Gödel – “Dos Sonhos, e Mecanismos Mentais”

“A Matemática possui não só a verdade…mas também a suprema beleza de uma fria escultura, dona de uma perfeição intrínseca, como só a melhor arte pode mostrar. O verdadeiro espírito de alegria…senso de ser mais que Humano…nela se faz presente, ecoando júbilos…de sua inerente Poesia”. (Bertrand Russel – “Mathematics’ Study”) 

“A arte evoca o mistério sem o qual o mundo não existiria”, René Magritte

“A arte evoca o mistério sem o qual o mundo não existiria”
René Magritte

Durante o século XIX…a matemática;  mãe reconhecida de todas as ciências; começou a voltar sua atenção…a seus próprios fundamentos. Em trabalhos de BooleFrege, MorganPeano, Russell e outros, um grande projeto aos poucos começou a ganhar forma:  ‘a matemática iria analisar… – com todo o rigor, sua própria estrutura’.  O objetivo, era um sistema que fosse inquestionável e seguro; assim, uma “linguagem matemática” seria então desenvolvida com toda simplicidade    e clareza – para dissipar dúvidas… e revelar … as suas próprias verdades.

O objetivo do projeto era o mesmo sonho de muitos pensadores do século XVII — de criar, ou descobrir uma ‘linguagem universal‘, na qual um conjunto de símbolos seria usado, para tentar descrever todo ‘conhecimento humano’… — Sua estrutura seria tão ligada à do universo… – que a própria “linguagem“… – por si só… – poderia ser usada para descobrir verdades… – Sua sintaxe impediria falsidades…e, não mais haveria significados ambíguos.

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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ao propor uma precisa linguagem simbólica — era, de fato…uma grande influência sobre a sistematização da lógica do século XIX — e, assim criou suasintaxe lógico-matemática‘.  Com efeito sempre houve problemas com o sistema geométrico de Euclides (séc.III a.c.)  apesar de sua longevidade…Os 4 primeiros dos 5 axiomas…formadores da ‘geometria plana’…pareciam inquestionáveis… Mas, o 5º axioma (“através de um ponto fora de uma linhaapenas 1 paralela pode ser traçada”), sempre pareceu menos evidente – e por séculos…foram elaboradas inúmeras tentativas     de provar sua ‘dispensabilidade’ derivando-o a partir dos outros 4 axiomas euclidianos.

Afinal, foi reconhecido ser impossível tal comprovação, sendo de fato independente dos outros axiomas… No entanto, esta independência é intrigante, pois se o 5º axioma fosse contrariado…quando, por exemplo alguém afirmasse que ‘através de um ponto fora   de uma linha nenhuma outra paralela pode ser traçada‘, e se este novo axioma fosse adicionado aos 4 primeiros, os resultados pareceriam ‘absurdos’. Alguém poderia, por exemplo – encontrar a soma dos ângulos de um triângulo…maior do que 180 graus.

Desse modo, a descoberta de geometrias não-euclidianas levantou                 sérias questões — sobre como a matemática deveria ser entendida.

Matemáticos tendem a assumir que termos da matemática… como “ponto“, “linha“, ou “número“, se referem, obviamente a objetos de nossa experiência cotidiana; o que, hoje em dia, já não é tão claro assim… Na verdade, reinterpretando estes termos…poder-se-ia criar sistemas completamente diferentes – alguns dos quais, não tendo nada a ver com a própria experiência… – Como Ernest Nagel…e James Newman … muito bem colocaram:

“É reconhecido que a validade de uma associação matemática, em nenhum sentido depende de significados especiais que sejam associados aos seus termos”… Ou seja: O ‘negócio’ da matemática não é a ‘verdade’; mas sim, sua própria derivação lógica.      Mas, se já era difícil…em um campo tão concreto quanto a geometria – determinar      quais instruções poderiam ser comprovadas… – e, quais seriam suas contradições;      quanto mais difícil isso se tornaria… agora – em sistemas cada vez mais abstratos?

David Hilbert

“Não se deve exigir de uma teoria que resolva integralmente, de uma só vez, todas questões pertinentes; basta que ela indique o caminho”. David Hilbert

O avanço abstrato

Toda a matemática, foi se tornando mais abstrata no século XIX … já não estando mais “amarrada” a uma descrição do nosso universo… do seu espaço… ou, de seus números. Também desobrigada da confirmação que a experiência tem para dar…como poderia então se ter certeza de que ela … matemática … não estaria criando contradições…nestes ‘reinos sobrenaturais’?

David Hilbert (1862/1943)… que fez mais do que qualquer outro matemático contemporâneo… — no aperfeiçoamento e simplificação dos “fundamentos axiomáticos” da geometria… acreditava que só este método garantiria a ‘segurança‘ de seus resultados.  Para isso – ele propôs uma formalização radical da matemática – ‘todos os sinais matemáticos seriam esvaziados de significado’… Para evitar confusões como as que surgiram na geometria…demonstrações matemáticas” não seriam mais do que vestígios de tais sinais, arbitrariamente escolhidoscomo “traços“, “hifens” e “letras“. Ademais…’axiomas‘ seriam fragmentos dados pelo sistema…E assim, usando específicas regras mecânicas, tais fragmentos seriam manipulados, para gerar teoremas.  A derivação de um teorema … seria apenas uma sequência de fragmentos, organizados de acordo com suas próprias regras…A Matemática seria um jogo de “mecânica sintática“, onde “sistemas metamatemáticos” também estariam aguardando … serem incluídos.

Como podemos determinar se uma dada sequência é um teorema, e sendo, poderia ser comprovado?…Ou então – dada uma interpretação particular do sistema, haveria contradições nele?…Estas questões eram substanciais.

“the false mirror” – Magritte, 1928

O projeto formalista de Hilbert

Ao tratar sistemas matemáticos como de origem puramente sintática Hilbert chamou atenção às nuances do pensar,  trazendo com isso “rigor abstrato”ao propósito de sua “representação ideal”.

Definindo domínios metamatemáticos’  explicitamente Hilbert logrou assim,  levantar ‘questões fundamentais’ sobre  ‘verdadeedemonstrabilidadeno “espírito” da‘ciência matemática’.

Anteriormente, a mais completa tentativa para consolidar a matemática em um sistema havia sido feita por Bertrand Russell e A. Whiteheadem “Princípios Matemáticos(toda matemática desenvolvida a partir das regras de um cálculo lógico). Para esse caso, Hilbert então perguntou: podemos provar que ele seja ao mesmo tempo consistente e completo, não contenha contradições…e que toda sua afirmação seja verdadeira?

Se uma única aritmética assim formalizada tivesse essas propriedades, este                          seria o caminho para construirmos uma poderosa ‘linguagem matemática’.

Hilbert reconheceu que, ao realizar esta dupla tarefa – de provar tanto a consistência quanto a integridade, não se poderia apelar para métodos matemáticos comuns, pois eram estes próprios ‘métodos‘…cuja legitimidade estava em questão… – Nem qualquer  “evidência” poderia, em ‘metamatemática‘, fazer referência a um número infinito de termos, ou operações… pois tais conjuntos infinitos tinham criado caos e paradoxos na matemática da época… – Respeitando estas restrições…poder-se-ia construir qualquer objeto matemático que se quisesse fazer uso – provando assim sua “existência formal”.

Kurt Gödel

A “Incompletude” de Gödel (1906/1978)                            “O Teorema da Incompletude é provado pela                                elaboração de uma afirmação…não provável”.               

Mas, como então, Gödel conseguiu – derrubar o projeto de Hilbert?… Ele provou que…sob as restrições de Hilbert, não haveria qualquer evidência de coerência interna…e que tais poderosos sistemas matemáticos… nunca seriam completos.      A ironia é que, demonstrando tal resultado, ele permaneceu nas restrições de Hilbert das evidências metamatemáticas”.   

De fato, a técnica por trás dessa construção é quase tão importante quanto o resultado em si. — Gödel começou com o sistema formal do “Principia Mathematica” — mas… como ele próprio observou – poderia ter escolhido qualquer “sistema formal aritmético“… Em tais sistemas, fatos aritméticos familiares, como “1 + 1 = 2“, seriam representados por signos no sistema… – que poderiam ser manipulados – como se não tivessem significado algum.

http://www.leandroteles.com.br/artigos/curiosidades/exercicios-mentais-ginastica-cerebral/

O código de Gödel é bem similar ao padrão de criptogramas. Ao  codificar letras do alfabeto em nºs poderíamos codificar qualquer tipo de mensagem; e, inversamentecom 1 sequência de  nºs codificados… — se decodificáveis, saberíamos então…qual a mensagem.

Tal codificação poderia dividir toda “sequência de nºs” em 2 classesas “traduzíveis” em mensagens, e as que não poderiam ser decodificadas (ou pelos nºs…não corresponderem às letras codificadas, ou por corresponderem, sem fazer sentido). A ‘codificação de Gödel’ também permitiria caracterizar qualquer número; este seria um Número de Gödelse, e somente se pudesse ser traduzido em um teorema...ou demonstração no sistema formal. Por outro lado, dado um número de Gödel, poder-se-ia recuperar qualquer sequência.

Tal procedimento pode parecer ridiculamente fútil… – O código é uma interpretação peculiar do sistema formal, que parece… nada mais do que levar os sinais para ainda      mais longe dos fatos teóricos – expressos em algarismos básicos… como  “1 + 1 = 2“. Porém, como Douglas Hofstadter explica claramente: “A importância da codificação            é que o sistema formal então mapeado representa afirmações sobre números“.

Essa técnica é notável em um sistema a princípio – tão silencioso…quanto a aritmética… – mas, dificilmente seria eficaz em uma “linguagem natural”… onde a dificuldade… surge a partir de seu ‘poder reflexivo‘…Por exemplo, a asserção…esta afirmação é falsa”  é o exemplo clássico. – Sendo falsa a afirmação é verdadeira… por outro lado… se for verdade – então é falsa.  Com seu ‘código formal’, Gödel criou algo semelhante … uma sequência G,  onde… – “G não é demonstrável.”

Com efeito este não é, num sistema formal um mero paradoxo; G é tanto demonstrável, quanto não… Se é demonstrável, então – considerando sua aritmética consistente – G é verdadeira. Mas G diz que G não é demonstrável…por isso, se fosse verdade, seria falso,    e, temos assim uma contradição…G é “não provável”…Mas, isso é exatamente o que diz, por isso é verdadeiro. E assim, temos um exemplo real de uma verdadeira declaração… que não pode ser provada… – Seu sistema aritmético é portanto…”incompleto“. 

Além disso, Gödel demonstrou que…“a aritmética é…’essencialmente’ incompleta, não havendo meios de adicionar complementos ao sistema, como axiomas para completá-lo”.  Este resultado, em nossa era atual – incerta e relativística… pode não ter o mesmo efeito devastador que teve sobre os matemáticos, que há quase 50 anos, acreditavam que, com axiomas e lógica, poder-se-ia chegar, se não à toda verdade filosófica…ao menos, à mais completa “formalização matemática”. Todavia, a diferença entre “demonstrabilidade e “verdade”, tem levado a uma ênfase metafórica ainda mais abrangente. – O Teorema de Gödel tem sido utilizado, por exemplo, como argumento que, o ‘mundo natural’ sempre ilude nossas melhores teorias, e assim: “o conhecimento humano nunca alcançará tudo”.

máquina de turing

‘máquina de Turing’

‘Limitações computacionais                            O ‘Teorema de Gödel’ parece sugerir algo bem preciso sobre as limitações dos computadores.

O teorema também tem sido utilizado como fonte de controvérsias na ciência da computação… pois, como diz Hofstadter em seu livro: “Gödel, Escher, Bach… um entrelaçamento de Gênios Brilhantes”:  “Sistemas formais…com seu vaivém sintático de sinais e sentidos… são origem de toda atividade computacional”…

Em 1936…antes do 1º computador moderno ser construído…Alan Turing (1912-1954) criou uma teoria formal de como um computador poderia funcionar…e um ‘sistema formal’ também se vê    no nível mais elementar das máquinas mais avançadas de hoje. Está no “hardware”, um sistema formal no qual, bits de informações binárias ‘1‘ e ‘0‘ — são…tão mecanicamente manipulados, quanto ‘leis de inferência de Hilbert’ manipulam sequências matemáticas.

Hofstadter, em seu comentário sobre um artigo do filósofo J.R. Lucas, contribuiu para    um animado debate entre filósofos e cientistas da computação… – Lucas havia escrito:    “O teorema de Gödel parece-me provar que a filosofia mecanicista é falsa, isto é, que a ‘mente’…não pode ser explicada – como ‘máquina’…Se a máquina pode ser facilmente programada para criar ‘teoremas’ em certo ‘sistema formal’… – falhará… ao detetar as ‘armadilhas de Gödel‘…latentes nesse sistema – as quais – embora nunca possam ser consideradas como teoremas pela máquina… – ainda assim … podem ser vistas como verdades, pela mente humana. – Por conseguinte…sendo a mente, na verdade…‘viva’,  sempre pode fazer melhor do que quaisquer sistemas formais…mortos e ossificados.

“Os…’poderes da mente’… – excedem os de uma                                      máquina de inferência lógica”. (Michael Polanyi

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Este argumento e outros similares, utilizam a demonstração de Gödel para transcender a mente… — em relação à máquina…Já Hofstadter argumenta de outra forma… – Ele acredita que o que vale à máquina também é válido ao cérebro; pois ambos são sistemas formais‘.      O cérebro possui um… “hardware  básico”, composto de…talvez… 10 bilhões de neurônios…onde, cada  um deles dispara ou não segundo rigorosas leis mecânicas. Mais de 30 anos atrás, em seu clássico “Cibernética”, Norbert Wiener escreveu… – “O caráter de ‘tudo-ou-nada‘ da descarga do neurônio é análogo,  àquela singular escolha a ser feita — quando da definição de 1 dígito na escala binária“.

E…se o nível mais elementar do cérebro é também um sistema formal, então deve estar sujeito às limitações do ‘teorema de Gödel’. Assim…Hofstadter desenvolve convincente argumento matemático de…“por que a mente é tão limitada quanto uma máquina”. No entanto… é um dos temas mais importantes de seu livro que – embora possa haver um sistema formal subjacente a toda atividade mental… – a “mente” … – de alguma forma transcende o “sistema formal” que a suportaE, sendo o sistema subjacente formal tão poderoso…a ponto de se refletir – mesmo nos níveis mais elementares – então… como assim argumenta Hofstadter… — “uma nova dinâmica… acontece no cérebro”.

Como exemplo, Hofstadter compara o cérebro a uma “colônia de formigas”…que na complexa organização do formigueiro exibe sua estratégia e consciência… enquanto          as formigas individuais parecem se identificar aos neurônios… No cérebro, também conjuntos de atividades são formados, e a interpretação se opera quando diferentes    níveis começam a interagir. Nesse sentido, Hofstadter oferece mais alguns detalhes:

“Cada aspecto do pensamento…pode ser visto como                                      uma descrição em alto nível do sistema, que a nível                                    elementar é governado por simples regras formais”.

O método de argumento usado na demonstração de Gödel, se torna mais importante, para Hofstadter, do que seu resultado limitador… O uso da verificação de códigos, e seus mapeamentos; sua mistura de níveis; e a vertiginosa ‘recursividade, tudo parece levar Hofstadter a implicações metafóricas para a lúdica atividade (de per si) da “inteligência”.

Inteligência artificial…                                                                                                      ‘Sem alguma habilidade para se referir à nossa própria atividade                                           mental… e transformá-la… — a “inteligência” seria impossível.’

M.C.Escher _

A mente, escreve Hofstadter, parece agir como as 2 mãos do famoso desenho de Escher, cada uma desenhando a outra. Esse estranho “loop”, afirma ele, pode até ser referência ao próprio processo vital.

Para Hofstadter a mais importante noção encontrada na lógica de Gödel é a “auto-referência…E ele faz dessa ideia o eixo  central de seu texto… numa análise séria, apoiada por – inúmeras ‘alusões lúdicas‘. Esta…é uma das mais ricas e originais de suas “concepções”… – sendo considerada como o processo crucial em nossa mente. Sempre…ao nos corrigirmos…resolvemos “quebra-cabeças“…que nos envolvem em suas interpretações. Hofstadter…em uma de suas metáforas mais ousadas…analisa  a transferência de “informações” em uma célula… e, obtém ‘complexidades formais’ da lógica matemática no cérebro humano.

O DNA, por exemplo… contém, ao mesmo tempo…o programa                        para a atividade da célula; os dados manipulados por enzimas              específicas; e o idioma transcrito pelo RNA… sendo…portanto,                      uma… “cadeia formal“… – interpretada em diferentes níveis.

De fato, todo mecanismo celular…envolvendo a transcrição e tradução do código genético, a partir de uma cadeia do DNA, que indiretamente dirige a sua própria auto-replicação, é mapeado por Hofstadter…em um gráfico elaborado sobre as interpretações e codificações do teorema de Gödel, com sua sequência auto-referente. Com efeito, Hofstadter escolheu o idiossincrático sistema de numeração de Gödel para sua demonstração – e assim…pôde criar uma estreita relação entre esse código… e, o igualmente arbitrário “código genético”, decifrado recentemente… – Dessa maneira então…ele parece querer argumentar… – que:

‘Se a vida pode extrapolar…o substrato químico padrão da célula – e, a consciência emergir de um sensível sistema de neurônios… – então… os computadores também podem alcançar o nível da inteligência humana’. 

E, de forma rudimentar…de fato, sistemas formais elementares do computador já correspondem às complexidades da inteligência… (talvez porque foram projetados também… de forma inteligente).

Sequências básicas binárias de informação são agrupadas em “palavras”…e interpretadas de diversas maneiras…como nºs, endereços  e…comandos.

Linguagens de informática em alto nível – praticamente eliminam o “ruído eletrônico, agrupando em padrões, as transferências mecânicas de ‘bits‘ de informação, se ajustando eventualmente…à experiência cotidiana do programador… – como reconhece Hofstadter:  “Há, um longo caminho a percorrer – mas… eventualmente… – um computador poderá ser programado para se tornar indistinguível da mente humana”. E realmente, este não é um sonho impossível… a ‘inteligência artificial’ já é um importante campo de pesquisa.

Margaret Boden, em seu recente trabalho,Artificial Intelligence and Natural Man’, transmite a enorme emoção, e teimosa perseverança dos pesquisadores da área. Muito já foi alcançado… – há programas para o jogo de damas…aprendizado de línguas, etc. Estes são indícios de uma “inteligência universal”… mas Hofstadter é deveras persuasivo sobre potencialidades da…”Inteligência Artificial”…ao menos em seus insights sobre processos envolvidos na resolução de problemas. – Na verdade… ele não só quer discutir o assunto em suas várias formas (demonstração de Gödel, Inteligência Artificialcélulas, etc.) mas,    criá-lo no texto, como um “modelo literário”, em um grande “ciclo autoreferencial.  

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Jogos lúdicos (Escher & Magritte)

Muito do que está por vir … com efeito, também tem a ver com Escher… Seus desenhos…na maior parte, são truques divertidos explorando auto-referências  níveis de interação, jogos de fundo, etc. intrigantes, instigantes…e às vezes, até inquietantes… ‘truques proposicionais’ de formas de imagem…Como analogia, muitas das ideias do autor, confundem  visões profundas… às mais superficiais, como a figura de fundo de um desenho, ou meta-sistemas regulares/aleatórios

Uma implicação do teorema de Gödel, porém…é que em certos sistemas formais… “figura e fundo não carregam a mesma informação”.

Ao se entregar a uma consideração metafórica do conhecido teorema lógico de Alfred Tarski (1901-1983)… que afirma — “não existe um critério mecânico para determinar         a verdade das afirmações de certos sistemas matemáticos… – incluindo a aritmética”,  Hofstadter diz, do mesmo modo: “não haver procedimento decisório para beleza na arte”sugerindo…para tanto… – alguma “remota ligação” com o Teorema de Tarski.    Contudo, essas referências se tornam um problema sério – pois seu livro se preocupa diretamente com a natureza das relações – outraçados“…entre os sistemas formais.

Hofstadter em suas discussões sobre Gödel… cérebro… computadores… e, células — utiliza vários “dispositivos formais” para ‘conectar‘ os sistemas tratados; textos e ideias reduzem-se     à sintaxe; enquanto mapas/gráficos distinguem variedades de objetos… por sua forma compartilhada. – Tal identificação … acredita Hofstadter, contém significados sugestivos, em uma correspondência…do “sistema auto-referencial” de Gödel – com o código auto-replicador das células.

Formalismos analógicos devem ser preenchidos com interpretações, antes de serem espontaneamente delineados – pois, podem atingir apenas aspectos mais triviais da estrutura. A dificuldade então, não reside em criar ‘paralelos formais’…mas sim, em produzir interpretações de julgamento…não na sintaxe…mas, na semântica.  Hofstadter não tem ilusões sobre isso. Ele discute trocas de significado e limitações  formalísticas muito claramente. — Muito embora, ainda que costume falar sobre as complexidades da linguagem…música…beleza…fica muito mais à vontade ao expor formalismos. É levado, por exemplo, ao proposicional das artes visuais de Escher e Magritte, pela razão destas ‘ilustrarem’ suas noções sobre níveis, e auto-referência.

Estabelecendo correspondências que envolvem ‘recursividade‘… entre a teoria de  Gödel, a célula, e a mente…Hofstadter tenta provar certa transcendência, ao revelar estruturas semelhantes – mostrando que – o que se mantém em um sistema…pode também acontecer em outro. – Para ele, consequências ‘imprevisíveis‘ podem estar          em jogo. — Quando sistemas formais alcançam certo nível de “complexidade”… – a sequência de Gödel pode se reproduzir…a vida surgir… – e a inteligência ser criada.

No entanto… essas correspondências são inconclusas e metafóricas … mais assertivas do que convincentes. Para demonstrar como esses sistemas poderiam alcançar criatividade, Hofstadter teria de, por conta própria, articular uma ‘teoria do significado’. Ele teria que se deslocar…dos sintáticos…estruturais…e formais vínculos…de diferentes valores e, profundidade…para uma consideração puramente…”semântica“…da linguagem… e arte.

O que a tartaruga disse para Aquiles                                                                                Bem, agora, você gostaria de ouvir a estória de uma pista de corridas,                              onde as pessoas imaginam poder chegar ao fim em 2 ou 3 passos…mas,                            que na verdade são um número infinito de distâncias?” (Lewis Carroll)

O paradoxo de “Aquiles e a tartaruga”, proposto por Zenão…por volta de 450 a.c. — retrata uma situação hipotética entre dois personagens, onde… numa corrida entre eles… — Aquiles ‘nunca’ alcançaria a tartaruga – pois, mesmo    a velocidade maior — estaria sempre, se aproximando dela… — Isso ocorre porque… depois de cobrir a distância, que então os separava, terá sempre… mais uma fração … da nova distância entre eles — a ser então percorrida… e assim por diante… — ad infinitum.

O diálogo de Lewis Carroll, que Hofstadter toma como modelo é uma brilhante analogia lógica ao paradoxo de Zenão, de como a tartaruga mostra o que Aquiles nunca resolverá com a ajuda de um silogismo (raciocínio dedutivo)“Se A e B são verdade, então Z deve ser verdadeiro”. A tartaruga não aceita Z, mas há ainda outra proposição D que ela deve aceitar…”Se A, B e C são verdadeiras, então Z deve ser verdadeira”… e assim por diante.

“Aquiles não pode dar um número infinito de saltos para alcançar                   a tartaruga … porque não existem saltos infinitamente pequenos,                   em um espaço…feito de grãos de tamanho finito”. (Carlo Rovelli)

M. Escher – “smaller and smaller”

A questão da ‘regressão infinita contínua’, nos lembra uma questão de Wittgenstein“Por que razão seríamos obrigados…a ter que aceitar, alguma conclusão lógica?”…

Hofstadter responderia que há sempre um ‘substrato inviolável’ na célula… na mente, no computador…‘um sistema formal que é o limite da regressão infinita… fim de toda procura – para se chegar ao conhecimento fundamental’. – Contudo…a princípio não vejo razão … para aceitarmos esta solução. Problemas lógicos de…’regressão infinita’,    não são resolvidos, tendo como referência um “hardware”… – Conforme Hofstadter:

“Você não pode ir em defesa de seus padrões de raciocínio para sempre,                             pois acaba chegando a um ‘ponto crítico’… onde a fé assume o controle”.

Hofstadter, tal como Hilbert, tem fé que a ‘Inteligência Artificial’ terá sucesso; ainda mais, porque acreditava que… para o sucesso do programa ‘A.I‘… não deveria existir obstáculos comparáveis ao que bloqueou Hilbert – entretanto…não há qualquer evidência sobre isso. Hofstadter não minimiza as dificuldades, mas as chances parecem formidáveis. O cérebro em si parece mais um sistema probabilístico…que formal – mais uma nuvem…do que um relógio (usando a metáfora de Popper)…e, por sua interação com o resto do corpo…seria também muito difícil considerá-lo um sistema independente de um “desempenho global”.

Pesquisadores em AI esperam nunca ter de modelar a fisiologia do cérebro; eles se concentram sobre o funcionamento da mente, e tentam imitar suas características. Todavia, mesmo esse simples projeto, já parece enorme. A realização do programa significaria um conjunto finito de instruções fornecendo uma verdadeira estrutura            da mente humana… – uma sequência de proposições – em que se poderia ler uma “gramática universal da criatividade“… — Tal projeto é o ‘sonho arquétipo’              de grande parte da investigação contemporânea… Sua finalidade, não é encontrar          uma ‘linguagem universal’…cuja sintaxe revelasse a “verdade do mundo”… (Gödel      provou ser isso impossível) mas uma interpretação universal, que reduzida a uma      sintaxe subjacente de estruturas básicas…explicasse a complexidade a nossa volta.

Este é o sonho não só da AI… – mas da maior parte da genética contemporânea, linguística e teoria literária avançada – todas                     as quais… – ressaltam a importância da… “auto-referência“. 

photo - Leonid Tishkov

photo – Leonid Tishkov

Livre Tradução (RESUMO) da resenha de Edward Rothstein para o livro de Douglas Hofstadter…”Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de Gênios Brilhantes”        ‘The Dream of Mind and Machine’  (dez/1979) consulta: K. Gödel & D. Hofstatder  ******************************************************************************

Utopias científicas… de Godel a Markov (Mario Novello)                                                  O formalismo com que descrevemos as leis físicas pode mudar em função da natureza humana, porém o objetivo final da ciência é atingir o cerne da lei e obter sua descrição completa. Um objetivo que de tempos em tempos os cientistas pensam ter conseguido, para mais adiante se conscientizarem, de que novos fenômenos, até então, totalmente despercebidos, impõem – na práticanovas alterações em suas convencionais teorias.        A ‘contradição’ geralmente evocada entre ciência e utopianão deveria ser vista como uma verdade isenta de críticas. A partir de exemplos cotidianos ela se consolidou, por inércia, em certos discursos. Afirma-se que é utópico desejar a juventude eterna, bem como que um sonho não termine…Desejos irrealizáveis, por violarem leis da natureza.

É possível…sem embargo – reconhecer utopias mais brandas…aquelas que – mesmo não violando leis naturais, afastam-se da convenção dominante na sociedade, segundo a qual deve-se aceitar uma definição única e universal da realidade. Essas são utopias da ordem humana, entendidas como um ideal de sociedade a ser eventualmente perseguido, e com maior ou menor sucesso, ser realizado. Mas, há também outras formas de…utopia que compreendem configurações organizadas dentro dos cânones científicos…Alguns desses exemplos, embora construídos dentro da ciência, satisfazendo leis físicas convencionais, constituem estruturas consideradas irrealizáveis, imputando-se a elas, de modo errôneo,    o mesmo tratamento atribuído aos processos que violam alguma dessas leis da natureza.

Ao longo do século 20…os físicos construíram modelos teóricos para a interpretação dos fenômenos…que permitem o desabrochar de configurações extraordinárias, inesperadas, algumas até mesmo fantasiosas, impossíveis de serem observadas no cotidiano. Embora organizadas no interior da… prática científica… — estas teorias exibem propriedades tão singulares…tão incomuns… que foram colocadas à margem do discurso convencional da ciência – como se fossem impossibilidades formais – o que… em verdade … elas não são.

Curiosamente, algumas dessas configurações povoam há muito o imaginário popularcomo, por exemplo, a construção formal de              caminhos que levam ao passado, além de complexas formulações representando o universo como um átomo de um universo maior.

Essas formas são entendidas como utopias controladas, isto é…processos admitidos no esquema convencional da ciência… – identificados como exemplos de configurações de difícil realização…que, muito embora descritas no interior de teorias cientificas aceitas, produzem imagens conflitantesnão só com o senso-comum… – como também com o establishment cientifico…Como consequência, elas são colocadas no limbo, à parte das afirmações cientificas usuais. Mas, como a teoria que sustenta tais processos, as aceita totalmente como verdades, tornam-se parte integrante do mundo descrito pela ciência.

A Utopia Moderna (1905) - H. G. Wells

H. G. Wells é conhecido como o pai da ficção científica e escreveu livros que foram exaustivamente adaptados para o cinema devido à sua originalidade na descrição de  utopias ou distopias. Neste livro, lançado originalmente em 1905, dois viajantes ingleses descobrem um mundo alternativo governado como uma utopia pós-moderna. Obra ainda inédita no Brasil e Portugal.

Utopias controladas (Gödel, Tolman, e Markov)

A “teoria da relatividade” de Poincaré e Einstein, a “teoria quântica”… de Schrodinger e Heisenberg, a ‘dinâmica expansionista’ do universo de Friedman e Hoyle, são alguns exemplos conhecidos, e que já fazem parte doimaginário popular, construído a partir da visão autoritária da ciência No interior dessas teorias há processos descritos … que fazem surgir tais estruturas que levam a imaginação a empreender voos tão estranhos quanto os sonhos mais esdrúxulos de Joseph K. São esses exemplos que costumamos denominar ‘utopias controladas’.

Uma característica comum de reação…a essas tais configurações extraordinárias é sua obsolescência pela comunidade científica, bem como a repulsa a considerá-las como temas convencionais…mesmo sendo essas propostas…consequências formais de teorias bem aceitas…De maneira contrária ao que costumava ocorrer no passado, todos aqueles que hoje se dedicam ao exame dessas propostasnão são excomungados…como Galileu…muito menos, colocados em fogueiras como Giordano Bruno.

Nos tempos atuais, na sociedade do espetáculo que vivemos, eles recebem um castigo maior, qual seja: são ostensivamente ignorados pelo establishment. Elimina-se assim, qualquer referência a esses projetos, a não ser em mínimas notas de pé-de-página em alguns poucos textos técnicos. Ou, até associados a fantasias delirantes, apresentadas como configurações heréticas, no limiar de irracionalismosAqui, nos limitaremos a considerar 3 dessas… – ‘utopias controladas’… – que pertencem ao domínio da ‘ação gravitacional’… – descritos pela teoria da “relatividade geral” de Einstein… – a saber:

  • Estrutura causal em geometrias com curvas temporalmente fechadas (Gödel);
  • Ciclos de evolução do universo (Tolman);
  • Extensões analíticas para fora do universo (Markov).

O que essas configurações têm em comum?… Primeiramente podemos afirmar que produzem desconforto formalpois embora se apoiem em conceitos convencionais e teorias bem aceitas, elas tratam de exemplos que povoam a imaginação popular onde então se identificam a processos fantasiosos — como fosse impossível de se tornarem      parte integrante da ciênciamesmo solidamente apoiados em saberes da física atual.  Todavia, antes de tratarmos da descrição desses cenários científicos…um comentário      sobre a estrutura das leis físicas se faz necessário. Desde sempre…cientistas se viram            às voltas com as propriedades da “lei física…que controla os fenômenos da natureza,          e embora sua forma possa variar – segundo o grau analítico de conhecimento obtido,      sua estrutura rígida… inabalável… – determina as configurações possíveis no mundo.

Ao longo do século 20 foi se acumulando evidências de um tipo de variação mais dramático, ao se reconhecer que essas leis não são as mesmas em todo o cosmos,          podendo variar com sua localização espacial e/ou temporal. – Num 1º momento,              tal variabilidade das leis apareceu como uma fantasia especulatória de cientistas renomados…assim como Dirac, Lattes, Hoyle e outros – que podiam se permitir interpretações pouco comum de alguns fenômenos — induzindo à possibilidade,                de tratar leis físicas como variáveis. – Essas análises é bom que se diga, nunca            foram de agrado do“establishment”, mas não eram tratadas com repulsa total.

Aos poucos, no entanto, diversas propriedades mereceram interpretação tão distinta      das convencionais, que a propriedade de variação das leis físicas em distintas regiões        do universo tornou-se importante área de investigação. Alertados dessa dependência cósmica das leis físicas, projetando a natureza histórica das próprias leis da natureza, independentemente de sua… “formulação científica”… podemos então empreender a tarefa de examinar os 3 exemplos de…”utopias controladas”…anteriormente citados:

  • Utopia causal ou a volta ao passado;
  • Utopia Gulliveriana (nosso universo como um átomo de um universo maior)
  • Utopia dos vários ciclos pelos quais o universo passou.
cone de luz CTC (2)

cone de luz para uma CTC

a) Utopia causalou, a volta ao passado  Uma curva temporal fechada (Closed Timelike Curve) é uma rota em loop que se conecta nela mesma…indo à frente, e retornando no tempo. 

O exemplo mais marcante de que propriedades da física local – na Terra… – e suas vizinhanças, podem não ser válidas globalmente nos confins do universo foi apresentado em 1949…pelo matemático Kurt Gödel. – Em uma conferência em homenagem a seu amigo A. Einstein, Gödel apresenta um modelo de Universo — pelo qual, embora o principio causal seja válido em cada ponto desse universo, ele não vale globalmente.

Uma CTC pode se basear num buraco de minhoca no espaço-tempo,          por exemplo, que conecta… – um lugar e uma época no futuro, com          outro ponto… no mesmo lugar… em alguma época no passado.

Localmente, a existência de um limite máximo de propagação de informação identificado com a velocidade da luz permite construir configurações tipo ‘cones’ numa representação espaço-temporal, de tal modo que a luz se propaga sobre esses cones – e, toda e qualquer forma de matéria e energia só pode se propagar no interior deles. Isso significa que, para cada observador no mundo, existe associado um cone no espaço-tempo, que determina a distinção passado-futuro deste observador, definindo assim qualquer “causalidade local”.  Contudo, a força gravitacional atuando sobre fótons – distorce a orientação desses cones.

O resultado mais notável, descrito por Gödel, se refere à possibilidade dessa deformação impedir a veracidade global da sentença…“ao caminhar para o futuro, afasto-me de meu passado”.  Essa sentença que para nós, em nosso cotidiano, é uma verdade sem dúvida, deixa de sê-la…globalmente. Com efeito, Godel mostrou que em certas configurações do campo gravitacional (que não são as de nossa vizinhança terrestre), ao caminhar para o futuro; estaria me aproximando de meu passado. Ou seja, como se a imagem mental do tempo como uma linha reta pudesse ser transformada na imagem mental de um círculo.

Gödel assim, mostrou que a ideia utópica de volta-ao-passado não conflita com a lei física que descreve os processos gravitacionais…Ao mesmo tempo…ele conseguiu pela primeira vez uma demonstração simples e convincente…da razão pela qual não é possível na Terra termos a experiência de — “volta-ao-passado” Porque o campo gravitacional produzido pela Terra…com características diferentes da configuração descoberta por Godel…é fraco.

b) Utopia “Multiverso” (nosso universo como um átomo de um universo maior)

Multiverse

O universo é um sistema fechado?…Sim, é a resposta convencional e óbvia, desde sempre. No entanto, o físico russo M. A. Markov ensinou que pode não ser assim. A demonstração disso … é muito técnica para ser apresentada aqui, contudo uma descrição compactade como Markov a construiué possível. Ela se desenvolve em quatro etapas, todas elas associadas a…processos gravitacionais controlados pela “Teoria da Gravitação” de Einstein.

1º movimento: estudo do campo gravitacional gerado por uma estrela – um corpo compacto em geral… – Na região externa ao corpo tem-se a solução das equações da gravitação da Relatividade Geral… – elaborada por Schwarzschild. – Assintoticamente,        muito longe da estrela, a ação gravitacional evanesce e a geometria passa a ser descrita idealmente pela métrica planasem curvaturado espaço-tempo vazio de Minkowski.

2º movimento: Diferentemente da situação anterior, na região externa desse campo gravitacional constrói-se uma modificação da solução de Schwarzschild, de modo que, muito longe da estrela – a ação gravitacional não desaparece mas se transforma, e a geometria é descrita (mais realista que na configuração anterior)…pela métrica de um universo em evolução como na geometria de Friedman. Mas, e quanto ao seu interior?

3º movimento: ao interior da estrela é associada uma estrutura métrica representada por um universo tipo Friedman em evolução. – Esse interior é então acoplado de modo continuo à solução do exterior da estrela de Schwarzschild… conforme o 1º movimento.

4º movimento: Na estrutura anterior do 3º movimento – a geometria de Friedman se estende para fora, identificada com uma geometria de Schwarzschild, que por sua vez, é continuada noutra geometria, tipificando outro universo do tipo Friedman em evolução.

O resultado dessa complexa sequência de soluções exatas de equações da ‘relatividade      geral’, pode ser visualizado como o interior de um corpo integrando-se solidariamente        a um Universo maior. Essa construção que Markov organizou, pode assim ser descrita como se um grande conjunto de estrelas e galáxias, formando um elemento compacto, estivesse imerso numa configuração maior, constituindo o que chamaríamos…super-universo. Como se nosso universo fosse como um átomo de um universo mais amplo.

E se é assim, poderíamos imaginar ações entre esses átomos-universos de modo a permitir que leis físicas pudessem ser extrapoladas para essas configurações…  Identificado nosso universo como um átomoelemento de um mundo quântico, complexas e extraordinárias configurações então se abririam. – Mas só teríamos suas informações, dentro dessa utopia.

potencial quântico

evolução do universo, com bouncing, sem singularidade

c) Utopia dos “ciclos cósmicos”

Nos últimos anos, após ultrapassar a avalanche midiática que pretendia identificar o chamado ‘big-bang’, um cenário de descrição do Universo em sua fase extremamente concentrada, com o “início-de-tudo”…cosmólogos voltaram a examinar ‘conceitos’ dos anos 1930 e 1940 discorrendo sobre    a possibilidade teórica de ciclos de expansão/colapso‘ do universo.

A ideia original, descrita pelo físico Richard Tolman, examinava a possibilidade de — além da atual fase de expansão do universo, onde o volume espacial total aumenta com o tempo cósmico, ter existido uma fase anterior de contração…na qual esse volume teria diminuído. A dificuldade em aceitar tal configuração esbarrava na impossibilidade de considerar uma continuidade analítica entre as fases de colapso e expansão. A razão é que no momento de passagem de uma fase à outra, a estrutura métrica exibiria uma “singularidade“…fazendo com que toda forma de matéria/energia existente assumisse um valor infinito. Na prática,  isso significaria — que nenhum tipo de informação poderia passar de uma fase para outra. Por essa razão… o cenário proposto por Tolman – foi relegado pela comunidade científica.

Essa dificuldade só foi sanada pela configuração de universos sem singularidades possuindobouncing, isto é, exibindo soluções analíticas onde na fase de colapso gravitacional – o volume espacial do universo teria atingido um…”valor mínimo”, diferente de zero – para em seguida iniciar seu processo atual de expansão…Essa propriedade… – permitiria a passagem de informação… – entre uma fase e outra.

Superada a dificuldade maior do cenário bigbang, esses cenários cósmicos permitiram então o exame de configurações mais sofisticadas e complexas…onde mais de um ciclo “colapso-expansão” teria acontecido. – Novas questões técnicas apareceramas quais        se tornaram matéria…de uma intensa investigação científica – que continua…até hoje.

Para Concluir                                                                                                                              “Na natureza, tudo que não é proibido de acontecer…Acontece”.

“Blue Round”. Paloma Carvalho, 2015

“Blue Round”. Paloma Carvalho, 2015

O que podemos concluir de tais inesperados exemplos pinçados em configurações físicas pouco conhecidas, mas, satisfazendo as ‘leis convencionais’ da ciência? … Cada um deles possui uma versão popular… o qualificando como utópica. Todavia… possuem descrição científica — constituindo processo aceitável,      não contraditório — de um ‘saber científico’.

Chamamos de…”utópicos“…esses exemplos, porque constituem situações…que se afastam    do experimentado em nosso cotidiano, sendo idealizações que preenchem o ‘desejo latente’ que persiste em explodir…as amarras do real.

Voltar fisicamente ao passado, dentro do cenário descrito no espaço-tempo da ciência,    não é impossível de ocorrer em nosso Universo. No entanto, a impossibilidade factual      de concretizar essa viagem em minha experiência pessoal…segue qualificando-o como utópico. Isso porquea utopia, de fato, não está na minha relação com a natureza das      leis físicas, mas sim, na resistência a pensar… para além de uma ação física no mundo.  Contudo, será que o aval da ciência a essas ‘utopias controladas’… mesmo chocando o “senso comum”…é capaz de retirar do utópico, sua própria condição de “irrealizável”?

Podemos comparar essas dificuldades, com situações semelhantes que ocorreram na história recente da física. – Por exemplo, o físico Wolfgang Pauli, há mais de 70 anos, sugeriu a existência de um novo componente do mundo microscópico, uma partícula elementar que chamou “neutrino” (pequeno neutron)… Sua proposta “salvava” leis físicas sólidas, como a “conservação da energia”…Porém, a possibilidade de observar partícula com propriedades tão evasivas, parecia à época (e para seu próprio criador) praticamente impossível. No entanto, nos tempos atuais, o neutrino é observado em inúmeras experiências terrestres e observações astronômicas. Nesse mesmo sentido:  “Como experimentar um buraco negro?”… perguntavam-se os físicos nos anos 1970, quando então, o estudo da evolução de estrelas massivas consolidou a possibilidade          da existência desses fantásticos corpos…heranças de estrelas instáveis…no universo.

Hoje, inúmeros astrônomos tratam a observação de certas configurações localizadas como características convencionais de “buracos negros”… — Será que podemos então esperar que um mesmo destino ocorra com os exemplos, aqui anteriormente citados?

deepfield

Hubble Deep Field (NASA)

Em síntese, ao aceitarmos a extensão do conceito de utopia à ciência da natureza, relacionamos a física, às utopias sociais. Isso porque… a principal componente desse processoque teve sua origem na revolução cosmológica de fins do século 20, nos livra de um viés essencialmente antropológico A ênfase na turbulenta “gestão físicapelo reconhecimento de uma — dependência de suas leis — à “evolução do universo”  indica uma transfiguração em “leis cósmicas”. Do impacto gerado pela – dependência cósmica dessas leis é que surge o papel social…”revolucionário“…da ciência.

Nesse momento devemos retornar a Giordano Bruno, e à sua prefiguração utópica, segundo a qualo cientista ao produzir uma nova leitura do universo, institui uma alternativa à relação do homem com o cosmos…que pode resultar em significativas mudanças na ordem social…E a atividade cosmológica nos tempos atuais…leva à constatação de um caminho semelhante ao sugerido por Bruno, bem diante de nós;        não somente nas ideias que estendem seu território de ação…mas na elaboração de          uma ordem utópica de sociedade – capaz de gerar uma autocrítica transformadora.

O Manifesto Cósmico recentemente tornado público foi o 1º passo                    para uma análise do universo, ultrapassando o tradicional modo                    de interpretar a dicotomia local/global…por complementaridade.

Finalmente, devemos lembrar que a ciência, como toda atividade humana, não está isenta da contaminação política…Isso não é inesperado. O que é menos explicito, até mesmo nas análises metodológicas das atividades dos cientistas — é o reconhecimento de que tal fato, não se restringe a aspectos institucionais — mas aparece… sub-repticiamente… na prática cotidiana, como na orquestração de uma ordem cósmica. – A física permite disfarçar essa relação e seus aspectos irracionais, pois possui uma ação na sociedade, que a isenta desse pecado: a tecnologia que lhe é associada. A cosmologia porém, exibe claramente como se passa… do discurso de natureza cientifica – à uma visão ideologia de mundo. (texto base********************************(texto complementar)*******************************

“Teoremas da Incompletude”… de Gödel                                                                            “Como um sistema matemático não pode provar a sua própria consistência interna, nem ser usado para provar a consistência de outros… – é sempre possível definir proposições que não podem ser testadas em função dos axiomas que definem este sistema… Portanto, sempre haverá declarações formais verdadeiras – que o sistema jamais poderá provar”.

  • Teorema 1: “Se o conjunto axiomático de um sistema formal é ‘consistente‘,       então nele existem teoremas, que não podem ser demonstrados… ou negados”.
  • Teorema 2: “Não existe qualquer teoria, cujo ‘procedimento construtivo‘           seja capaz de demonstrar a sua própria consistência“.

(“incompletude”)…Qualquer “sistema lógico” … de qualquer ‘complexidade’, contém mais proposições verdadeiras    do que pode ser provado… – por seus próprios axiomas…Daí  então resulta:

(consistência interna) que … “sistemas axiomáticos aritméticos”, por exemplo, só podem ser provados… — por outros sistemas axiomáticos.

Paradoxo de Liar — a afirmação… “Esta sentença é falsa!”                                                 é uma proposição indecidível…(tanto falsa quanto verdadeira)

A matemática possui 3 classes de sistemas…a) discretos – associados aos números naturais; b) contínuos – associados aos nºs reais; c) fractais – associados aos sistemas caóticos…(por autossemelhança).

Sistemas Caóticos (não-lineares)

A turbulência em um sistema dissipativo é um movimento caótico induzido a desenvolver certo padrão. Este padrão – que varia para cada fenômeno físico, é denominado “estranho atrator“…Este nome se deve ao fato de tais sistemas                serem atraídos a um destino ‘bem definido’… – assim como “sistemas lineares”              tendem a pontos fixos, ou ciclos. Porém, diferente destes, os ‘atratores’ não são            pontos, ou curvas bem definidas — mas sim…objetos caóticos‘…de natureza (geométrica) fractal… – com ‘dimensões não-inteiras’… Sendo extremamente                sensíveis às condições iniciais…revelam um contínuo de frequências… ao invés                  de frequências aleatórias… similar ao de sistemas não-lineares. (Michel Janos************************************************************************

Uma viagem informal ao Teorema de GÖDEL (Ricardo S. Kubrusly – IM/UFRJ)      “O teorema de Gödel é o mais surpreendente…o mais comentado, e com certeza, o mais incompreendido resultado matemático do século passado…e do que começou a chegar”. 

É interessante observar as semelhanças entre matemática e outros conhecimentos mais, digamos, maleáveis, que este famoso teorema permite estabelecer…É raro ver o cidadão educado curioso a respeito de algum teorema matemático… Nem mesmo o famosíssimoúltimo teorema de Fermat que por mais de 300 anos desafiou talento e engenhosidade    do raciocínio abstrato da humanidade, desperta – a não ser entre os especialistas, tanta curiosidade e suscita tanta fantasia quanto os resultados do teorema da incompletudePretendemos visitar a prova do…”teorema de Gödel numa tentativa de apresentar,      e discutir suas principais ideias e consequências, para a matemática e para a sociedade. 

Três Paradoxos…em análise

A tentativa de diluir a contradição dos…”paradoxospor sentenças matemáticas corretas – nos leva a várias versões do abismoonde o “panorama aconchegante” erigido nos devolve a esperança – por um ‘mundo matemático’ verdadeiro e livre de contradições… — no qual, só…”verdades”…seriam reveladas.

a) paradoxo do barbeiro: Diz-se que em Sevilha havia um barbeiro que na porta de sua casa pendurou uma tabuleta com os dizeres: “Faço a barba de todas e somente das pessoas que não fazem a sua própria barba”A pergunta: “Quem faz a barba do barbeiro?” nos leva ao ciclo auto-contraditório dos paradoxos. – Se o barbeiro faz a própria barba, como ele só faz a barba daqueles que não fazem a própria barba… – então…ele não faz a própria barba, mas neste caso, como ele não faz a própria barba… e como ele faz a barba de todos aqueles que não fazem a própria barba, então ele faz (e não faz)…paradoxalmente, a própria barba.

b) paradoxo de Russell – transporta irrefutavelmente para o campo da lógica formal e da teoria dos conjuntos…o convívio promíscuo do falso e verdadeiro. – Podemos imaginar que todas as coisas que existampertençam a uma – entre duas classes de objetos: as das que contém a si mesmas (como por exemplo a classe das ‘coisas imagináveis’, que em si, é uma coisa imaginável) … e as das que não contém a si mesma (como por exemplo a classe dos vegetais ou dos matemáticos, que em si própria, não é nem vegetal, nem matemático).

Chamando a esta última de “normal” e a primeira de “anormal”, e designando por N o conjunto de todas classes normais, pergunta-se: será N normal?…Bem, se N é normal, então N pertence a si mesma (pois N é o conjunto de todas as classes normais) mas se assim for, pela definição de anormal, N é anormal e então, N não mais pertence a si mesma…e conseqüentemente é. — Ou seja: N é normal…se e somente se N é anormal.        O paradoxo de Russel baseia-se apenas na noção de classe de conjuntos…dentro da precisão da lógica. Aceitando a noção de ‘classe’, ele fica definitivamente estabelecido.

c) paradoxo de Richard elabora a mesma ideia do de Russell, mas traz para dentro do âmbito matemático, a angústia do paradoxo, mapeando a auto-contradição dentro da aritmética, fazendo transportar, inesperada e inexoravelmente – para a estrutura lógico-matemática…o perigo da inconsistência – que é expressa pela existência da ‘contradição’.

Considere uma linguagem (por exemplo, a nossa língua portuguesa) onde as propriedades particulares aos números possam ser formuladas e definidasÉ claro que não poderemos definir tudo, que temos de começar em algum lugar onde haja um prévio entendimento, e que alguns termos da aritmética serão, presumivelmente, tomados como fazendo sentido. A propriedade de ser “número primo“…seria definida como “divisível apenas por si mesmo, e pela unidade“, ou a de ser um número par, como ‘múltiplo de dois‘, etc.  Com cada uma das definições arrumadas em série…numa lista ordenada de propriedades aritméticas, associaremos ao seu 1º elemento o nº 1… ao 2º elemento da lista o nº 2… etc.

Como cada definição ficará associada – a um único…nº inteiro, pode acontecer em certos casos, que o próprio nº associadoa uma certa definição, por acaso, tenha a propriedade descrita por ela própria Por exemplo: se considerarmos que o nº 19 é associado à definição da propriedade de um ‘nº primo‘ (“divisível apenas por si mesmo e pela unidade”) — esta é uma relação verdadeira. Por outro lado, pode acontecero que deve ser inclusive mais provável, o contrário; que o nº associado à definição de uma certa ‘propriedade aritmética’…não possua a propriedade descrita pela definição a que ele se refere. Por exemplo, se o número associado à definição da propriedade de um número par é 35, fica evidente que ele não possui esta propriedade.

Os números que se referem aos casos descritos no segundo exemploserão chamados de Richardianos; assim, um nº será Richardiano se ele não possuir a propriedade aritmética descrita na definição associada a ele…numa lista confeccionada de definições aritméticas. Caso contrário, serão “NÃO Richardianos” isto é, quando possuirem a propriedade por ele designada na lista de definições das propriedades aritméticas. – A propriedade de ser Richardiano passa a ser uma “propriedade aritmética” dos números inteiros…e portanto, também terá a ela associado um número inteiro (N). E assim, repetindo a pergunta do paradoxo de Russell “Será N Richardiano?”…mais uma vez estamos diante da antinomia:

N É Richardiano se e somente se N não é Richardiano.

Aparentemente, conseguimos construir um paradoxo dentro da aritmética…pois toda a argumentação é reduzida a números. Mas a verdade não é bem essa. Ao estabelecermos      as regras para a listagem enumerada das propriedade aritméticas dos números que é usada na construção de Richard, nos comprometemos, pelo menos implicitamente, a listar apenas propriedades aritméticas pertencentes estritamente à matemática, e não à “metamatemática“… – conjunto das afirmações a respeito de sentenças estritamente matemáticas. Poréma propriedade de ser ou não Richardiano não é uma propriedade estritamente aritmética, pois julga a condição de um dado número natural referente ao enunciado de uma lista construída artificialmente. Não é, de modo algum, propriedade inerente ao número. E essa promiscuidade entre matemática e metamatemática…em última análise, possibilita a construção do paradoxo. – Não há trapaças, mas falta rigor.

O Problema da “Consistência”                                                                                                Uma matemática consistente … é livre de paradoxos. O perigo                                                das contradições vai além do que podemos, a priori, imaginar.

Uma matemática consistente é uma matemática…livre de contradições…O que esperamos depois de mais de 6 mil anos de razão, coragem e paciência…é que, ao articular “verdades auto-evidentes” descritas em postulados, não deixemos tais verdades cair em contradição. Para isso então devemos evitar todo tipo de paradoxos. Por outro lado, é possível mostrar que em um sistema lógico formal…onde se é capaz de demonstrar uma afirmação e seu contrário … tudo é dedutível. – Em outras palavras, para nos livrarmos dos paradoxos…e provarmos a consistência de um sistema – é preciso encontrar uma afirmação que não possa ser provada dentro do sistema. – Mas…Qual?…Como?… – O que é isso?

Estamos no final do século 19, o sucesso das matemáticas do século 18 levou à certeza do triunfo absoluto da razão. – A matemática era capaz de seguir…e, até mesmo de prever a natureza. Tamanho era o seu poder, inclusive do ponto de vista prático que possibilitava,    e ainda possibilita ao homem, construir um progresso modelado ao seu capricho… Já do ponto de vista abstrato, com a análise criteriosa do infinito passa a delimitar ambições e expectativas da própria criação…Cabia então agora, a prova final do que já todos tinham, havia tanto tempo, certezade que a matemática era livre de contradições. E logo agora que surgiam como ‘pragas’ gerados talvez pelo abuso e irreverência com que se lidava com o infinito, paradoxos carregados de contradições, de todos os lados…Mas a situação estava sob controle. – Pelo menos… na mente dos melhores cérebros… que trabalhavam unidos e convictos da possibilidade de livrar a matemática de todo e qualquer paradoxo.

A história que vai desta época ao início da década de 1930 é fascinante, e tem sido contada e recontada de maneira brilhante por muitos autores. Mas por ora, iremos direto aos fatos que levaram à prova do “Teorema de Gödel” Neste contexto, verdades e falsidades serão sempre tomadas como relativas aos fundamentos do sistema considerado, e assim, dentro da matemática, relacionar-se-ão aos postulados iniciais … que definem sua axiomatização.

Mesmo assim, um conceito de falso ou verdadeiro poderá ser estabelecido fora do sistema – por valores outros, que não os inerentes à formalização que se analisa. Serão afirmações meta-sistemáticas que…a princípio, não interferirão no sistema — a não ser  quando por ele próprio solicitadas.

princípio do terceiro excluído. Este princípio estabelece que uma afirmação P num sistema lógico formal é “ou verdadeira ou falsa“… não podendo portanto ser “falsa e verdadeira”, nem tão pouco “nem falsa nem verdadeira” . Estas 2 proibições constituem em si mesmas o ‘3º excluído’, delimitando o espaço lógico das matemáticas tradicionais.    A existência dos paradoxos com sua “dinâmica contraditória”… é fruto deste princípio.

relógioEsta afirmação é falsa, ou qualquer um dos nossas antinomias favoritas … só constituem paradoxos…por não ser dada   a possibilidade delas serem…nem falsas, nem verdadeiras, ou de serem ao mesmo tempo, falsas e verdadeiras. No primeiro caso… – se admitíssemos a possibilidade do… “nem falso nem verdadeiro“, os paradoxos perderiam entãoseu caráter contraditório…  remetidos para fora do sistema – que se veria incapaz de decidir sobre a “veracidade”…ou…”falsidade” da afirmação. O preço de nos livrarmos dos paradoxos…seria o reconhecimento, por parte do próprio sistema de seus limites.

Há afirmações geradas dentro do próprio sistema, sobre as quais este não tem competência para opinar Já no 2º caso, admitindo desta vez a possibilidade                    do falso e verdadeiro — incorporaríamos as contradições … dentro do sistema.              Paradoxos não mais seriam sintomas de seu mal funcionamento – todavia…o                sistema não mais decidiria sobre as verdades e falsidades de suas afirmações.

As soluções da lógica.                                                                                                                    Se o paradoxo é o problema que devemos evitar, podemos atacar                                  diretamente na lógica…Basta substituirmos a dupla proibição do                                    princípio do 3º excluído … por uma de suas 2 possíveis negações.

A lógica paraconsistente. Quando substituímos a dupla proibição do princípio do terceiro excluído apenas pela segunda delas, relaxando a proibição de uma afirmação      ser “falsa e verdadeiramas mantendo o impedimento quanto à possibilidade de      uma afirmação vir a ser “nem falsa nem verdadeira” obtemos a chamada Lógica paraconsistente, lugar onde as contradições podem existir e ser articuladas…e, onde      não há o desejo imperativo da consistência. É a lógica possível aos paradoxos e talvez,        a mais adequada para modelar a “complexidade do homem”, aos limites da sua razão.

A lógica paracompleta. Se desta vez mantemos a proibição da possibilidade de ‘falso e verdadeiro’, mas permitindo surgir uma 3ª via “nem falso nem verdadeiro“, obtemos    a ‘lógica paracompleta’, onde não há esperanças de que verdades surjam para dar sentido. Aqui, nem Deus nem Dante existirão pela simples impossibilidade de viver sem eles. Não há provas por contradição pois não há contradições, só indecidíveis. Tal lógica sustenta a uma “matemática intuicionista”…que busca na natureza resposta a suas básicas questões.

O indecidível e a matemática. Embora tentados pela ‘matemática intuicionista’, que nos livraria do problema qualificando-o como não existente, nos livrando desta maneira do sintoma do paradoxo … optamos por uma outra abordagem. – Queremos preservar a potência e a vastidão de resultados que a matemática fundada na teoria cantoriana dos conjuntos nos legou, e resolvemos descobrir os verdadeiros limites deste modelo e desta opção. Paradoxos indicarão o limite dos nossos sistemas se não quisermos contradições.

Há que evitá-los…E como fazê-lo?…Gödel mostra com seus teoremas que a aparição de paradoxos na matemática é inevitável. Para manter a consistência desejada temos de expulsá-los do sistema – reconhecendo as próprias limitações de um sistema…que não saberá julgar…se verdadeiro ou falso…as afirmações veiculadas nos paradoxos…que se tornarão ‘indecidíveis’… e serão responsáveis pela consistência do sistema matemático. 

O preço de consistência é a existência de indecidíveis.

A afirmação indecidível no sistema matemático não pode ser avaliada como falsa ou verdadeira, dentro do próprio sistema, mas só por um agente exterior. Chamaremos          de “Metamatemática” o conjunto das articulações sobre os conceitos da matemática, propriamente ditos. Assim as fórmulas “0=1” ou “5=2+3” pertencem a matemática,        todavia, as afirmações “a equação ‘0=1‘é falsa” ou “a equação ‘5=2+3‘ é verdadeira”    pertencem a metamatemática. Outrossim, na construção do “paradoxo de Richard”,          as propriedades de um dado número inteiroser ou não primo, ou múltiplo de 2, é        uma propriedade de aritmética – e portanto… pertence à matemática – enquanto a propriedade de um dado número ser ou não richardiano… – já não pertence mais à matemática, pois não é uma propriedade própria do número em si, mas sim de sua posição relativa a uma lista artificialmente construída como já antes explicado.

Considerando a afirmação matemática P… “P pode ser (ou não ser) demonstrada”  também pertence a “metamatemática”, muito embora a sua prova ou contraprova        sejam da alçada da matemática. Apenas a “metamatemática” poderá opinar sobre                a verdade ou falsidade de um “indecidível”…opinião sempre baseada numa lógica          mais abrangente e menos restritiva, do que a adotada para o sistema matemático.

“A Prova de Gödel”                                                                                                                      A matemática, dentro dos domínios de sua linguagem imparcial, é o lugar da                        articulação lógica por excelência, tendo sido desenvolvida com tal finalidade;                  sendo justamente esta… – a verdadeira razão do seu… “retumbante sucesso”.

Há uma grande diferença entre um raciocínio cotidiano, usando a linguagem corrente como veículo e um…”raciocínio codificado” – numa linguagem a mais isenta possível, como o que    se dá na ‘matemática’. — Esta diferença não é qualitativa ou quantitativa…do ponto de vista    da ‘expectativa’ do raciocínio. — O lugar para onde a ideia nos leva independe de como a veiculamos sempre quando imparciais, seguimos…regras lógicas…pré estabelecidas. 

A questão não é saber se iremos mais ou menos longe (…certamente menos) com ela, mas criarmos condições de caminharmos com menos medo. Se, e aonde conseguirmos chegar, estaremos confiantes de lá termos chegado, sem sermos conduzidos pelas mãos da ilusão. A matemática não tem o poder imaginado no final do século 19 mas ainda proporciona um caminhar seguro pelos labirintos espirais do conhecimento. Será possível reconstruir a estratégia da conquista dessa consistência dentro da própria matemática? Será possível encontrar… – não obstante premissa anterior, uma afirmação que não possa ser provada dentro desse próprio sistema?…Com efeito, Esta é a epopeia descrita pela prova de Gödel.

Para começar, a ideia básica é a de mapear toda a matemática para dentro da aritmética. Com isso, qualquer questão aritmética fica reduzida à sua contrapartida aritmética. Esta, por sua vez, é escolhida por ser o ramo da matemática onde se sofre menos interferência da intuição e do desejo. Nela, não há desenhos nem analogias com a natureza para guiar    o raciocínio…que passa a se valer apenas de possíveis inserções lógicas. Este trabalho de mapeamento foi resolvido por Hilbert no início deste século…mas Gödel também queria mapear a “metamatemática” para dentro da ‘aritmética’…para assim poder classificar as afirmações acerca dos resultados matemáticos. Com isso, evitaria a tal promiscuidade entre matemática e metamatemática (evidente no paradoxo de Richard), contornando o que restava de trapaça na construção dos paradoxos. – Com essa finalidade… criou uma numeração que leva o seu nome e que, em si… – é um feito de grande engenhosidade.

O número de GödelPara criar uma linguagem estritamente numérica capaz de descrever e articular os resultados matemáticosGödel construiu um sistema que          associa a cada símbolo (usado na escrita matemática) um único número natural.      Passa então a numerar todas as ‘fórmulas’ e ‘considerações metamatemáticas’ que necessita para lidar com os paradoxos. – A numeração segue a seguinte estratégia:

Sinais Número de Gödel Significado
~ 1 não
v 2 ou
-> 3 implica
4 existe
= 5 igual
0 6 zero
s 7 sucessor
( 8 pontuação
) 9 pontuação
, 10 pontuação

Além destes símbolos básicos… — Gödel prossegue a sua numeração,                                      associando os nºs primos maiores que 10 às variáveis independentes:

Variável Número de Gödel
x 11
y 13
z 17

As fórmulas matemáticas seriam numerada… pelos                                                              quadrados dos números primos maiores do que 10:

Fórmulas Número de Gödel
p 11²
q 13²
r 17²

As propriedades dos números também poderiam ser numeradas pelo cubo dos primos maiores que dez…e etc. Com o auxílio desta numeração, Gödel construiu uma maneira única de associar um número a uma sentença matemática…Toda sentença teria um nº único…que depois seria recuperado – e transformado de novo naquela sentença que o originou. Aqui está a utilidade desta numeração…Veja no exemplo da sentença abaixo:  “Existe um x que é o sucessor de y“. ( ∃ x ) ( x = s y ). — Sua numeração nos diz:

( x ) ( x = s y )
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
8 4 11 9 8 11 5 7 13 9

Para solucionar o problema de transformar os diversos números dos diversos símbolos em um único numero que representasse a fórmula completa‘…Gödel teve a ideia de usar cada número como o expoente dos números primos em sequência. Temos então para a fórmula acima o número: x 3e4 x 5e11 x 7e9 x 11e8 x 13e11 x 17e5 x 19e7 x 23e13 x 29e9, que é um número que pode ser calculado, representando unicamente a fórmula ( ∃ x ) ( x = s y ).  De maneira inversa, dado um número…podemos imediatamente descobrir se ele é ou não um número de Gödel, bastando para isso decompô-lo nos seus fatores primos…e verificar se esta decomposição contém todos primos em sequência, de 2 até um certo n, que será o número primo de ordem igual ao nº de símbolos usado na escrita da fórmula matemática.

Por exemplo100 não é um ‘número de Gödel’, pois sua decomposição em fatores primos nos dá: 2 x 2 x 5 x 5 que não contém o númeral 3 quebrando assim a sequência de ‘primos’ necessária que seria 2…3…5. – Já 1500 é um número de Gödel pois sua decomposição em fatores primos é: 2x2x3x5x5x5 = 2² x 3¹ x 5³ que nos fornece (…após consulta à tabela de símbolos) o significado matemático do número 1500, nesse caso… “ou…não…implica“. 

A construção de um indecidívelSeguindo estes passos Gödel consegue numerar (dar um número de Gödel) fórmulas do tipo: -> q…provas matemáticas que podem ser lidas como “a fórmula p é a demonstração da fórmula qEsse novo número conterá na sua decomposição única em ‘fatores primos’ – as respectivas decomposições dos números referentes às fórmulas p e q separadamente, que poderão ser a seguir recuperados para a identificação de p e q e estarão relacionados pelo número … do símbolo -> de implicação.

Se os números de Gödel das fórmulas p e q são x e y respectivamente, podemos criar uma nova fórmula que traduz esta prova...e será representada simbolicamente por Dem(x,y)que deve ser lida do seguinte modo: o conjunto de fórmulas cujo número de Gödel é x…é uma prova da fórmula cujo número de Gödel é y. A fórmula Dem (x,y) terá também seu número de Gödel, bem como ~Dem (x,y), que expressa que a fórmula, ou o conjunto de fórmulas, onde o nº de Gödel x … não é uma prova da fórmula com o número de Gödel y.

Agora a tentativa é a de reproduzir dentro da aritmética o paradoxo de Richard construindo uma sentença matemática ‘auto referente’ e ‘auto excludente’ mas…    evitando as imprecisões nele contidas. – O que significa, construir um paradoxo            na tentativa de provar que algo existe… — que não pode ser provado.

Provando o improvável

A princípio, bastaria a fórmula ∃y (x)~Dem(x,y) que afirma que existe um modelo, cujo nº de Gödel é y tal que para todo (“grupo de fórmulas”)…vale  ~Dem(x,y)… O que significa que… existe uma fórmula que não pode ser provada que é aquilo…que queremos provar.

Na verdade a existência pura e simples desta fórmula não implica a existência de uma afirmação matemática, dentro do sistema, que não possa ser provada…pois a fórmula      ∃y ~Dem(x,y) pode ser falsa – isto é… pode acontecer de não haver formula alguma dentro da matemática com o nº de Gödel igual a y, onde a fórmula (x)~Dem(x,y) continue valendo… — a não ser que ela própria… — seja…”demonstrável”.

Chamaremos de G(y) ao nº de Gödel referente à fórmula (x)~Dem(x,y)… Observe            que o índice y representa uma dependência do número de Gödel associado à formula  (x)~Dem(x,y ), isto é G(y), com a fórmula cujo número de Gödel é igual a y . Deste modo, para cada y teremos um novo número G(y). Gödel foi capaz de mostrar          (e esta é a passagem mais sutil e complicada de sua demonstração) … que a função G        tem um ponto fixo, isto é, que a equação G(y)=y tem solução. Em outras palavras,      que a fórmula cujo número de Gödel é y, e que portanto não pode ser demonstrada é            a própria (x)~Dem(x,y), ou se preferirmos, (x)~Dem[x,G(y)]… – E dessa forma, finalmente conseguimos construir a fórmula: ∃ y (x)~Dem(x,y)… – com y=G(y).

“A fórmula de número de Gödel y (identidade) não pode ser demonstrada”… que é o indecidível desejado. Observe que a fórmula que não pode ser demonstrada é…”que existe uma fórmula que não pode ser demonstrada“. E a isso se chama, uma recursividade!…A seguir analisaremos as conclusões da construção do indecidível:

1-Se a matemática é consistente, sua consistência não pode ser provada dentro da própria matemática. 2-Se a matemática é consistente ela é incompleta…(existem indecidíveis).

Interpretação dos resultados.

O que verificamos na sessão anterior tem consequências ‘impressionantes’ no que se refere, explicitamente, aos básicos fundamentos da matemática.  Segundo o conceito de ‘consistência’:  “Para a matemática ser consistente, ela precisa se livrar de contradições”, isto é…dos “paradoxos internos”, caso contrário…será inconsistente.

Neste ponto precisamos definir o conceito de Completitude. Chamaremos um sistema de ‘completo’ se ele for capaz de provar ou contraprovar qualquer de suas afirmações, isto é, se ele for livre de indecidíveis. Caso contrário, o sistema será ‘incompleto’… Este sistema incompleto, no qual foi detetado um indecidível, pode ser parcialmente completado pela introduçãode fora para dentro, de um novo postulado para o sistema, capaz de decidir sobre a verdade ou falsidade do indecidível em questão…Tal sistema assim ampliado, se verá livre da mazela herdada pelo…surgimento do indecidível — mas não estará livre do aparecimento de novos indecidíveis; e este é um ponto fundamental na ‘prova de Gödel’.

Inicialmente… podemos observar que o que construímos foi uma fórmula que afirma de si mesmo… – “Eu não posso ser provado“, e que assim, tem a estrutura paradoxal de ser verdadeira se e somente se for falsa Vejamos: se (x)~Dem(x,G(y)) for verdadeira, isto  é, demonstrável dentro do sistema…como uma verdade desse sistema – como ela diz de si mesmo que não pode ser demonstrada, será falsa…mas se falsa – isto é… se não puder ser demonstrada como uma verdade dentro/do sistema, pelo princípio do 3º excluído, valerá a sua negação que atesta que ela pode sim, ser demonstrada, e que portanto, é verdadeira.

Estamos em pleno paradoxo, a não ser que o sistema se declare impotente quanto a decidir se a fórmula em questão é verdadeira ou falsa… – “Ou o paradoxoou o indecidível”.

1ª conclusão… “O preço da consistência é a incompletitude“.

Diante de tal ‘incompletitude’, isto é, expulso o paradoxo…transformado em indecidível, e que portanto não pode ser provado dentro do sistema, é possível, mesmo assim, a tomada de uma decisãoUsando ferramentas meta-sistemáticas poderemos ser capazes de julgar como verdadeiro ou falso a afirmação contida na ‘fórmula indecidível’…e, incluí-la dentro do sistema… como verdadeira ou falsa… por meio de um novo postulado, anexado ao sistema. – Assim, através de sua axiomatização, nos livramos do fantasma do indecidível.

postulado euclides

A matemática é cheia de exemplos deste tipo. O famoso  “5º postulado de Euclides” da geometria plana, que afirma a unicidade das paralelas, foi … durante mais de dois mil anos…uma conjectura que deveria ser provada, através de uma geometria que somente utilizasseos 4 primeiros postulados – Com a eclosão das chamadas ‘geometrias não euclidianas‘, numa das passagens mais belas da história da matemática…é comprovada a independência desse resultado A conjectura se torna então um… “indecidível“… sendo consequentemente, reintroduzida na geometria — como o 5º postulado.

Poderíamos nos sentir felizes, pela possibilidade de completamento da matemática…mas, os resultados de Gödel não permitem nem essa alegria momentânea. Se analisarmos com calma… veremos que o surgimento do “indecidível” não depende do sistema considerado, desde que ele seja grande o suficiente para conter a aritmética. A introdução de um novo postulado não o “salva”, muito pelo contrário. Apenas sistemas pequenos poderiam estar livres – tanto de paradoxos como de indecidíveis, e estes sistemas não seriam capazes de investigar os estranhos caminhos do infinito, como faz a matemáticae a aritmética, em particular. Ao concluirmos o sistema, outros indecidíveis surgirão. – Eles são inevitáveis.

2ª conclusão… “se a matemática é consistente (livre de paradoxos)… — então  ela é incompleta”. Em linguagem matemática esta afirmação pode ser traduzida como:

y (x)~Dem(x,y) -> (x)~Dem(x,G(y)),

Já que a primeira parte afirma a consistência do sistema… – enquanto a segunda parte a existência do indecidível, que é equivalente à sua ‘incompletude’. Examinando a fórmula acima concluímos que se pudermos demonstrar a existência de pelo menos uma fórmula impossível de ser demonstrada – estaremos demonstrando também a fórmula específica que assegura a existência de um “indecidível, que… como visto… é indemonstrável.

É a segunda conclusão dos teoremas de Gödel então que surge: Sendo o sistema consistentesua consistência não pode ser demonstrada neste sistema“.

Observe que, caso contrário, poderíamos demonstrar a fórmula ∃ y (x)~Dem(x,y)        implicando na demonstração da fórmula (x)~Dem[xG(y)] que, como vimos, para            se manter a consistência do sistema não pode ser nem provada nem contraprovada.        Como as fórmulas acima referem-se a afirmações da metamatemática; mapeada        dentro da aritmética pela numeração de Gödel – podemos finalmente concluir que:            Se o sistema matemático é consistente – sua consistência não pode ser provada nem por uma metamatemática mapeada de dentro do sistema“.

Mais precisamente, temos: “Se a aritmética é consistente, sua consistência                não pode ser determinada…por qualquer argumento metamatemático                que possa ser representado — dentro de um … formalismo aritmético“.

Esta conclusão surpreendente não anula – no entanto…a possibilidade de que algum argumento metamatemático, fora totalmente do sistema, possa provar a consistência        da aritmética…O que temos é que o sistema em si, ou alguma extensão sua que possa          ser nele mapeado  não é capaz de provar … a sua própria consistência. (texto base)

Referências: A principal fonte de inspiração para estas notas foi o belíssimo texto de E. Nagel e J. R. Newman “Gödel’s Proof” New York University Press New York USA 1958.

Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979.
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Uma resposta para Gödel – “Dos Sonhos, e Mecanismos Mentais”

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