Um breve passeio ao Infinito de Cantor (versão pop)

“Existe depois do finito…um ‘transfinito‘… ou seja, uma escala ilimitada de arranjos que, por natureza… são infinitos… – podendo assim… ser precisamente determinados por números naturalmente bem definidos, e distintos uns dos outros”. (Georg Cantor)

Georg Cantor - matemático russo

Georg Cantor
(1845-1918)

Quantos elementos tem um conjunto infinito?  “Deve-se estabelecer uma “distinção essencial” entre o ilimitado, e o infinito…o 1º pertence à propriedade geométrica de extensão, e o segundo relaciona-se às relações métricas de medida.”  (Bernhard Riemann)

Podemos imaginar … pontos distribuídos sobre uma reta, ou eixo ordenado… Se todos os racionais forem colocados sobre essa reta, será impossível encontrar “buracos” nessa linha – entre dois nºs, por exemplo 1/2 e 2/3 existe um outro número, 7/12; entre 1/2 e 7/12 existe 13/24…e entre estes existe ainda outros,     e assim sucessivamente. Desse modo, parecerá que     os pontos estão unidos entre si. Para Georg Cantor seria umacorrespondência biunívoca“, entre todos pontos da linha…e todos ‘números racionais’.

Este sistema de números… – “racionais” – era aquele que Pitágoras acreditava reger o Universo. No entanto até Pitágoras sabia que este sistema estava incompleto: há pontos   da reta não preenchidos por pontos associados a ‘números racionais‘ – como se verifica através da hipotenusa de um triângulo retângulo… – cujos catetos meçam uma unidade.

teorema pitágoras

O comprimento da hipotenusa é irracional

Com efeito, o valor D, comprimento da hipotenusa, não tem equivalente numérico no ‘sistema racional’. Por isso nem todos pontos da linha são preenchidos; não havendo portanto… entre todos os nºs… e todos os pontos da reta, uma “correspondência biunívoca”.

Para preencher as lacunas na linha, os ‘nºs irracionais’ têm de ser introduzidos no sistema. Mas, com que fundamento, para além da conveniência e da necessidade…é que eles devem ser introduzidos?…E, será que a sua admissão resulta no preenchimento de todos espaços?

Foram estas questões que Cantor se propôs responder…e ao conseguir respondê-las, mudou radicalmente a ideia acerca do que o ‘número’ é.

Infinito real e os Números Transfinitos                                                                           “Tendo a matemática a ver com estruturas que são parte do mundo natural; tão reais quanto os conceitos da física teórica, não surpreende que seja uma ferramenta efetiva     na análise desse nosso mundo material.” (David Gross)                                             

Cantor chegou à noção de ‘infinito real (e não…a uma ideia geométrica de limites, por séculos utilizada pelos matemáticos) sem considerar diretamente os números…mas sim, conjuntos. Para isso, atribuiu tamanhos, que ele chamou cardinalidade aos diversos tipos de conjuntos de infinitos elementos. À estas potências deu o nome de ‘números transfinitos‘.

(aleph) http://alephjournal.wordpress.com/about/

(aleph)

Esses resultados constituíram um primeiro avanço na compreensão do infinito real, mostrando que   as descobertas eram dignas de interesse. Com eles, era possível a construção de uma ‘hierarquia de totalidades infinitas‘.

O Alef

Não satisfeito com a notação para nºs transfinitos, Cantor resolveu então denotá-los… – se utilizando para isso … da primeira letra do alfabeto hebraico: …(alef)… — Mas… por que razão foi escolher ?

Cantor conhecia… a ‘tradição judaica’… – o ‘alfabeto hebraico’, e a “cabala” (tradição mística recebida dos judeus). Todas as primeiras palavras seguintes, em hebraico começam com a letra Ehad (um)… Eloim (Deus)… Ein Sof (infinitude de Deus). – Assim portanto… ℵ representando a natureza infinita e única de Deus, significaria um novo começo à Matemática… – o começo do ‘infinito real‘.

infinito 3d

infinito 3d

 A unidade cardinal

Como havia um grande número de infinitos… cada vez maiores…Cantor levantou a hipótese da sequência de alefsℵ0, ℵ1, ℵ2…, ℵn…; apesar de não saber a colocação exata de cada um.

A princípio, Cantor denotou o menor número transfinito, que é a cardinalidade do conjunto dos números naturais, por ω. Posteriormente, concluiu que o conjunto infinito possui um subconjunto equipotente a N.

Logo, a cardinalidade (quantidade de elementos) de qualquer conjunto infinito é maior ou igual à cardinalidade dos naturais (o)… Quando os elementos de um conjunto podem ser colocados em correspondência biunívoca (bijeção) com o conjunto dos números naturais… – diz-se que ele é contável…ou enumerável, e sua potência de cardinalidade também é ω (ou o). – Por essa razão…a esse conjunto denominamos ‘infinito em ato’.

Aritmética Cardinal                                                                                                          Para provar a “hipótese do continuum” é preciso estabelecer um                                     modo de ordenar os números cardinais transfinitos…ℵo, ℵ1, ℵ2…ℵn.                

Cantor, sempre preocupado em classificar os infinitos…descobriucom assombro…que objetos de dimensões diferentes tinham a mesma ‘ordem de infinito‘. – Em termos de cardinalidade, uma reta e um plano (ou mesmo um espaço de dimensão n) são idênticos.   A respeito disso, ele escreveu em 1877 para Dedekind“Estou vendo, mas não acredito”. 

Em 1874, percebeu entretanto que o conjunto dos números reais  não pode ser posto em bijeção com o dos naturais C(N)… é de tamanho estritamente maior. Por um método simples e elegante, denominado ‘raciocínio diagonal’, Cantor provou então que números reais não são enumeráveis… – chamando a potência daquele conjunto  de contínuo. 

Cantor então, se fazia várias perguntas… – Se haviam vários números transfinitos, seria possível ordená-los?… Haveria um infinito maior que todos?… Ou algum ‘nº transfinito’ entre ω e c ?… – Para tentar responder essas perguntas, Cantor…um teórico meticuloso, desenvolve uma ‘aritmética do infinito‘ – isto é, uma extensão, para os números que lhe servem como medida do infinito…das regras de cálculo que se aplicam aos números naturais… – usados para medir o que é finito…(adição, multiplicação, potenciação, etc.).

E assim… ℵo + 1 = ℵo;  ℵo + n = ℵo;  ℵo + ℵo = ℵo;  ℵo x n = ℵo;  ℵo x ℵo = ℵo; Mas, 2e(ℵo) ≠ ℵo (a “potencialização” muda a ‘cardinalidade’ de um conjunto transfinito) pois, o ato de formar o ‘conjunto potência’ de todos subconjuntos…sempre produz um conjunto cuja cardinalidade é maior que o conjunto original… – e desse modo surge a possibilidade de se ordenar os cardinais transfinitos numa sequência — onde: ℵo > ℵ1 > ℵ2 > ℵn considerando para isso, que… ℵ1 = 2e(ℵo);  ℵ2 = 2e(ℵ1)…  ℵn = 2e(ℵn-1) 

Os cardinais representam o tamanho dos conjuntos… sem levar em conta a possível existência de uma ordenação entre seus elementos.

O outro tipo de nºs infinitos de Cantor …os ‘ordinais‘…servem para assinalar o tamanho do conjunto, em termos de sua posição em uma sequência… – ou seja… — quando seus elementos estão ordenados a partir de uma ordem tal, que todos seus subconjuntos possuem um elemento mínimo … como origem.

A “Hipótese do Continuum“…                                                                                          Sendo alef 0…(ℵo)…’números naturais’… – então: alef 1…(ℵ1)…’números reais’ (c)        

A “Hipótese do Continuum”, como sugerida por Cantor, é definida da seguinte forma: considerando o cardinal do conjunto dos números reais definido por c = 2e(0), também chamado de contínuo, estritamente maior que o cardinal dos números naturais – 0,  a ‘Hipótese do Continuum’ diz … que entre esses 2 tamanhos de conjuntos infinitos não há nenhum outro…  isto é  —  Não existe número cardinal  u  tal que  0 < u < c.  Ou seja…

‘Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros – e, menos elementos do que o conjunto dos nºs reais’.  

Como Cantor designou por 1 o menor cardinal depois de 0,  a hipótese do contínuo para c = 2e(0) é deduzida, generalizando,  e  designando por n+1, o menor cardinal depois de n;  ou seja:  0  <  1  < . . . <  n  <  n+1;  o que significa  que,  a hipótese generalizada do contínuo é a afirmação de que ‘Não‘ existe nº cardinal  tal que…     r < u < r+1; e assim… pela “hipótese do contínuum“, considerar r = r+1…faz 2e(n) = 2e(n+1); o que resulta em u=0, e por consequência, ℵ1=c (limite máximo).

Epistemologia dos Números Reais, e Hipótese do Contínuo                             “Sendo verdade que alguns paradoxos nascem de círculos viciosos… é falso dizer que a definição de um conjunto, em termos de uma totalidade da qual ele faz parte, deva ser necessariamente excluída”  (Kurt Gödel)                

Em conexão com seu trabalho sobre  a  ‘Teoria dos Conjuntos’, Cantor introduziu os números cardinais. A definição é simples, dizemos que 2 conjuntos têm o mesmo número cardinal,  ou mesma cardinalidade,  se existe uma bijeção entre eles.        E, um conjunto em ‘correspondência bijetiva’ com o conjunto (1,2,3,…n)  dos  1ºs  n números naturais…diz-se que tem o número cardinal n. Portanto, a cardinalidade generaliza a noção de “número de elementos”. 

Seja a cardinalidade de todos números naturais… – dizer que um conjunto tem essa cardinalidade significa dizer que seus elementos podem ser enumerados… de tal modo que, cada número natural é usado exatamente uma vez. Tais conjuntos são chamados     de “enumeráveisExemplos são os nºs pares, os ímpares… números racionais, etc. 

No entanto, os ‘números reais’ não são enumeráveis, e é fácil mostrar que eles possuem a mesma cardinalidade que o conjunto de todas infinitas sequências de números naturais…Chamando essa cardinalidade de w*… – a comparação w*>w pode ser validada…levando em conta que… ‘há muito mais pontos contidos dentro de um intervalo contínuo‘…do que pontos em um intervalo…a ser preenchido com coordenadas racionais’.

Por isso, a ‘hipótese do contínuo’ de Cantor, de fato, significa que não há cardinalidade compreendida entre w e w*…posto que, todo subconjunto infinito do contínuum (números reais) possui… – ou, a cardinalidade de elementos do conjunto dos números naturais…ou a do próprio contínuo.

Os trabalhos de Gödel…em 1938, e de Paul Cohen, em 1963 – mostraram que a ‘hipótese do contínuo tem na Matemática…função semelhante à do ‘axioma             das paralelas de Euclides na geometria clássica. — É um axioma que pode ser   juntado aos axiomas da teoria dos conjuntos, para fornecer uma matemática perfeitamente consistente. Porém sua contradição também poderia ser anexada                 a esses axiomas fornecendo – igualmente, uma teoria perfeitamente consistente.            (Lars Garding – “Encontro com a Matemática” – Ed. UNB – pgs.151/152)

A “indecidibilidade” da ‘Hipótese do Contínuum’                                                        “A cardinalidade do contínuo poderá ser deduzida a partir de um conjunto dado de axiomas, ainda que esta seja indecidível com base nos axiomas conhecidos até então, já que alguns novos axiomas sempre se tornam evidentes em uma construção sistemática. De fato, assim como a matemática, o pensamento humano é inesgotável.” (Kurt Gödel)

Em 1938… o matemático austríaco Kurt Gödel (1906-1978) mostrou que… em qualquer sistema haverá proposições que não podem ser provadas (Teorema da Incompletude). Mostrou também que a Hipótese do Continuum é consistente com axiomas da Teoria dos Conjuntos (não produzia contradições)…Gödel, porém, não conseguiu mostrar que a negação da Hipótese do Continuum também era consistente com a Teoria dos Conjuntos.

Em 1963, Paul Cohen (1934-2007) deu o segundo passo… – Mostrou que a Hipótese do Continuum era independente de todos axiomas da “Teoria dos Conjuntos”… podendo ser considerada tanto verdadeira quanto falsa. Verdadeira ou não, a Hipótese do Continuum não poderia ser provada nem refutada no sistema atual. – Ganhou a ‘medalha Fields’ por esse trabalho… em 1966.

Esses 2 resultados, conjuntamente, afirmam que, quem aceita a teoria usual dos conjuntos pode… sem risco de contradições… adotar – tanto           a ‘hipótese do contínuo‘… – quanto sua ‘discreta’ negação.

“Em matemática – a palavra ‘existir’ possui apenas um sentido…que significa ‘isento de contradições’…Assim, se dispomos de um sistema de postulados, e podemos demonstrar que esses postulados não implicam contradições, temos então o direito de considerá-los como a definição de uma das noções que neles aparecem. Se não pudermos demonstrar esse fato, será necessário admiti-lo sem demonstração – e, isso seria então um axioma; de modo que, se desejamos buscar a definição por trás do postulado – acabaremos por encontrar o axioma…por baixo da definição”. *********** (Henri Poincaré) ***********  ******************************   (definições)   ***********************************

N – conjunto dos nºs naturais (enumerável, com cardinalidade unitária igual a 0 ou ω)

– conjunto dos números inteiros (enumerável, com cardinalidade ω)

Q – conjunto dos números racionais  (enumerável, com cardinalidade ω)

I – conjunto dos números irracionais (não enumerável, com cardinalidade c > ω)

R – conjunto dos números reais  (não enumerável, com cardinalidade > ω)

As somas infinitas eram de facto calculadas o que permitiu resolver o paradoxo da dicotomia. O cálculo da soma dos segmentos (1/2+1/4+1/8+...) até ao infinito dava um resultado finito. Essa soma infinta, chamada série, é a melhor evidência de transmutação de infinito (número infinito de termos) em finito (valor finito). A manipulação de somas infinitas tornou-se de uso corrente na matemática. As séries tornam-se um instrumento de expressão finita dos números irracionais algébricos e transcendentes. De facto, o símbolo E (sigma) usado para representar uma soma, permite traduzir, de forma finita, números para os quais não havia qualquer representação, a não ser a representação geométrica ou uma letra, como por exemplo o número pi.

As somas infinitas eram, de fato, calculadas… o que permitiu resolver o paradoxo da dicotomia. –  O cálculo da soma  (1/2+1/4+1/8+…)  até ao infinito… dava um resultado finito.

Essa soma infinita – chamada série… é a melhor evidência de transmutação de infinito (número infinito de termos) em finito (valor finito). A manipulação de somas infinitas tornou-se de uso corrente na matemática…  —  As séries tornam-se um instrumento de expressão finita dos números irracionais algébricos e transcendentes. O símbolo sigma, usado para representar uma soma, permite traduzir…de forma finita, números para os quais não havia qualquer representação a não ser a representação geométrica, ou uma letra, como por exemplo o número pi.

texto base: ‘Um breve passeio ao Infinito Real de Cantor’/Maria Gorete Andrade/UNESP  consulta: ‘Paradoxos do Infinito’ (UFRGS) # ‘Cantor /seminário‘… Andréia Bento / Univ. Lisboa # ‘Transmutações do Infinito’…Isabel Serra / Univ. Lisboa ## ‘Georg Cantor’ ## Números Transfinitos (Christian & Karyn Pinedo)#Cardinais Transfinitos (von Rückert) >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 

Breve história do infinito (introdução)                                                                                     “O que supera tudo que é finito e transfinito… – é a unidade simples – completamente individual, em que tudo está incluído…inclusive o incompreensível absoluto.” (Cantor)

wormhole

Se perguntarmos a qualquer pessoa pelo significado do infinito — encontraremos, normalmente… respostas relacionadas à religião e metafísica. Porém, desde que a ‘filosofia materialista’ surgiu … na antiga Grécia…o problema filosófico do infinito         foi definido como monopólio religioso –         e a partir de então, através dos séculos a ciência vem tropeçando no infinito…não obstante as tentativas, de daí expurgá-lo.

A obstinada resistência a incorporar o infinito ao nosso entendimento do universo … tem a ver com o senso comum – cuja expressão elaborada é a lógica formal — pelo fato de que na vida diária e cotidiana de ‘seres humanos’ — nos relacionamos com objetos e fatos que têm um princípio, e um fim no espaço e no tempo — reconhecemos objetos por serem finitos, e discerníveis em relação a outros – aprendemos a contar começando da unidade… sabemos que não podemos dividir um objeto sem que este — em algum momento … não se perca de nossa vista — sabemos que a nossa vida tem um começo e um fim…  —  mas, a experiência cotidiana tende a omitir o fato de que todo fim é relativo… em uma cadeia infinita de fatos que se relacionam… – e que, por isso, não existe princípio nem fim absolutos.

Naturalmente, cada fenômeno visto de maneira isolada tem um princípio e fim, mas como parte de um universo interconectado sem princípio nem fim. Considerando na natureza a existência de uma inter-relação universal — o infinito retorna à ciência, tornando-se um conceito elementar sem o qual… o cálculo, a física quântica e Teoria do Caos não funcionariam. (texto base)  ***********************************************************************

Trechos do livro “O Mistério do Alef” de Amir Aczel (Brandeis University – USA)

‘Um conjunto infinito contém o conjunto vazio’… Guiseppe Peano definiu os números começando com o ‘Nada’, e o zero como ‘conjunto vazio’… – e determinou o número 1 como o conjunto que contém o “conjunto vazio”. – O número 2, a seguir, representa o conjunto que contém tanto o conjunto vazio, quanto o próprio conjunto que contém o conjunto vazio; e assim por diante…

Portanto, para Peano, a infinitude dos números começa com o ‘absolutamente vazio’. 

Apesar dos nºs possuírem uma imanente realidade intra-subjetiva…na qual os infinitos elevados (alefs) existem; o contínuum é real, e a realidade física depende dos princípios matemáticos…com todas as propriedades numéricas refletidas em seus vários aspectos;     a matemática, em si, não precisa do mundo físico para justificar sua existência… – bem como os infinitos níveis de infinitos (nºs transfinitos) têm significado próprio. (Cantor) *********************************************************************************

“A principal questão dos ‘fundamentos da matemática‘ nos últimos anos, se refere à legitimidade de certos métodos de prova — devido à ausência de algum padrão absoluto com o qual possa ser comparada. As grandes revelações no setor não ocorrem na forma de segredos descobertos, nem verdades atemporais preexistentes, mas sim ‘construções’; sendo que, aquilo que é construído é um simbolismo, não uma proposição. E a força viva do simbolismo é fonte daquela introspecção matemática, conhecida como intuição.”  *********************(R. Goodstein – ‘Constructive Formalism’)**********************

caminho-para-o-infinito

“Não existe nada dentro das coisas, além do infinito que as contém.” (Georg Cantor)

‘Infinitos padrões (William Blake)

“Ver o mundo num grão de areia,         E o Paraíso numa flor selvagem…

Agarrar o infinito na palma da mão,     E a Eternidade numa hora.”

(genial a poesia de Blake; a visão do infinito gerando limites…que geram padrões…que geram ciência e saber; que, por sua vez … fazem do paraíso incomensurável, realidade palpável)

Não ficamos só na pergunta ontológica “o que é que é?”…Vamos além…Queremos saber   “o que é que pode ser?”. – O ser…quando confrontado ao poder, dá a saber aquilo que a Matemática chama de limite… O limite, na matemática, é muitas vezes representado de forma tendencial – e a tendência é uma espécie de “padrão” – porque ele… o limite, é o espaço entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno. – E o infinito é um dos grandes problemas da ciência e da filosofia.

Alguns professores de matemática do primário, quando têm dificuldade em explicar aos alunos o que é o infinito, dizem logo que “é um número muito grande, o maior de todos”.   É uma definição errônea…mas dá o que pensar – uma vez que, olhando filosoficamente para o infinito, não concebemos nada além de algo projetado para além da contagem, e   da medição… – para além da realidade contável … tão concreta … tão fácil de controlar.

A matemática já foi definida como a ciência que estuda os padrões (patterns). – Como é dedutiva, parte de um padrão universal para validar uma realidade particular. Pitágoras não fez pesquisa de campo para ver se a sua regra – que na verdade nem era dele; ele só ganhou a fama… – era válida para todos os triângulos retângulos.  A dedução pressupõe certo platonismo – uma abstração que formaliza a realidade.

Isso pode parecer muito leibniziano, mas a matemática, que é a linguagem das ciências, a linguagem da física…é – sobretudo quando trata do infinito, uma seta que aponta para a metafísica.

Até mesmo nas ciências indutivo-empíricas, que exploram a experiência dos sentidos, há incursão da metafísica… As ‘metanarrativas‘ são consequência da necessária e inevitável tendência à padronização da percepção…uma característica orgânica do cérebro humano.

sol

A ‘experiência da visão’  —  por exemplo… outorga certa padronização, de modo que … — antes de ver uma coisa, você já pode dizer como ela é…  —  É claro que pode não descrever exatamente…Se lhe digo, descreva o Sol! Você conseguirá fazer isso sem ter necessariamente que ver o Sol, porque já tem uma imagem, uma referência padrão.

De certa forma… a ‘padronização‘ que acontece com a visão também ocorre com o pensamento – e, é daí que podemos inferir certo fisiologismo nas metanarrativas, ou seja, nas narrativas que exploram padrões…formas platônicas, modelos – tal como na matemática.

As metanarrativas como grandes modelos explicativos da existência do mundo, partindo da suposição de causas maiores – ‘entidades metafísicas’ – foram seriamente resvaladas por Nietzsche – o filósofo mais revolucionário de todos os tempos…com o seu ‘Deus está morto’. Porém, as metanarrativas, no sentido que a própria etimologia da palavra sugere, emergem o tempo todo.

Ao que parece…a ciência é inevitavelmente confrontada com a metafísica quando se entra no terreno das variáveis da percepção; e quando se olha para o infinito…”esse colosso sempre à espreita”… ‘Imperativo Científico’  *********************************************************************

Infinito, esse troço que não acaba (30 jun 2006)                                                                Ninguém realmente sabe o que é o infinito… Ele incomoda muita gente,                           entre físicos e matemáticos, mas é fundamental para entender o mundo.

hqdefaultOcorre que há uma diferença crucial entre o muito grande, que é finito…e o “verdadeiro” infinito – aquele que de fato não é só muito grande… – mas simplesmente nunca acaba.

Ao longo da história…a ideia que temos do ‘infinito’ muitas vezes parece incompatível com a realidade. Mesmo entre aqueles que costumam explorar “conceitos abstratos” – normalmente inapreensíveis pelos sentidos humanos, falar do infinito durante muito tempo foi tabu… – uma daquelas coisas como dividir um número por zero… — o que é matematicamente ‘proibido’… — e ‘ponto final’.

O infinito só entrou realmente na rol dos matemáticos no final do século 19, com a obra de um sujeito que estava bem à frente de seu tempo … chamado Georg Cantor. Durante 10 anos, entre 1874 e 1884, esse russo naturalizado alemão conseguiu produzir uma extensa obra… — sobre…”séries infinitas”.  

O que propunha, era a existência de números transfinitos – ou seja… a noção de que os conjuntos infinitos podiam ter tamanhos diferentes, serem uns maiores ou menores que os outros…Como?… Imagine uma árvore com galhos infinitos, em que cada galho dá origem a outros 2, indo direto até a infinidade…Agora, imagine-se subindo nessa árvore, escolhendo a cada momento uma bifurcação. – Logo fica claro…que você subirá por toda a eternidade, porque o seu caminho escolhido tem infinitos galhos…Por outro lado – argumenta Cantor, há um número igualmente infinito de ‘caminhos alternativos’ … sendo todos eles infinitos.

O conjunto de todos os caminhos possíveis é infinito, mas como inclui um caminho infinito e outros mais… é maior que o conjunto de galhos de um único caminho infinito.

Claro, quando se fala em infinito, a noção é abstrata. Um exemplo dessas brincadeiras é a famigerada divisão por zero. — Sabe-se que, numa fração, mantendo-se sempre o mesmo numerador (o número acima), quanto menor o denominador (o número abaixo), maior o resultado…Por exemplo: 10/20 é menor que 10/2, que é menor que 10/0,2. – O primeiro equivale a 0,5, o segundo, a 5, e o terceiro, a 50.

O que aconteceria então, se o denominador tendesse a um nº infinitamente pequeno?… Fácil: o resultado seria infinitamente grande. Como o nº mais próxima do infinitamente pequeno é o zero, qualquer número dividido por zero daria infinito, certo?…  —  Errado. Para os matemáticos, essa operação tem um resultado ‘indeterminado’… – Zero ainda é diferente de infinitamente pequeno, por mais próximos que estejam.

O truque do infinitamente pequeno pode ajuda a resolver problemas matemáticos… – mas não contorna a ‘proibição’ da divisão por zero. Agora… – se o assunto é a física…fica ainda muito mais difícil achar         que o infinito vai resolver problemas… – em vez de criá-los…

infinitoConfusão sem fim

A despeito da ‘célebre frase’ de Galileu Galilei, segundo a qual as leis da natureza são escritas na linguagem da matemática, os físicos sabem que nem sempre escrever… matematicamente, equações consistentes tem a ver com realidade.

Por exemplo… – é possível fazer modelos de um Universo com 48 dimensões, se assim o quisermos, e no entanto não há razão alguma para crer (algumas para duvidar) que algo assim realmente exista…Algumas vezes a matemática diz coisas que não estão no mundo real.

Essa é a diferença entre físicos e matemáticos. Uns estão preocupados com o que existe, e outros com o que pode ser expresso com números e equações… — independentemente de comprovações práticas. O infinito já adquiriu um status entre os matemáticos, mas ainda não conseguiu ganhar os físicos. Por quê? ‘Simples’, diz Mário Novello, físico relativista e cosmólogo do CBPF (Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas)… situado no Rio de Janeiro:

“Toda observação se concretiza em uma medida, que,                      certamente…por ser mensurável… – deve ser finita.”

Não só pela intuição…mas sobretudo pela prática, os físicos aprenderam que quando as equações de suas teorias começam a indicar coisas infinitas, há algo de errado com elas; conforme explica Paul Steinhardt… – físico da “Universidade de Princeton” – nos EUA.

“Existem exemplos famosos…A teoria usual trata o ar como um fluido, mas se você tem uma ‘onda de choque’, aquela teoria prevê um aumento infinito de energia e densidade. Nós sabemos que isso acontece porque a teoria deixou algo de fora – o ar é na verdade feito de átomos indivisíveis, e quando incluímos esse fato numa teoria aperfeiçoada…a infinidade vai embora. – Então, a descrição fluida do ar é boa para muitos propósitos, mas, quando a infinidade aparece, você precisa de uma teoria melhor.”

A coisa é tão grave… – que às vezes os físicos promovem “roubalheirasmatemáticas para solucionar suas crises com o infinito… Exemplo clássico: a teoria que é usada para explicar como elétrons e fótons trocam figurinhas…chamada ‘eletrodinâmica quântica’. – Previsões “arredondadas” feitas com ela batiam com a realidade, mas eram pouco precisas. E se você tentasse fazer os cálculos exatos, com todas as variáveis bonitinhas, aparecia um monte de infinitos na equação. Que fazer?

Essa foi a deixa para os físicos americanos Julian Schwinger e Richard Feynman criarem, em 1948, o truque da “renormalização”. – A técnica consiste em calcular interações entre fótons e elétrons, retirando das contas resultados infinitos… Utilizando tal procedimento “sobrenatural”, eles facilitaram a ‘eletrodinâmica quântica’…obtendo previsões com uma precisão de uma parte em 10 bilhões. Mas o único problema é que Feynman e Schwinger trapacearam. Matematicamente, a técnica é questionável…como dizia o físico Paul Dirac:

“Isso simplesmente não é matemática sensata. Em matemática sensata se despreza uma quantidade quando ela é pequena – e não porque é infinitamente grande e indesejável!”

Mas funciona… e é isso que importa para a maior parte dos físicos… – Se uma teoria tem sucesso em prever fenômenos naturais, ela é considerada eficiente… — independentemente de seu grau de consistência matemática.

A fronteira da infinitude

Apesar disso, nem todos os casos que lidaram com a infinitude tiveram um final feliz. Hoje os físicos se debatem com um grande problema… — Como fazer para explicar o ‘surgimento’ do Universo pelo bom e velho big-bang?

A “relatividade geral” de Einstein… sugere que o início de tudo – assim como o centro dos ‘buracos negros’,     é o que se chama tecnicamente, de uma “singularidade”… Uma região em que a densidade de matéria e energia é… infinita. Trata-se de uma forma bonita de dizer que lá… as ‘leis da física’, tais quais as conhecemos, simplesmente não funcionam… – E, sobre isso… Steinhardt tenta explicar dessa maneira:

“No ‘big-bang’ acontece a aparição de temperatura e energia infinitas. E quando isso acontece em um sistema … nossas leis e equações físicas não servem para nos dizer o que pode ocorrer antes, ou depois do fenômeno”.

Considere, por exemplo, um princípio-chave da física… – a “conservação da energia“. Somando toda a energia antes e depois de um evento, elas precisam ser iguais. Esse é um princípio poderoso…Ajuda engenheiros e cientistas em geral a planejar reações químicas, calcular o rendimento de carros… e até construir geladeiras. Ter certeza de que a energia não desaparece, só se transforma, dá uma baita tranquilidade e poder de cálculo. Mas só funciona se a energia total for finita.

Já a teoria do big- bang afirma que o Universo começou com uma partícula infinitamente pequena que guardava uma quantidade infinitamente grande de energia. Em casos assim, adicionar ou subtrair qualquer quantidade finita ainda dá infinito. – Não há limitações. E não é só um problema de não se conseguir fazer previsões. – Como não é todo dia em que acontece uma ‘situação física’, em que se pode adicionar ou subtrair tanta energia quanto quiser – é tratada como fisicamente impossível… A infinidade que surge no centro de um ‘buraco negro’ ou no detonar do ‘big-bang’ é vista como uma quebra no entendimento da física… – desde a ‘mecânica newtoniana’… até a ‘relatividade geral’ – criada por Einstein.

Sem nos livrarmos desse infinito…jamais entenderemos realmente como o universo começou… Mas os físicos ainda não perderam as esperanças; como diz Steinhardt…

“A teoria de cordas pode ser a teoria aperfeiçoada que procuramos. Sabemos que ela se livra de muitas das “infinidades” que aparecem             na teoria de campo quântico, mas tudo ainda precisa ser provado”.

olhos da galáxiaO conceito de infinito

Talvez o único contexto em que os físicos não se sintam tão desconfortáveis ao falar do infinito… seja o comprimento do Universo. Até onde vai o universo? Ele é finito ou infinito?…Todos dados observáveis — indicam que ele se estende numa linha reta para qualquer direção que se olhe; ou seja, seria infinito. Mas, há uma pegadinha aí: a palavra ‘observáveis’. Se você chamar um físico,   e perguntar se “o universo é finito ou infinito?”, ele deverá responder, honestamente: “Não sei”.

A razão pela qual os cientistas até aceitam um Universo com dimensões espaciais     infinitas é que, na verdade, isso não faz a menor diferença…e Novello argumenta:

“A infinitude é descartada, no sentido observacional, graças à limitação da velocidade da luz, que faz todo cenário cosmológico possuir um horizonte, do qual, o que está além, não é observável nem afeta as medidas. – Aí, portanto… essa infinitude não traz problemas.”

Ou seja, tudo o que podemos dizer a respeito da geografia de grande escala do Universo, é que ela se estende por todas as direções de forma mais ou menos plana até onde podemos enxergar. O nosso horizonte de observação é limitado pela velocidade da luz (que, aleluia!, é finita)… – Como o Universo tem uns 14 bilhões de anos, desde o big-bang, a luz que teve tempo de chegar até nós só pode ter vindo, no máximo…de uma distância de 14 bilhões de anos-luz… – Ou seja…o que existe além disso está fora do nosso “universo observável“.

O interessante é que essa ideia não é muito diferente de um buraco negro, que também possui um chamado “horizonte de eventos”… além do qual não se pode enxergar nada. Talvez a situação de um ‘buraco negro’… – objeto tão compactado e denso que nada pode escapar dele…nem a luz – seja uma ótima analogia para o nosso Universo. – E nesse caso, nosso Universo estaria dentro de um deles!

Há quem especule que o surgimento de buracos negros dê origem a universos bebês…cada qual com seu próprio conjunto de leis físicas, suas próprias galáxias, estrelas, planetas, e… por que não dizer?… – pessoas. Especula-se também que a natureza estranha da mecânica quântica – em que nada acontece com certeza… – mas tudo tem alguma probabilidade de acontecer – aponte na direção da existência de infinitos ‘universos paralelos, cada um ligeiramente diferente do outro, representando todas as combinações probabilísticas para cada uma das partículas existentes no Cosmos.

Caso isso seja verdade, e por ora em razão das dificuldades de comprovação experimental, está mais perto de uma especulação metafísica do que de qualquer outra coisa…chegamos à conclusão de que existem infindáveis versões de você espalhadas por infinitos universos lá fora, apenas ligeiramente diferentes umas das outras… — Mas todas, certamente com a mesma dificuldade para compreender que diabos vem a ser essa coisa misteriosa e contra-intuitiva que tanto nos intriga quando vemos o céu — ou tentamos dividir um nº por zero.

“Dúvidas ad infinitum” (7 atormentantes questões sobre o infinito…)

1. Todo infinito tem o mesmo tamanho?

Acredite se quiser… Não. O matemático George Cantor mostrou que há grupos infinitos maiores que outros. São os ‘números transfinitos‘. – Ao menor deles, Cantor nomeou “alef” zero, ao seguinte, “alef” um…e assim por diante…Por exemplo… – o conjunto dos “números naturais” (1,2,3,4…) é infinito… O dos nºs reais também… Mas, se colocarmos seus elementos lado a lado… os reais (com frações… etc.) terá mais elementos.

2. Um espelho diante do outro mostra o infinito?

Essa é outra situação em que a teoria e a prática divergem…Matematicamente, a luz seria refletida infinitas vezes, produzindo infinitas imagens dos espelhos. Ocorre que o próprio comprimento de onda da luz é finito, então há um limite para o tamanho das coisas que a luz pode iluminar… – Se fosse possível dar um “zoom” absurdo na imagem, chegaria um ponto em que a luz não teria como continuar produzindo reflexos adicionais.

3. Quanto é infinito vezes infinito?

Infinito vezes infinito é igual a infinito. Embora existam conjuntos infinitos maiores ou menores (lembre-se do conceito de ‘números transfinitos’ de Cantor), sempre que você multiplicar um infinito desses por outro… o resultado será infinito. Mais ainda, se você multiplicar infinito por um nº finito… o resultado será ainda assim tão infinito, quanto     de costume. 

4. O infinito pode ser dividido?

Sem problemas. De um conjunto infinito dá para tirar uma infinidade de conjuntos finitos, e até levar conjuntos que sejam eles próprios infinitos. E mais… ainda que você leve partes dele embora, ele seguirá infinito… Imagine um hotel com infinitos quartos, mas que esteja lotado. – Se o gerente precisar arrumar um lugar para um recém-chegado, basta empurrar todos os ocupantes um quarto para frente. Assim, a suíte 1 ficará disponível. E, no infinito, sempre cabe mais um.

5. Existe diferença entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno?

Sim, e é uma diferença praticamente infinita… O infinitamente grande tende ao infinito, enquanto o infinitamente pequeno tende a zero… – embora ambos sejam infinitamente imensuráveis. Matematicamente, o primeiro é simplesmente infinito, e o segundo seria uma unidade dividida por infinito. – Um tratamento possível para coisas infinitamente pequenas foi descoberto com o “cálculo infinitesimal“… por Newton & Leibniz… – Já o tratamento de números infinitamente grandes … ganhou força depois de Georg Cantor.

6. Afinal de contas, o que é o infinito?

Para o matemático Georg Cantor… que foi o ás das infinitudes, um grupo de números infinitos é tal que seus elementos podem ser pareados com alguma parte de si mesmo.   Por exemplo, o conjunto de todos os números inteiros pode ser posto lado a lado com     seu subconjunto composto apenas por números pares… Ambos se correspondem “ad infinitum“.

7. Uma reta tem mesmo infinitos pontos?

Na teoria matemática, sim…Na prática, não. Os físicos estão cada vez mais convencidos de que todas as unidades da natureza são compostas de ‘partículas indivisíveis’… de tamanho mínimo. Essa é a base da mecânica quântica, e hoje a maioria dos cientistas desconfia que até mesmo o espaço e o tempo possuem unidades mínimas … ‘indivisíveis. (texto base)

(Sugestão de leitura: “Uma Breve História do Infinito”, Richard Morris, Jorge Zahar, 1997)

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Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979... (s/ diploma)
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Uma resposta para Um breve passeio ao Infinito de Cantor (versão pop)

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