Um breve passeio ao Infinito de Cantor (versão pop)

“Existe, depois do finito — um ‘transfinito — ou seja… uma escala ilimitada de modos determinados que – por natureza – são infinitos… e no entanto, podem ser definidos de modo preciso, tal como o finito, por nºs bem determinados, e distintos uns dos outros.” (Georg Cantor)

Georg Cantor - matemático russo

Georg Cantor
(1845-1918)

Quantos elementos tem um conjunto infinito?  “Deve-se estabelecer uma  ‘distinção essencial’  entre o ilimitado, e o infinito – um pertence à propriedade geométrica de extensão  —  e o outro  —  às  relações métricas de medida.”   (Bernhard Riemann)

– Podemos imaginar pontos distribuídos sobre uma reta, ou eixo ordenado… Se todos os racionais forem colocados sobre essa reta, será impossível encontrar “buracos” nessa linha — entre dois nºs, por exemplo 1/2 e 2/3, existe um outro número, 7/12; entre 1/2 e 7/12 existe 13/24… e entre estes existe ainda outros,   e assim, sucessivamente…

Isto é, parecerá que os pontos estão unidos entre si.

Na terminologia de Georg Cantor… existe uma correspondência biunívoca entre todos pontos da linha, e todos números racionais.

Este sistema de números   —  ‘racionais‘  —  era aquele que Pitágoras acreditava reger o Universo. No entanto, até Pitágoras sabia que este sistema estava incompleto: há pontos da reta que não são preenchidos por pontos associados a números racionais – como se pode verificar através da hipotenusa de um triângulo retângulo…cujos catetos meçam uma unidade.

teorema pitágoras

O valor D, dado pelo comprimento da hipotenusa, não tem equivalente numérico no sistema racional de números…Portanto, nem todos pontos da linha estão efetivamente preenchidos – e assim, não há uma correspondência biunívoca entre  todos números, e todos os pontos da reta.

O comprimento da hipotenusa é irracional

Para preencher as lacunas na linha, os números irracionais têm de ser introduzidos no sistema. Mas, com que fundamento, para além da conveniência e da necessidade, é que     eles são introduzidos?…  E, será que a sua admissão resulta no preenchimento de todos os espaços?                

Foram estas questões que Cantor se propôs responder…e, ao conseguir respondê-las…mudou radicalmente a ideia acerca do que o número é.

Infinito e os Números Transfinitos                                                                                      “Se a matemática tiver a ver com estruturas que são parte real do mundo natural, tão real quanto os conceitos da física teórica, então não é tão surpreendente que seja uma ferramenta efetiva na análise desse mundo real.” (David Gross)                                               

Cantor chegou à noção de ‘infinito real (e não, a infinidade potencial geométrica de limites – por séculos utilizada pelos matemáticos) sem considerar diretamente os nºs, mas sim, os conjuntos. Para isso, procurou atribuir “tamanhos”…que ele chamou de cardinalidade, aos diversos tipos de conjuntos de infinitos elementos…   –  À essas potências deu o nome de “números transfinitos”.

(aleph) http://alephjournal.wordpress.com/about/

(aleph)

Esses resultados constituíram um primeiro avanço na compreensão do infinito real, mostrando que   as descobertas eram dignas de interesse. Com eles, era possível a construção de uma ‘hierarquia de totalidades infinitas‘.

O Alef

Não satisfeito com a notação para nºs transfinitos, Cantor resolveu então denotá-los… – se utilizando assim da primeira letra do alfabeto hebraico: (alef). Mas, por que ?

Cantor conhecia a tradição judaica — o alfabeto hebraico, e a “cabala” (tradição mística recebida dos judeus). Todas as primeiras palavras seguintes, em hebraico, começam com a letra :… Ehad — um; Eloim — Deus; Ein Sof — infinitude de Deus.  Assim… portanto…   representando a natureza infinita e única de Deus, significaria um novo começo para a Matemática… – o começo do ‘infinito real‘.

infinito 3d

infinito 3d

 A unidade cardinal

Como havia grande número de infinitos  –  cada vez maiores, Cantor levantou a hipótese de uma sequência de alefs… 0, 1, 2…, n…; apesar de não saber a colocação exata de cada um.

A princípio…Cantor denotou o menor número transfinito, que é a cardinalidade do conjunto dos números naturais, por ω. Posteriormente, concluiu que o conjunto infinito possui um subconjunto equipotente a N.

Logo…  –  a ‘cardinalidade(quantidade de elementos) de qualquer conjunto infinito é maior ou igual à cardinalidade dos naturais (o)…  Quando os elementos de um conjunto podem ser colocados em ‘correspondência biunívoca’ (bijeção) com o conjunto dos números naturais  –  diz-se que ele é contável,  ou enumerável, e sua potência de cardinalidade também é ω (ou o). Por essa razão,   a esse conjunto denominamos ‘infinito em ato’.

Naturais X Reais                                                                                                                    

Cantor, sempre preocupado em classificar os infinitos,  descobriu  –  com assombro,  que objetos de dimensões diferentes tinham a mesma  ‘ordem de infinito‘. — Em termos de cardinalidade, uma reta e um plano (ou mesmo um espaço de dimensão n) são idênticos. A respeito disso, ele escreveu em 1877 para Dedekind… “Estou vendo, mas não acredito”. 

Em 1874, Cantor percebeu, entretanto, que o conjunto dos números reais  não pode ser posto em bijeção com o dos naturais C(N) – ele é de tamanho estritamente maior. Por um método simples e elegante, denominado ‘raciocínio diagonal’, Cantor provou, então…que os números reais não são enumeráveis — denominando a potência daquele conjunto   de contínuo.

Aritmética Cardinal

Cantor então, se fazia várias perguntas — Se haviam vários números transfinitos, será que era possível ordená-los?.. Haveria um infinito maior que todos os outros?… Haveria algum ‘número transfinito’ entre ω e c ?… Para tentar responder essas perguntas, Cantor, que era um teórico meticuloso, desenvolve então uma ‘aritmética do infinito‘ – isto é, uma extensão, para os números que lhe servem como medida do infinito, das regras de cálculo que se aplicam aos nºs naturais, usados para medir o que é finito…(adição, multiplicação, potenciação, etc.).

Os cardinais representam o tamanho dos conjuntos… sem levar em conta a possível existência de uma ordenação entre seus elementos.

O outro tipo de nºs infinitos de Cantor — os ‘ordinais‘ … serve para assinalar o tamanho do conjunto, em termos de sua posição em uma sequência… – ou seja… — quando seus elementos estão ordenados a partir de uma ordem tal, que todos seus subconjuntos possuem um elemento mínimo.

A Hipótese do Continuum

A “Hipótese do Continuum”, como sugerida  por Cantor, é definida da seguinte forma: considerando o cardinal do conjunto dos números reais definido por c = 2e(0), também chamado de contínuo, estritamente maior que o cardinal dos números naturais – 0,  a ‘Hipótese do Continuum’ diz … que entre esses 2 tamanhos de conjuntos infinitos não há nenhum outro…  isto é  —  Não existe número cardinal  u  tal que  0 < u < c.  Ou seja…

‘Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros – e, menos elementos do que o conjunto dos nºs reais’.  

Como Cantor designou por 1 o menor cardinal depois de 0,  a hipótese do contínuo para c = 2e(0) é deduzida, generalizando,  e  designando por n+1, o menor cardinal depois de n;  ou seja:  0  <  1  < . . . <  n  <  n+1;  o que significa  que,  a hipótese generalizada do contínuo é a afirmação de que  Não  existe nº cardinal  u… tal que…   r < u < r+1; então: r = r+1 e, assim sendo…2e(n) = 2e(n+1) =>resultando no limite máximo de c.

“Se é verdade que alguns paradoxos nascem de círculos viciosos, é falso dizer que a definição de um conjunto – em termos de uma totalidade da qual ele faz parte… — deva ser necessariamente excluída”  (Kurt Gödel)

Epistemologia dos Números Reais, e Hipótese do Contínuo

Em conexão com seu trabalho sobre  a  ‘Teoria dos Conjuntos’, Cantor introduziu os números cardinais. A definição é simples, dizemos que 2 conjuntos têm o mesmo número cardinal,  ou mesma cardinalidade,  se existe uma bijeção entre eles.        E, um conjunto em ‘correspondência bijetiva’ com o conjunto (1,2,3,…n)  dos  1ºs  n números naturais…diz-se que tem o número cardinal n. Portanto, a cardinalidade generaliza a noção de “número de elementos”. 

Seja a cardinalidade de todos números naturais… – dizer que um conjunto tem essa cardinalidade significa dizer que seus elementos podem ser enumerados… de tal modo que, cada número natural é usado exatamente uma vez. Tais conjuntos são chamados     de “enumeráveisExemplos são os nºs pares, os ímpares… números racionais, etc. 

No entanto, os números reais não são enumeráveis, e é fácil mostrar que eles possuem a mesma cardinalidade do conjunto de todas as sequências infinitas de números naturais. Chamando essa cardinalidade de w*a comparação w*>w também pode ser expressa, considerando que os pontos de um intervalo – ou de um contínuo, são em muito maior quantidade que os pontos com ‘coordenadas racionais’…Assim, a famosa “hipótese do contínuo” de Cantor, realmente significa que:

“não há cardinalidade estritamente compreendida entre w e w*, ou seja, todo subconjunto infinito do contínuo (números reais) possui…  –  ou,  a cardinalidade (quantidade de elementos) do conjunto dos  nºs naturais,   ou, a cardinalidade do próprio contínuo”.

P.S.  Os trabalhos de Gödel em 1938, e de Paul Cohen em 1963, mostraram que a ‘hipótese do contínuo tem na Matemática… função semelhante à do ‘axioma             das paralelas de Euclides na geometria clássica… – É um axioma que pode ser   juntado aos axiomas da teoria dos conjuntos, para fornecer uma matemática perfeitamente consistente. Porém, sua contradição também poderia ser anexada               a esses axiomas fornecendo – igualmente, uma teoria perfeitamente consistente.            (Lars Garding – “Encontro com a Matemática” – Ed. UNB – pgs.151/152)

Conclusões finais…                                                                                                                   “A cardinalidade do contínuo poderá ser deduzida a partir de um conjunto dado de axiomas, ainda que esta seja indecidível com base nos axiomas conhecidos até então, já que alguns novos axiomas sempre se tornam evidentes em uma construção sistemática. —  O pensamento humano é inesgotável… — assim como a matemática.”    (Kurt Gödel) 

Em 1938…o matemático austríaco Kurt Gödel (1906-1978) mostrou que… em qualquer sistema haverá proposições que não podem ser provadas… (‘Teorema da Incompletude’). Mostrou também que a Hipótese do Continuum é consistente com axiomas da Teoria dos Conjuntos (não produzia contradições)…Gödel, porém, não conseguiu mostrar que a negação da Hipótese do Continuum também era consistente com a Teoria dos Conjuntos.

Em 1963, Paul Cohen (1934-2007) deu o segundo passo… – Mostrou que a Hipótese do Continuum era independente de todos os axiomas da ‘Teoria dos Conjuntos‘. Poderia ser tomada tanto verdadeira como falsa. – Verdadeira ou não, a Hipótese do Continuum não poderia ser provada nem refutada no sistema atual… Ganhou a ‘medalha Fields’ por esse trabalho… em 1966. – Esses dois resultados afirmam que, quem aceita a teoria usual dos conjuntos pode, sem risco de contradições, adotar… tanto a ‘hipótese do contínuo‘, como sua ‘discreta’ negação.

“A posição filosófica de David Hilberta respeito dos fundamentos da matemática é chamada de formalismo… – Este pretendia reduzir o infinito a um sistema formal,       livre de contradições…cuja validade pudesse ser provada por meios reais. Enquanto       os construtivistas negam… os formalistas afirmam a possibilidade de se completar     um processo infindável”…        (Carnielli & Epstein – ‘Fundamentos da Matemática’)

“Em matemática – a palavra ‘existir’ possui apenas um sentido – que significa ‘isento de contradições’… Assim, se dispomos de um sistema de postulados, e podemos demonstrar que esses postulados não implicam contradições, temos então o direito de considerá-los como a definição de uma das noções que neles aparecem. Se não pudermos demonstrar esse fato, será necessário admiti-lo sem demonstração – e, isso seria então um axioma; de modo que, se desejamos buscar a definição por trás do postulado – acabaremos por encontrar o axioma,  por baixo da definição”. (Henri Poincaré) ******************************   (definições)   ***********************************

N – conjunto dos nºs naturais (enumerável, com cardinalidade unitária igual a 0 ou ω)

– conjunto dos números inteiros (enumerável, com cardinalidade ω)

Q – conjunto dos números racionais  (enumerável, com cardinalidade ω)

I – conjunto dos números irracionais (não enumerável, com cardinalidade c > ω)

R – conjunto dos números reais  (não enumerável, com cardinalidade > ω)

As somas infinitas eram de facto calculadas o que permitiu resolver o paradoxo da dicotomia. O cálculo da soma dos segmentos (1/2+1/4+1/8+...) até ao infinito dava um resultado finito. Essa soma infinta, chamada série, é a melhor evidência de transmutação de infinito (número infinito de termos) em finito (valor finito). A manipulação de somas infinitas tornou-se de uso corrente na matemática. As séries tornam-se um instrumento de expressão finita dos números irracionais algébricos e transcendentes. De facto, o símbolo E (sigma) usado para representar uma soma, permite traduzir, de forma finita, números para os quais não havia qualquer representação, a não ser a representação geométrica ou uma letra, como por exemplo o número pi.

As somas infinitas eram, de fato, calculadas… o que permitiu resolver o paradoxo da dicotomia. –  O cálculo da soma  (1/2+1/4+1/8+…)  até ao infinito dava um resultado finito.

Essa soma infinita – chamada série… é a melhor evidência de transmutação de infinito (número infinito de termos) em finito (valor finito). A manipulação de somas infinitas tornou-se de uso corrente na matemática…  —  As séries tornam-se um instrumento de expressão finita dos números irracionais algébricos e transcendentes. O símbolo sigma, usado para representar uma soma, permite traduzir…de forma finita, números para os quais não havia qualquer representação a não ser a representação geométrica, ou uma letra, como por exemplo o número pi.

… “A principal questão dos ‘fundamentos da matemática’ nos últimos anos diz respeito à legitimidade de certos métodos de prova — devido à ausência de algum padrão absoluto com o qual possa ser comparada. As grandes revelações no setor não ocorrem na forma de segredos descobertos, nem verdades atemporais preexistentes, mas sim ‘construções’; sendo que, aquilo que é construído é um simbolismo, não uma proposição. E a força viva do simbolismo é fonte daquela introspecção matemática, conhecida como intuição.”  (R. Goodstein – ‘Constructive Formalism’)

texto base: ‘Um breve passeio ao Infinito Real de Cantor’/Maria Gorete Andrade/UNESP  consulta: ‘Paradoxos do Infinito’ (UFRGS) # ‘Cantor /seminário‘… Andréia Bento / Univ. Lisboa # ‘Transmutações do Infinito’…Isabel Serra / Univ. Lisboa ## ‘Georg Cantor’ ## Números Transfinitos (Christian & Karyn Pinedo)#Cardinais Transfinitos (von Rückert) >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 

Breve história do infinito (introdução)

wormhole

Se perguntarmos a qualquer pessoa pelo significado do infinito — encontraremos, normalmente… respostas relacionadas a Deus, à religião, e à metafísica…Contudo, desde que a ‘filosofia materialista’ surgiu na antiga Grécia o problema filosófico do infinito foi arrebatado como ‘monopólio‘ da religião — a partir de então … através dos séculos … a ciência vem tropeçando com o infinito, apesar das tentativas de expurgá-lo de sua presença.

A obstinada resistência a incorporar o infinito ao nosso entendimento do universo … tem a ver com o senso comum – cuja expressão elaborada é a lógica formal — pelo fato de que na vida diária e cotidiana de ‘seres humanos’ — nos relacionamos com objetos e fatos que têm um princípio, e um fim no espaço e no tempo — reconhecemos objetos por serem finitos, e discerníveis em relação a outros – aprendemos a contar começando da unidade… sabemos que não podemos dividir um objeto sem que este — em algum momento … não se perca de nossa vista — sabemos que a nossa vida tem um começo e um fim…  —  mas, a experiência cotidiana tende a omitir o fato de que todo fim é relativo…em uma cadeia infinita de fatos que se relacionam… – e que, por isso, não existe princípio nem fim absolutos.

Naturalmente, cada fenômeno visto de maneira isolada tem um princípio e fim, mas como parte de um universo interconectado sem princípio nem fim. Considerando na natureza a existência de uma inter-relação universal — o infinito retorna à ciência, tornando-se um conceito elementar sem o qual… o cálculo, a física quântica e Teoria do Caos não funcionariam. (texto base)

caminho-para-o-infinito

   ## Infinitos padrões ##

“Ver o mundo num grão de areia

E o Paraíso numa flor selvagem…

Agarrar o infinito na palma da mão,

E a Eternidade numa hora.”

(William Blake)

(…genial a poesia de Blake  –  a visão do infinito gerando limites, que geram padrões, que geram ciência e conhecimento – que, por sua vez, transformam a visão do paraíso incomensurável… em realidade palpável)

Não ficamos só na pergunta ontológica “o que é que é?”…Vamos além…Queremos saber   “o que é que pode ser?”. – O ser…quando confrontado ao poder, dá a saber aquilo que a Matemática chama de limite… O limite, na matemática, é muitas vezes representado de forma tendencial – e a tendência é uma espécie de “padrão” – porque ele… o limite, é o espaço entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno. – E o infinito é um dos grandes problemas da ciência e da filosofia.

Alguns professores de matemática do primário, quando têm dificuldade em explicar aos alunos o que é o infinito, dizem logo que “é um número muito grande, o maior de todos”.   É uma definição errônea…mas dá o que pensar – uma vez que, olhando filosoficamente para o infinito, não concebemos nada além de algo projetado para além da contagem, e   da medição… – para além da realidade contável … tão concreta … tão fácil de controlar.

A matemática já foi definida como a ciência que estuda os padrões (patterns). – Como é dedutiva, parte de um padrão universal para validar uma realidade particular. Pitágoras não fez pesquisa de campo para ver se a sua regra – que na verdade nem era dele; ele só ganhou a fama… – era válida para todos os triângulos retângulos.  A dedução pressupõe certo platonismo – uma abstração que formaliza a realidade.

Isso pode parecer muito leibniziano, mas a matemática, que é a linguagem das ciências, a linguagem da física…é – sobretudo quando trata do infinito, uma seta que aponta para a metafísica.

Até mesmo nas ciências indutivo-empíricas, que exploram a experiência dos sentidos, há incursão da metafísica… As ‘metanarrativas‘ são consequência da necessária e inevitável tendência à padronização da percepção…uma característica orgânica do cérebro humano.

sol

A ‘experiência da visão’  —  por exemplo… outorga certa padronização, de modo que … — antes de ver uma coisa, você já pode dizer como ela é…  —  É claro que pode não descrever exatamente…Se lhe digo, descreva o Sol! Você conseguirá fazer isso sem ter necessariamente que ver o Sol, porque já tem uma imagem, uma referência padrão.

De certa forma… a ‘padronização‘ que acontece com a visão também ocorre com o pensamento – e, é daí que podemos inferir certo fisiologismo nas metanarrativas, ou seja, nas narrativas que exploram padrões…formas platônicas, modelos – tal como na matemática.

As metanarrativas como grandes modelos explicativos da existência do mundo, partindo da suposição de causas maiores – ‘entidades metafísicas’ – foram seriamente resvaladas por Nietzsche – o filósofo mais revolucionário de todos os tempos…com o seu ‘Deus está morto’. Porém, as metanarrativas, no sentido que a própria etimologia da palavra sugere, emergem o tempo todo.

Ao que parece…a ciência é inevitavelmente confrontada com a metafísica quando se entra no terreno das variáveis da percepção; e quando se olha para o infinito…”esse colosso sempre à espreita”… ‘Imperativo Científico’

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Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979... (s/ diploma)
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