém conseguiu demonstrá-la.

Essa “prova”… – por meio de uma indução lógica de um acontecimento matemático, que na maioria das vezes … dele temos certeza … sem necessariamente a observação de uma contraprova… – é…de fato, algo tão especial na matemática – que possibilita a seguinte pergunta… – Será a matemática uma ciência exata, consistente, e livre de contradições?

ciencias-exatasUma definição “Exata”…

Segundo o dicionário “Houaiss” da língua Portuguesa a palavra “exato” significa que não contém erro, que possui grande rigor — ou precisão, perfeito…ou irretocável. – Mesmo assim…parece que o termo – pode variar em significado — de acordo com quem conversamos…ou mesmo, com o grau de precisão da afirmação. – A frase… “a matemática é uma ciência exata“… nos leva… com certa frequência… – a crer que a matemática é uma ciência livre de erros, com grande rigor e precisão.

Podemos afirmar que, no sentido epistemológico, obtemos respostas exatas de perguntas matemáticas, às vezes isso é verdade. Contudo, nem sempre a matemática é tão poderosa  quanto podemos imaginar… – Aprendemos (ou, pelo menos…tentamos) que um ‘número irracional’ é um decimal que nunca se repete, e é infinito. A partir desta definição, não há nenhuma maneira de afirmar, ou escrever o valor exato de um número irracional… – não importando quantos dígitos de um número irracional escrevermos, será no máximo uma aproximação real. – Por exemplo…escrevermos π =3,1416 está incorreto… pois a notação correta deveria ser π ≅3,1416. O símbolo ≅ significa  aproximadamente, igual a.

Um outro exemplo que é análogo ao dos números irracionais… é o conceito de limite de um número. Quando escrevemos que \lim _{ n\rightarrow \infty } \frac { 1 }{ n } = 0, ou que o limite de 1/n quando n se aproxima do infinito é zero… – de fato … não há um número grande o bastante, como o infinito… para que 1/n seja igual a zero… – podemos escolher qualquer número – e, ele sempre será um número inversamente pequeno em relação a este… – mas…nunca zero.

Cantor: Conjuntos e Transfinitos

Há certos problemas na matemática… onde a questão é sobre a existência de uma certa quantidade. Um desses, é o dosnúmeros transcendentais… que são números reais, ou complexos, não raíz de qualquer “equação polinomial” com coeficientes (π e e, são exemplos conhecidos destes nºs não algébricos).

A “existência” desses números “transcendentais” ficou exposta, quando Geoge Cantor, muito embora não exibisse um exemplar sequer … provou que o conjunto dos números algébricos é ‘enumerável‘ – o que foi surpreendente… pois tal propriedade implicaria numa quantidade infinitamente maior de números transcendentes… do que algébricos.

De fato, quando Cantor apresentou tal prova, a partir da sua ‘teoria dos conjuntos‘,      ao final do século 19 … houve considerável resistência dos matemáticos de renome da época… – como Poincaré…mas muito disso se deu devido a algumas de suas posições filosóficas. Cantor acreditava que sua “teoria dos números” era “anti-materialista”…e          se assustou ao se ver como um dos poucos matemáticos da época que não se apegava          às “crenças deterministas”.

LorenzAttractorPoincaré, e os “estranhos atratores”

Essa falta de determinismo nos resultados matemáticos…ironicamente… também foi encontrada por Poincaré quando estudava sistemas gravitacionais de três corpos. Ele verificou que tais ‘sistemas gravitacionais’ evoluíam sempre em formas de equilíbrio irregular… Órbitas mútuas tendiam a não serem periódicas, invariavelmente assim, tornando-se complexas e irregulares… Os resultados então obtidos…não condiziam com a harmoniosa… “mecânica clássica”.

Poincaré neste seu trabalho acabou por descobrir a possibilidade da existência de um sistema desordenado, com variáveis ao acaso. Na época, não houve interesse prático    na sua teoria de ‘órbitas irregulares’…por vezes considerada aberração matemática. Talvez seja esse um dos 1ºs resultados que levariam à “Teoria do Caos”. (texto base)

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Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979.
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Uma resposta para Gödel – “Dos Sonhos…e Mecanismos Mentais”

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