Benvindo ao “paraíso transfinito” de Cantor

“Existe depois do finito…um ‘transfinito‘… ou seja, uma escala ilimitada de arranjos que, por natureza… são infinitos… – podendo assim… ser precisamente determinados      por números naturalmente bem definidos, e distintos uns dos outros”. (Georg Cantor)

Georg Cantor - matemático russo

Georg Cantor
(1845-1918)

Quantos elementos tem um conjunto infinito?  “Deve-se estabelecer uma distinção essencial entre  o ilimitado, e o infinito… o 1º pertence à propriedade geométrica de extensão, e o segundo, relaciona-se às relações métricas de medida”… (Bernhard Riemann)

Podemos imaginar … pontos distribuídos sobre uma reta, ou eixo ordenado… Se todos os racionais forem colocados sobre essa reta, será impossível encontrar “buracos” nessa linha – entre dois nºs, por exemplo, 1/2 e 2/3 existe um outro número, 7/12…entre 1/2 e 7/12 existe 13/24…e, entre estes existe ainda outros,     e assim sucessivamente…Desse modo, parecerá que     os pontos estão unidos entre si…Para Georg Cantor,  haveria uma correspondência biunívoca entre todos pontos da linha…e todos ‘números racionais’.

Este sistema de números… – “racionais” – era aquele que Pitágoras acreditava reger o Universo. No entanto até Pitágoras sabia que este sistema estava incompleto: há pontos   da reta não preenchidos por pontos associados a ‘números racionais‘ – como se verifica através da hipotenusa de um triângulo retângulo… – cujos catetos meçam uma unidade.

teorema pitágoras

“O comprimento da hipotenusa é irracional”

Com efeito, o valor D… comprimento da hipotenusa, não tem equivalente numérico no “sistema racional”.  Por isso nem todos pontos da linha são preenchidos; não havendo portanto… entre todos os nºs… e todos os pontos da reta, uma “correspondência biunívoca”.

Para preencher as lacunas na linha, os nºs irracionais têm de ser introduzidos no sistema. Mas, com que fundamento, para além da conveniência e da necessidade…é que eles devem ser introduzidos?…E, será que a sua admissão resulta no preenchimento de todos espaços?

Foram estas questões que Cantor se propôs responder…e ao conseguir                              respondê-las, mudou radicalmente a ideia acerca do que o ‘número’ é.

Infinito real e os Números Transfinitos                                                                           “Tendo a matemática a ver com estruturas que são parte do mundo natural;                        tão reais quanto os conceitos da física teórica, não surpreende que seja uma                    ferramenta efetiva…na análise desse nosso mundo material.” (David Gross) 

(aleph) http://alephjournal.wordpress.com/about/

(aleph)

Cantor chegou à noção de ‘infinito real‘ (e não, a uma ideia geométrica de limites, há séculos usada por matemáticos)…sem considerar diretamente os números; mas sim, conjuntos. Para isso atribuiu tamanhos, que denominou cardinalidade” (ou, graus) aos diversos tipos de conjuntos de infinitos elementos; aos quais deu o nome de… “números transfinitos“. Essas ‘potências’ constituíram um avanço inicial na compreensão do ‘infinito real‘, mostrando que…suas descobertas eram dignas de interesse… Com eles, era possível a construção de uma… “hierarquia de totalidades infinitas”.

“O Alef”…A unidade cardinal

Não satisfeito com a notação para nºs transfinitos, Cantor então, resolveu denotá-los, usando para isso a 1ª letra do alfabeto hebraico: …(alef)…Mas, por que escolheu ?

Cantor conhecia a ‘tradição judaica’ – o ‘alfabeto hebraico’ – e a “cabala” (tradição mística recebida dos judeus). Em hebraico, todas estas palavras iniciam com a letra ℵ: Ehad (um);  Eloim (Deus)…Ein Sof (infinitude de Deus). Assim, , como símbolo da “natureza infinita e única de Deus”, significaria um ‘recomeço’ à Matemática; o do infinito real. Havendo  grande número de infinitos cada vez maiores  Cantor levantou a hipótese da sequência de alefsℵ0, ℵ1, ℵ2…  ℵn, mesmo sem saber a colocação exata de cada um. A princípio, denotou o menor número transfinitocardinalidade do conjunto dos nºs naturais, por ω. Depois, concluiu que o “conjunto infinito” possui um subconjunto…”equipotenteN.

Logo, a cardinalidade (quantidade de elementos) de qualquer conjunto infinito é maior ou igual à cardinalidade dos naturais (o)… Quando os elementos de um conjunto podem ser colocados em correspondência biunívoca (bijeção) com o conjunto dos números naturais – diz-se que ele é…contável…ou enumerável, e sua potência de cardinalidade também é ω (ou o). – Por essa razão…a esse conjunto denominamos ‘infinito em ato’.

Aritmética Cardinal                                                                                                          Para provar a “hipótese do continuum” é preciso estabelecer um                                     modo de ordenar os números cardinais transfinitos…ℵo, ℵ1, ℵ2…ℵn.                

Cantor, sempre preocupado em classificar os infinitos…descobriu – com assombro… que objetos de dimensões diferentes tinham a mesma ‘ordem de infinito‘. – Em termos de cardinalidade, uma reta e um plano (ou mesmo um espaço de dimensão n) são idênticos.   A respeito disso, ele escreveu em 1877 para Dedekind“Estou vendo, mas não acredito”.  Em 1874, percebeu entretanto que o conjunto dos números reais  não pode ser posto em bijeção com o dos naturais C(N)… é de tamanho estritamente maior. Por um método simples e elegante, denominado ‘raciocínio diagonal’, Cantor provou então que números reais não são enumeráveis… – chamando a potência daquele conjunto  de contínuo. 

Cantor então, se fazia várias perguntas… – Se haviam vários números transfinitos, seria possível ordená-los?… Haveria um infinito maior que todos?… Ou algum ‘nº transfinito’ entre ω e c ?… – Para tentar responder essas perguntas, Cantor…um teórico meticuloso, desenvolve uma ‘aritmética do infinito‘ – isto é, uma extensão, para os números que lhe servem como medida do infinito…das regras de cálculo que se aplicam aos números naturais… – usados para medir o que é finito (adição, multiplicação, potenciação…etc.).

E assim… ℵo + 1 = ℵo;  ℵo + n = ℵo;  ℵo + ℵo = ℵo;  ℵo x n = ℵo;  ℵo x ℵo = ℵo; Mas, 2e(ℵo) ≠ ℵo (a “potencialização” muda a ‘cardinalidade’ de um conjunto transfinito) pois, o ato de formar o ‘conjunto potência’ de todos subconjuntos…sempre produz um conjunto cuja cardinalidade é maior que o conjunto original… – e desse modo surge a possibilidade de se ordenar os cardinais transfinitos numa sequência — onde: ℵo > ℵ1 > ℵ2 > ℵn 

infinito 3d

infinito 3d

considerando que…Sem título Sem títuloSem título

Nesse caso…os cardinais representam o tamanho dos conjuntos sem considerar a possibilidade da existência de ordenação entre seus elementos.  O outro tipo de números infinitos de Cantor, os ordinais são normalmente usados para ‘medir’ o tamanho do conjunto…observando sua posição dentro de uma sequência. Neste caso…ordena-se seus elementos de modo que todos subconjuntos possuem um elemento mínimo Eo, como origem.

A…”Hipótese do Continuum                    Sendo alef 0 (ℵo) ‘números naturais’, então, o alef 1 (ℵ1) representa ‘números reais’ (c).

A “Hipótese do Continuum”, como sugerida por Cantor, é definida da seguinte forma: considerando o cardinal do conjunto dos números reais definido por c = 2e(0), também chamado de contínuo, estritamente maior que o cardinal dos números naturais – 0,  a ‘Hipótese do Continuum’ diz que entre esses 2 tamanhos de conjuntos infinitos não há nenhum outro. Dessa forma…não existe número cardinal  u  tal que  0 < u < c.  Ou seja:

‘Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros – e, menos elementos do que o conjunto dos nºs reais’.  

Como Cantor designou por 1 o menor cardinal depois de oa hipótese do contínuo      para c = 2e(0) é deduzidageneralizando, e designando por n+1, o menor cardinal depois de n, ou seja:  0  <  1  < . . . <  n  <  n+1 o que significa que a ‘hipótese generalizada do contínuo’ é a afirmação de que ‘Não‘ existe nº cardinal  tal que      r < u < r+1; e assim… pela “hipótese do continuum“, considerar r = r+1…faz 2e(n) = 2e(n+1); o que resulta em u=0, e por consequência, ℵ1=c (limite máximo).

Epistemologia dos Números Reais, e Hipótese do Contínuo                             “Sendo verdade que alguns paradoxos nascem de círculos viciosos, é                                          falso dizer que a definição de um conjunto… em termos de uma todo,                                    do qual faça parte, deva ser necessariamente excluída”. (Kurt Gödel)                

Em conexão com seu trabalho sobre a ‘Teoria dos Conjuntos‘, Cantor introduz os números cardinais. A definição é simples, dizemos que 2 conjuntos têm o mesmo número cardinal, ou mesma cardinalidade, se existe uma bijeção entre eles. E,          um conjunto em correspondência bijetiva com o conjunto (1,2,3…n) dos primeiros n números naturais… – diz-se que tem número cardinal n. Portanto, a “cardinalidade” generaliza a noção de ‘nº de elementos‘. Seja a cardinalidade de todos números naturais, dizer que um conjunto tem tal cardinalidade…significa que seus elementos podem ser enumerados, de modo que… cada número natural é usado uma única vez.         Tais conjuntos são chamados…“enumeráveis(nºs pares, ímpares, racionais, etc) 

No entantoos números reais não são enumeráveis — e é fácil mostrar que possuem mesma cardinalidade…que o conjunto de todas infinitas sequências de números naturais…Chamando essa cardinalidade de w*… – a comparação w*>w pode ser validada…levando em conta quehá muito mais pontos contidos no interior de um…’intervalo contínuo’… do que pontos … em um intervalo – a ser preenchido … apenas com … — coordenadas racionais”.

Por isso a “hipótese do contínuo” de Cantor, de fato significa que não há                        cardinalidade compreendida entre w e w*… posto que todo subconjunto                        infinito do continuum (“números reais”) possui … ou a cardinalidade de                        elementos do conjunto dos números naturais, ou a do próprio contínuo.

Os trabalhos de Gödel…em 1938, e de Paul Cohen, em 1963, mostraram que a                ‘hipótese do contínuo‘ tem na Matemática, função semelhante à do ‘axioma             das paralelas‘ de Euclides na geometria clássica. — É um axioma que pode ser                  juntado aos axiomas da teoria dos conjuntos, para fornecer uma matemática perfeitamente consistente. Porém…tal contradição também poderia ser anexada                  a esses axiomas fornecendo – igualmente, uma teoria perfeitamente consistente.            (Lars Garding – “Encontro com a Matemática” – Ed. UNB – pgs.151/152)

A “indecidibilidade” da ‘Hipótese do Contínuum’                                                        “A cardinalidade do contínuo poderá ser deduzida a partir de um conjunto dado de axiomas, ainda que esta seja indecidível com base nos axiomas conhecidos até então, já que alguns novos axiomas sempre se tornam evidentes em uma construção sistemática. De fato, assim como a matemática, o pensamento humano é inesgotável”. (Kurt Gödel)

Em 1938… o matemático austríaco Kurt Gödel (1906-1978) mostrou que… em qualquer sistema – haverá proposições que não podem ser provadas (“Teorema da Incompletude”). Mostrou também que a Hipótese do Continuum é consistente com axiomas da Teoria dos Conjuntos (não produzia contradições)…Gödel, porém, não conseguiu mostrar que a negação da Hipótese do Continuum também era consistente com a Teoria dos Conjuntos.  Em 1963, Paul Cohen (1934-2007) deu o segundo passo…mostrando que a Hipótese do Continuum era independente de todos axiomas da “Teoria dos Conjuntos”… podendo ser considerada tanto verdadeira quanto falsa. Verdadeira ou não, a Hipótese do Continuum não poderia ser provada, nem refutada no sistema atual. Ganhou a “medalha Fields” por esse trabalho, em 1966. Esses 2 resultados, conjuntamente, afirmam que adotar a ‘teoria dos conjuntos’, implica na aceitação da ‘hipótese do contínuo’, e de sua discreta negação.    ******************************   (definições)   ***********************************

N – conjunto dos nºs naturais (enumerável, cardinalidade unitária…0 ou ω)

– conjunto dos números inteiros (enumerável, com cardinalidade ω)

Q – conjunto dos números racionais  (enumerável, com cardinalidade ω)

I – conjunto dos números irracionais (não enumerável, cardinalidade c > ω)

R – conjunto dos números reais  (não enumerável, com cardinalidade > ω)

As somas infinitas eram…de fato, calculadas — o que permitiu resolver o paradoxo da dicotomia. O cálculo da soma (1/2+1/4+1/8+…) até ao infinito… dava resultado finito.        Essa soma infinita (chamada série) é a melhor evidência de transmutação de infinito (número infinito de termos) em um (valor) finito A manipulação de somas infinitas,    torna-se então, de uso corrente na matemática. – As séries passam a representar um instrumento de expressão finita dos números irracionais algébricos e transcendentes.

As somas infinitas eram de facto calculadas o que permitiu resolver o paradoxo da dicotomia. O cálculo da soma dos segmentos (1/2+1/4+1/8+...) até ao infinito dava um resultado finito. Essa soma infinta, chamada série, é a melhor evidência de transmutação de infinito (número infinito de termos) em finito (valor finito). A manipulação de somas infinitas tornou-se de uso corrente na matemática. As séries tornam-se um instrumento de expressão finita dos números irracionais algébricos e transcendentes. De facto, o símbolo E (sigma) usado para representar uma soma, permite traduzir, de forma finita, números para os quais não havia qualquer representação, a não ser a representação geométrica ou uma letra, como por exemplo o número pi.O símbolo “sigma“, usado para representar uma soma, permite traduzir, de forma finita, números para os quais não haveria qualquer representação…a não ser a “geométrica”, ou uma letra — como exemplo… o número pi.

texto base: ‘Um breve passeio ao Infinito Real de Cantor’/Maria Gorete Andrade/UNESP  consulta: ‘Paradoxos do Infinito’ (UFRGS) # ‘Cantor /seminário‘… Andréia Bento / Univ. Lisboa # ‘Transmutações do Infinito’…Isabel Serra / Univ. Lisboa ## ‘Georg Cantor’ ## Números Transfinitos (Christian & Karyn Pinedo)#Cardinais Transfinitos (von Rückert)  *********************************************************************************  “A principal questão dos ‘fundamentos da matemática‘ nos últimos anos, se refere à legitimidade de certos métodos de prova … devido à ausência de algum ‘padrão absoluto’ com o qual possa ser comparada. As grandes revelações no setor, não ocorrem na forma de segredos descobertos, nem verdades atemporais preexistentes, mas sim ‘construções’; sendo que, aquilo que é construído é um simbolismo, não uma proposição. E a força viva do simbolismo é fonte daquela introspecção matemática, conhecida como intuição.”  *********************(R. Goodstein…’Constructive Formalism’)**********************

Da natureza do infinito, e além… Introdução ao transfinito de Georg Cantor  (“Em matemática…a arte de fazer perguntas é mais valiosa, do que resolver problemas”) 

A_intersect_BEm 1867, aos 22 anos, Georg Cantor completou sua tese de doutorado na Universidade de Berlim. Mais tarde, se tornaria aquele com a ousadia de perguntar e responder … a uma das mais básicas…”questões racionais”: Quão grande é o infinito?…Nas décadas de 1870 a 90 ao introduzir ideias radicais para responder essa pergunta Cantor acaba elaborando    ateoria dos conjuntos, como um fundamento da “matemática pura”.

Em Berlim… Cantor assistira a palestras de Ernst Kummer, Leopold Kronecker and Karl Weierstrass…cujo interesse em aritmética exerceu forte influência em seus 1ºs trabalhos. Em 1866 ele passa o semestre de verão na Universidade de Göttingen, na época a capital mundial do pensamento matemático…Tanto sua dissertação: “De aequationibus secundi gradus indeterminatis“ em 1867, quanto sua habilitação: “De transformatione formarum ternariarum quadraticarum” em 1869 tratavam da “teoria dos números” – em particular um problema pendente deixado por Gauss sobre soluções do eixo da equação diofantina indeterminada ax² + by² + cz² = 0, também conhecida como…”equação de Legendre“.

Há quem argumente que os antecedentes do inovador trabalho posterior de Cantor podem ser encontrados desde suas 1ªs publicações de pós-graduação… – E, de fato, nas pesquisas teóricas de Cantor sobre ‘séries trigonométricas’ pode-se encontrar traços de seu interesse inicial no “continuum”. Seu 1º artigo (“Sobre um teorema relativo à série trigonométrica”)  foi publicado em 1870 – com o intuito de… “progredir no entendimento das propriedades convergentes da representação de uma função…dada arbitrariamente…por meio de séries trigonométricas infinitas”. No artigo…a partir da série trigonométrica e do trabalho sobre funções de uma variável complexa…de Riemann – Cantor apresentou o seguinte teorema:

Teorema da singularidade de Cantor (1870):                                                                    Toda função f: ℝ → ℝ pode ter no máximo uma representação por série trigonométrica.

Se uma função f (x) é representada por uma série trigonométrica convergente para todo x, então essa representação é única. Em 1871 Cantor confirmou o resultado, provando que a “singularidade” se mantém mesmo que a série divirja em um número finito de pontos em um determinado intervalo. Seu artigo seguinte, publicado em 1872, ampliou ainda mais o resultado. – O artigo… “Sobre a generalização de um teorema a partir da teoria das séries trigonométricas”, fornece uma definição de um ponto limite de um conjunto de pontos P, como qualquer ponto tal que toda sua vizinhança contém infinitos pontos de P. – P’…a 1ª derivada de P é o conjunto de todos pontos de fronteira de P, a 2ª derivada P” representa todos pontos de fronteira de P’, e assim sucessivamente Essa definição lançou as bases para a topologia de pontos em conjunto. – Cantor usou a definição, para melhorar seu “teorema da singularidade”, mostrando que este teorema se mantém, mesmo que a série trigonométrica divirja num número infinito de pontos – desde que o conjunto de pontos seja de ordem finita (um conjunto de pontos P é de ordem finitase para algum número inteiro n… — a n-ésima derivada P⁽ⁿ⁾ de P… — é um conjunto finito).

Retrospectivamenteo artigo analisa os trabalhos iniciais de Cantor…em relação ao que agora é considerado seu trabalho mais importante na área dos “conjuntos transfinitos”, por exemplo…em seu foco em “continuum” (conjunto infinito de pontos) e na definição de números reais(1872) que ele fornece… – Um nº real é uma série infinita de nºs racionais: a₁, a₂, …, aᵤ,… tal que para qualquer dado ε existe um u₁ onde u ≥ u₁ e, p/ qualquer número inteiro positivo v…|aᵤ₊ᵥ – aᵤ|<ε.

‘Teoria dos conjuntos’                                                                                                                     “A set is a Many…which allows itself to be thought of as a One” (Georg Cantor)

Descrita como “uma das maiores realizações da matemática moderna”, a fundação            da ‘teoria dos conjuntos’ é reconhecida pelo trabalho de Cantor no período de 1873              a 1884… – Especialmente – a um único artigo – publicado por ele em 1874…assim denominado …  On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers.  Resumido a 5 páginas o trabalho de Cantor apresenta 3 importantes resultados:              1º) O conjunto dos nºs algébricos reais é “contável”; 2º) Em todo intervalo [a, b]  existem infinitos números não incluídos em nenhuma sequência; e dessa maneira:          3º) O conjunto dos números reais é incontavelmente infinito. Tal ‘incontabilidade’                dos números reais, traz como consequência…a criação de uma distinção entre nºs  pertencentes ao “continuum”, e aqueles que pertencem a um “conjunto algébrico”,          como a totalidade dos números reais. Na explicação das implicações do resultado          sobre ‘incontabilidade dos números reais‘, o artigo de Cantor esboça alguns conceitos fundamentais sobre o que é um conjunto…como “coleção de elementos”.

Por um conjunto, devemos entender qualquer coleção, em um M inteiro…de n objetos individuais de nossa intuição/pensamento. Esses objetos são chamados de “elementos”    de M. Um “conjunto contável” é um conjunto com a mesma cardinalidade (número de elementos) de algum subconjunto do conjunto de números naturais. – O conjunto que consiste nos números 3,4 e 5, por exemplo, é indicado por {3, 4, 5}… A propriedade da ‘contabilização’ é intuitivamente importante, por admitir a possibilidade de relacionar      elementos de um conjunto numa “listagem”. O conjunto mais inerentemente contável      são os números naturais ℕ, onde seus elementos … são os próprios números contados (1,2,3…). Como infinitos em número, se diz ‘contabilmente infinito’ ou “denumerável”.

Para outros conjuntos formalmente declarar ser contável, significa que os elementos do conjunto podem ser colocados em correspondência individual (biunívoca) com elementos do conjunto de números naturais ℕ, ou seja… – que um conjunto S é ‘contável’…se existir uma função injetiva f de S para os números naturais ℕ = {1,2,3} Sendo possível achar um f que também seja sobrejetiva (e assim, bijetivo), S será chamado…’conjunto contável infinito’ ou “denumerável”. Por exemplo, para o conjunto de números pares (2n ∀ n ∈ ℕ):

2   4   6   8  10…2n     Vemos que os elementos dos dois conjuntos podem ser postos
↓   ↓   ↓   ↓   ↓     ↓        em correspondência biunívoca – e assim podemos determinar
1   2   3   4  5 … n       que o… conjunto de números pares… também é ‘contável’.

A propriedade da contabilidade, torna possível comparar conjuntos em termos do número de elementos que contêm…sem precisar contar nada…e assim, inferir sobre tamanhos relativos de conjuntos finitos e infinitos. – Na prática, podemos ilustrar o        caso finito imaginando uma sala de aula com 100 assentos. Quando cheia de alunos,      pode-se fazer a inferência…sobre o tamanho do conjunto de estudantes…em função          do tamanho do conjunto de assentos. Se houver vagaso conjunto de cadeiras será        maior que o conjunto de alunos. – Todavia… não havendo lugar vazio… com alguns      alunos de pé… então, o tamanho do conjunto de alunos será maior que o de lugares.

A Contagem dos Números Racionais ℚ (1873)                                                                    “A maneira de provar que o conjunto de todos os números racionais é contável é encontrando uma bijeção de números inteiros para racionais. – Cantor usou seu              método diagonal para resolver esse problema – e o da incontabilidade dos reais”.

diagonal

A 1ª investigação publicada por Cantor sobre contagem de “conjuntos” … ocorreu em 1873, quando demonstrou que “números racionais  são contáveis”. – Para provar essa afirmação, Cantor propõe organizartodos os números racionais como se … proporções de números naturais, em uma tabela infinita assim como esta… representada pela figura ao lado… – À sequência indicada podemos relacionar uma contagem numérica, que afinal, corresponde  a uma relação biunívoca entre os números naturais N, e os números racionais .

A Contagem algébrica dos Números Reais (1874)                                                Um número algébrico é qualquer número real ou complexo que é                                    solução de alguma ‘equação polinomial’ com coeficientes inteiros.

Um ano depois, em seu artigo de 1884, Cantor mostrou também que números algébricos reais são contáveis…Estes, são números reais ω que satisfazem todas equações da forma: aₒ ωᵘ + a¹ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0. — Ou seja são raízes de polinômios reais diferentes de zero. Sendo contáveis… – o conjunto de todos os “reais algébricos” pode ser escrita como uma sequência infinita… – Cantor mostrou isso…em seu artigo de 1874, da seguinte maneira:

Para cada equação polinomial da forma aₒωᵘ + a₁ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0 com coeficientes inteiros a, define-se seu índice como a soma dos valores absolutos dos coeficientes mais    o grau da equação: | aₒ | + | a₁ | + … + | aᵤ |. A única equação de índice 2 é ω = 0…então, sua solução (0), é o 1º número algébrico. As 4 equações de índice 3 são 2x = 0, x + 1 = 0,    x – 1 = 0, e x² = 0. Elas têm raízes…0, –1 e 1, então Cantor inclui os novos valores –1 e 1 como 2º e 3º registros em sua lista de números algébricos. – Note-se que, a cada índice, existem finitas equações…e que cada equação tem finitas raízes. – Listando essas raízes por ordem de índice, e elevando a magnitude a cada índice pode-se então estabelecer um método sistemático para listar todos números algébricos…Assim como os racionais, portanto… – a correspondência individual com os números naturais faz provar … que o conjunto de números reais algébricos – obrigatoriamenteserá infinitamente contável.

A Incontabilidade dos Números Reais (1874)

números reaisO uso mais relevantedo conceito de “contagem cantoriana ocorreu no 3º resultado de seu artigo de 1874, quando a incontabilidade dos reais  é provada… 1º conjunto a mostrar tal particularidade. Um número real ℝ é o valor de uma quantidade contínua, representada por uma distância – ao longo de uma reta – onde, em seus 2 sentidos qualquer nº real pode ser definido … conforme uma expressão decimal… – provavelmente…infinita.

Desse modo, com cada dígito consecutivo medido em unidades decimais … do tamanho anterior, a afirmação de que os números reais são incontáveis ​​é equivalente ao seguinte enunciado. — Dada qualquer sequência de números reais η, e qualquer intervalo [α…β], pode-se determinar um número η em [α…β] que não pertence à sequência… — E assim, pode-se determinar infinitamente muitos desses números η em [α…β]. Sua 1ª prova da ‘Incontabilidade dos Reais’, baseada no teorema de Bolzano-Weierstrass, foi a seguinte:  Para uma sequência infinita (i) de números reais… ω₁, ω₂… ωᵥ distintos uns dos outros, então em qualquer intervalo dado (α…β), um número η (e consequentemente, infinitos desses números) pode ser determinado de forma a não ocorrer na série (i). Para provar isso, consideremos o intervalo [α…β], dado arbitrariamenteno qual α < β. – Os 2 nºs iniciais da sequência (i) incluídos no interior desse intervalo (com exceção dos limites), podem ser designados por α’ e β’, para α’ < β’. A seguir, designemos os 2 primeiros nºs      de nossa sequência que se encontram no interior de (α’…β’) por α” e β” – onde α “< β”.

Igualmente, construiremos o próximo intervalo, e assim por diante. Desta forma, a sequência α’, α”… é formada, por definição, de nºs da sequência (i) cujos índices aumentam continuamente. E o mesmo vale para a sequência β’, β”…Além disso, os números α’, α”… sempre aumentam de tamanho enquanto β’, β”… estão sempre diminuindo. – E cada intervalo [α…β], [α’…β’], [α”…β”]… inclui todos os seguintes.

Aqui, apenas 2 casos são concebíveis…No 1º caso, o número de intervalos é finito. Assim, considere o último deles (αᵛ…βᵛ). Como em seu interior pode haver no máximo um nº da sequência (i), um número η pode ser escolhido a partir desse intervalo…que não esteja contido em (i), comprovando assim o teorema. – Já no 2º caso o número de intervalos construídos é infinito Então, como eles sempre aumentam de tamanho sem crescer no infinito, os números α, α ‘, α “, … têm um determinado valor limite αʷ. – E o mesmo vale para os números β, β’, β”… pois, como visto, estes estão sempre diminuindo de tamanho.

Considerando seu valor limite βʷ. Se αʷ=βʷ então, pela definição de intervalos,              conclui-se que o número η = αʷ = βʷ… não pode estar contido na sequência (i).              Contudo…se αʷ<βʷ, então todo η dentro do intervalo [αʷ…βʷ], bem como seus                limites … satisfaz o requisito proposto … de não estar contido na sequência (i).

Argumento diagonal de Cantor (1891)

Cantor, 17 anos depois, forneceu uma prova mais simples da incontabilidade, usando          o que ficou conhecido como ‘argumento diagonal‘; publicado pela primeira vez em    um artigo de 1891, intitulado… “Uma questão elementar da teoria das variedades“.

Diagonal_argumentoEm seu trabalho, Cantor afirma existir um conjunto M… de todas sequências infinitas dos números binários m e w, que não possui o “fôlego” da série E₁, E₂, E₃… ou seja… M tem um tamanho diferente…da soma de cada sequência En. Assim, mesmo que M seja feito de todas as sequências infinitas dos nºs binários m e w…sempre será possível construir uma nova sequência E₀ que é e não é, simultaneamente, elemento de M…Na construção desta sequência E₀, são usados ‘complementos’ de um dígito de cada sequência…E₁, E₂…En.

Um complemento de um número binário é definido como o valor obtido pela inversão dos bits na representação do número (trocando m por w, e vice-versa). Dessa maneira, a nova sequência é composta pelo complemento do primeiro dígito da sequência E₁(m) – pelo complemento do 2º dígito da sequência E₂(w) – seguido do complemento do 3º dígito da sequência E₃(m)  – até… finalmente, o complemento do enésimo dígito da sequência En.

Por sua construção, E₀ difere de cada sequência En, pois seus enésimos dígitos são diferentes. Portanto…E₀ não pode ser uma das infinitas sequências do conjunto M.

2ª prova da incontabilidade dos números reais ()                                                          Essa prova é realizada… — assumindo que os números                                                                  reais são contáveis, ​​e derivando daí uma “contradição”. 

Sendo os reais contáveis eles poderão ser listados. Então, para se obter uma contradição, basta mostrar que existe algum número real que está faltando na lista. Tal construção se propõe a mostrar que – sempre podemos obter um número…que não conste da lista que criamos…E assim, por contradição, como nossa lista de todos reais não contém todos os números que relacionamos, será necessariamente incontável. As conclusões de ambas      as provas (1874 e 1891) são as mesmas – embora tanto números naturais – quanto reais sejam infinitos em número – não existem números naturais suficientes…para criar uma correspondência biunívoca entre eles. Tal descoberta de Cantor mostrou rigorosamente que o infinito vem em diferentes tamanhos…alguns dos quais — até maiores que outros.

“Existem mais números reais do que números naturais”.

Da correspondência de Cantor com Dedekind em 1874 parece claro que Cantor já estava no processo de ponderar essa implicação específica do resultado, muito embora, a partir de registros conhecidos ele não pareça declarar explicitamente isso… No entanto, vemos traços de sua mente criativa e questionadora em suas cartas dessa mesma época – como neste trecho de janeiro de 1874sobre tamanhos de conjuntos de diferentes dimensões:

“Pode uma superfície (digamos, de um quadrado com seus limites) ser correlacionada unicamente a uma linha (digamos, um segmento de linha reta, que inclua seus pontos finais), de modo que – a cada ponto da superfície, exista um correspondente ponto da linha…e inversamente – para cada ponto da linha…haja um ponto correspondente na superfície?… Ainda me parece no momento que a resposta a essa pergunta é bastante difícil – embora aqui alguém pudesse ser tão impelido a dizer não… que mantivesse a atribuição da prova quase que como uma questão supérflua.” (Cantor – 05/jan/1874)

Quando Dedekind não responde diretamente à sua proposição, Cantor repete a questão algumas semanas depois… indicando sua consciência das implicações significativas que ela tem… — “Quando for me escrever ficaria grato em saber se o amigo teve a mesma dificuldade que tive em abordar a questão que lhe envieisobre a correlação entre uma linha e uma superfície, ou se estou totalmente enganado. – Em Berlim, apresentei a um amigo o mesmo problema, que me disse ser o assunto absurdo…pois era evidente que 2 variáveis ​​independentesnão podem ser reduzidas a uma. ” (G. Cantor – 28/jan/1874)

Pelo que podemos deduzir dos registros conhecidos, passaram-se 3 anos até que Dedekind e Cantor voltassem a falar sobre o assunto. A partir das cartas, fica claro que a sofisticação de Cantor sobre o tema da…correspondência biunívoca entre conjuntos infinitos neste momento se intensificou, e que seu entendimento de suas implicações nesse ano de 1877 é muito mais profundo do que antes… Gostaria de saber se você considera uma anomalia o meu rigor aritmético, quanto a querer mostrar que superfícies, corpos e mesmo estruturas contínuas de dimensões p, podem se correlacionar biunivocamente com linhas contínuas, isto é, com estruturas unidimensionais, de modo a que terem ‘grau de cardinalidade’ igual às curvas, o que parece conflitar com o que prevalecesobretudo, entre os representantes da moderna geometria quando falam de infinitudes, ou estruturas infinitamente dobradas (às vezes dá até para desconfiar que a infinidade de pontos de uma superfície, ou corpo…é obtida pelo infinito² ou cúbico dos pontos de uma linha.). (Cantor…Halle – 20/06/1877)

Conjuntos infinitos                                                                                                        “Protesto contra o uso de magnitude infinita como algo concluído… o que nunca é permitido em matemática. O infinito é só uma maneira de se falar ”. (Gauss, 1831)

Os elementos de todos conjuntos encontrados até agora … têm um número infinito – o que significa durabilidade eterna…No entanto, pelo menos um deles…(), não é    do mesmo tamanho – já que não pode se corresponder com os nºs naturais individualmente. Vimos também “subconjuntos infinitos” (por exemplo, os números pares) de um conjunto infinito (natural)  colocados em…”correspondência individual”, dando origem portanto a uma propriedade peculiar dos conjuntos infinitos:

Um conjunto A é infinito se, e somente se, houver uma correspondência individual entre    A e um conjunto X, que é um subconjunto do próprio A. — Essa propriedade…paradoxal segundo Dedekind, dada a noção intuitiva de que sempre deve haver mais elementos em um todo do que em algumas de suas partes (similar à ‘noção comum’ do 5º Postulado de Euclides). Assim, 2 conjuntos infinitos terão o mesmo nº de elementos…quando houver:

Correspondência biunívoca entre eles; porém, o tamanho de qualquer            ‘todo’, deve ser maior que o tamanho de qualquer uma de suas partes.

Então, como o número de elementos em um conjunto infinito não pode ser considerado uma medida de seu tamanho…isso sugere que os elementos de um conjunto infinito são “não numeráveis”, pois nunca é possível contar todos eles, mas também porque a noção      de número como uma medida de tamanho neste domínio faz pouco sentido. ‘Conjuntos infinitos’ só terão o mesmo tamanho…se uma correspondência individual biunívoca for tida como indicativo padrão de uniformidade…em termos do tamanho de um conjunto.

Após a descoberta, em 1874, da existência de…”conjuntos infinitos não-numeráveis”, Cantor, em 1878, voltou-se para um estudo mais geral do tamanho desses conjuntos infinitos, e suas diferenças. – Para isso, definiu “número cardinal” como um grau de cardinalidade de um conjunto A, geralmente indicado por |A|… como a propriedade        que surge — quando abstraímos a natureza e ordem de seus vários elementos dados.

Números Cardinais de Cantor                                                                                  ‘Números cardinais’ são uma generalização dos números naturais,                                  empregados para medir a cardinalidade (tamanho) dos conjuntos.

transfinitos

Usando a propriedade de cardinalidade, Cantor foi capaz de responder formalmente à pergunta que ele fez repetidamente a Dedekind…a saber: se um quadrado…pode ou não ser mapeado em uma linha por uma correspondência individual dos pontos de cada um, e assim: O conjunto ℝ² de todos os pares ordenados dos números reais (ou seja, o plano real) teria o mesmo tamanho que . Tal teorema emergiu do artigo de Cantor de 1878 — “Uma contribuição à teoria das variedades”  tendo sua comprovação atribuída a Julius Königao paradoxalmente…”mapear bijetivamente” (correspondência biunívoca) o plano bidimensional ℝ² na linha unidimensional ℝ … ou seja: | ℝ² | = | ℝ |.

Indutivamente…podemos estender o resultado para dimensões mais altas. Sua natureza contra-intuitiva levou Cantor a se pronunciar da seguinte forma: “Por favor, desculpe meu zelo pelo assunto, se faço tantas exigências à sua bondade e paciênciaos últimos escritos que lhe enviei…são… – até para mimtão inesperados, que não posso ter paz até obter de você, prezado amigo…uma opinião sobre a validade deles. – Por enquantotudo o que eu posso na verdade dizer é: Vejo, mas não acredito”. G. Cantor – Halle, 29 de junho de 1877.

Quando Cantor em 1878, voltou-se para estudar números cardinais infinitos, ele já estava ciente da existência de 2 desses “graus”…(“Mächtigkeiten”)…a saber: conjuntos de pontos (por exemplo…números naturais) e o continuum (por exemplo, números reais). – Em seu artigo de 1883 “Fundamentos de uma teoria geral das variedades” (‘Theory of Manifolds‘) ele introduz uma distinção entre dois infinitos… — o “transfinito”… — e o “absoluto”:    Números transfinitos são ‘infinitos’…no sentido de serem maiores que todos números finitos, todavia, não necessariamente absolutamente infinitos. – O infinito absoluto Ω, também introduzido por Cantor, pode ser pensado como um número maior que qualquer quantidade concebível ou inconcebível, finita ou transfinitaAlém disso, podemos dizer que ‘números transfinitos’ crescem ​​em magnitude – enquanto o “absoluto”…em potência.

Em particular os números transfinitos que Cantor tinha em mente eram aqueles percebidos em seus estudos sobre a contagem de alguns conjuntos infinitos (por              exemplo, números naturais) e a incontabilidade de outros (números reais)… Ele            rotulou suas cardinalidades ℵ₀ (aleph zero) e ℵ₁ (aleph um) … respectivamente,                as 2 primeiras “ordens do infinito”, ambas menores que a infinitude absoluta Ω.

A hipótese do contínuo (1878)        “Não há ‘números cardinais infinitos’, nomeadamente entre a cardinalidade dos nºs naturais ℵ₀, e a dos reais ℵ₁”.

Nenhuma introdução a Cantor estaria completa … sem discutir a famigerada hipótese – que se tornou para sempre ligada ao seu trabalho de vidaisto é, a “Hipótese do Continuum” (CH).

Grande parte de seu trabalho sobre a conjectura foi publicada no tratado “Sobre infinitas linhas lineares de pontos” na revista Mathematische Annalen entre 1879 e 1884. – Sua 1ª aparição, no entanto, veio no artigo de 1878…”Uma contribuição à teoria das variedades”, onde ele afirma surgir a questão de como as diferentes partes de uma linha reta contínua, ou…noutras palavras, as infinitas diferentes variedades de pontos concebíveis nela, estão relacionadas com seus graus de cardinalidade…Despojando o problema de sua aparência geométrica, podemos entendê-lo por uma ‘variedade linear’ de números reais, ou melhor dizendo – “toda concebível totalidade…de infinitamente muitos distintos números reais”.

Daí então, surgem as perguntas… Em quantas e quais classes se colocam essas variedades lineares?…Variedades do mesmo grau são colocadas na mesma classe, e de graus diversos, em classes diferentes?… – Pelo procedimento indutivo o teorema sugere que o número de classes de variedades lineares que esse princípio de classificação gera…é finito, e igual a 2.  Sabemos que o número cardinal 0 corresponde aos números naturais, e que o número cardinal infinito é Ω, além disso, temos que a cardinalidade dos números reais é maior que ℵ₀. A controvérsia de Cantor em sua afirmação sobre a hipótese do continuum, é que  a cardinalidade dos reais é o próximo número transfinito após ℵ₀, ou seja, c = | ℝ | = ℵ₁.

Isto significa que nenhum conjunto pode ter uma cardinalidade maior que a dos números naturais ℵ₀, e menor que c … considerando c como a cardinalidade dos números reais ℵ₁.

Cantor passou os anos restantes de sua vida, lutando para demonstrar sua ‘hipótese do continuum‘. A estratégia era empregar os conjuntos derivados…P⁽ⁿ⁾ de um conjunto de pontos P…para assim poder medir sua cardinalidadeComo o processo de obtenção    da derivação não termina, necessariamente, após um número infinito de iterações…ele continuou o processo no “transfinito”. Quando a estratégia falhou, então apelou para a chamada “estratégia indireta”, tema principal do seu “Fundamentos de uma teoria das variedades” publicado em 1883. A estratégia foi baseada em sua…“Teoria de graus dos números cardinais”…isto é, na introdução de uma classe de ‘números transfinitos’ que podem ser usados ​​para contar o tamanho de qualquer conjunto infinito. A hipótese do continuumnesse sistema, seria definida pela posição onde se encontra o seu grau de cardinalidade — dentro da escala dos números transfinitos (1º não-enumerável).   

“Em termos populares a primeira derivada consiste em todos os pontos em cuja vizinhança um número infinito de termos da coleção é empilhadoe as derivadas subsequentes fornecem diferentes graus de concentração em qualquer vizinhança.        Assim é fácil ver por que derivadas são relevantes para a continuidade. – Para ser      contínua… – uma coleção precisa estar o mais concentrada possível… – em todas                as vizinhanças, que contenham quaisquer termos da coleção”. (Bertrand Russell)

Van Gogh Starry Night

“Starry Night”, Vincent Van Gogh, 1889

Paraíso Perdido?                                              Cantor passaria muitos anos, tentando resolver a hipótese do continuum…Quando um dia pensava  ter encontrado uma prova de sua verdade, no dia seguinte percebia sua falsidade…Até, por fim…se  dar conta, de que todas as provas eram inválidas.

Em 1900, o matemático David Hilbert classificou a hipótese do continuum, como sendo um dos 23 problemas mais importantes – para o…futuro da matemática no século 20. A previsão foi coroada, pelo tributo da teoria dos conjuntos à conjectura.

Enquanto em 1940…Kurt Gödel confirmou a consistência da “hipótese do continuum”, demonstrando sua coerência com outros axiomas da teoria dos conjuntos…23 anos depois, outro matemático, Paul Cohen, estabeleceu sua independência mostrando que tal hipótese não podia ser provada… a partir de outros axiomas dessa teoria. — Noutras palavras… eles mostraram que a afirmação c = ℵ₁ (“hipótese do contínuo”) é independente do sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel, mais aceito como fundamento mais comum da matemática.

O infinito…Afinal

A consistência e independência da conjectura de Cantor significava ser possível construir modelos válidos da teoria dos conjuntos satisfazendo a hipótese do continuum…e outros modelos…não. – A constatação da existência dessa… e de outras improváveis afirmações ​​mudou a natureza da matemática, como uma disciplina lógica rigorosa…levando Hilbert em 1926 a declarar: Do paraíso que Cantor criou, ninguém pode nos expulsar”.

Cantor sofreu seu 1º colapso mental grave em maio de 1884… dez anos após a publicação  de sua primeira prova da incontabilidade dos números reais. A maioria dos historiadores acredita que o principal fator de sua angústia, se deve à uma disputa em andamento com seu ex-professor...Leopold Kronecker (da “Universidade de Berlim”), justamente sobre a questão duma aparente inviabilidade da hipótese do continuum. (texto base dez/2018)  ******************************(texto complementar)********************************

caminho-para-o-infinito

“Não existe nada dentro das coisas, além do infinito que as contém.” (Georg Cantor)

‘Infinitos padrões (William Blake)

“Ver o mundo em um grão de areia,        E o Paraíso… numa flor selvagem…

Agarrar o infinito na palma da mão,     E a Eternidade… — por uma hora.”

(genial a poesia de Blake; a visão do infinito gerando limites…que geram padrões…que geram ciência e saber; que, por sua vez … fazem do paraíso incomensurável, realidade palpável)

Não ficamos só na pergunta ontológica: “o que é que é?”…Vamos além; queremos saber   “o que é que pode ser?”. – O ser…quando confrontado ao poder, dá a saber aquilo que a Matemática chama de limite… O limite, na matemática, é muitas vezes representado de forma tendencial – e a tendência é uma espécie de “padrão” – porque ele… o limite, é o espaço entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno. – E o infinito é um dos grandes problemas da ciência e filosofia. – Alguns professores de iniciação matemática, quando têm dificuldade em explicar aos alunos o que é o infinito, dizem logo ser… “um número muito grande, o maior de todos”. É uma definição errônea mas que faz pensar, uma vez que…olhando filosoficamente para o infinito – não concebemos nada além de algo projetado para além da contagem e medição… de uma realidade fácil de controlar.

A matemática já foi definida como a ciência que estuda os padrões. – Como é dedutiva, parte de um padrão universal para validar uma realidade particularPitágoras não fez pesquisa de campo para ver se a sua regra era válida…para todos triângulos retângulos.      A dedução pressupõe certo platonismo…uma abstração que formaliza a realidade. Isso pode parecer muito leibniziano – mas a matemática é a linguagem das ciências, a base         da física – sobretudo quando trata do infinito…uma seta que aponta para a metafísica.

Até mesmo nas ciências indutivo-empíricas que exploram a experiência dos sentidos, há incursão da metafísica…As “metanarrativas” são consequência da necessária e inevitável tendência à padronização da percepção; uma característica orgânica do cérebro humano.

sol

A… ‘experiência da visão’ – por exemplo… outorga certa padronização de modo que antes de ver uma coisa, você já pode dizer como ela é…  —  É claro que pode não descrever exatamente. Se lhe peço, descreva o Sol! Você conseguirá fazer isso sem ter necessariamente que ver o Sol, porque já tem uma imagem, uma referência padrão.  De certa forma…a padronização…que acontece com a visão…também ocorre com o pensamento – e, é daí que podemos inferir certo fisiologismo nas ‘metanarrativas’, ou seja, nas narrativas que exploram padrões … formas platônicas… tal como ‘modelos teóricos’ na matemática.

As metanarrativas como grandes modelos explicativos da existência do mundo, partindo da suposição de causas maiores – ‘entidades metafísicas’ – foram seriamente resvaladas por Nietzsche… o filósofo mais revolucionário de todos os tempos, com o seu: “Deus está morto. Porém, ‘metanarrativas’…no sentido que a própria etimologia da palavra sugere, emergem o tempo todo… Ao que parece…a ciência é inevitavelmente confrontada com a metafísica quando se entra no terreno das variáveis da percepção; bem como quando se olha para o infinito… – “esse colosso…sempre à espreita“. (‘Imperativo Científico’**********************************************************************************

Trechos do livro “O Mistério do Alef” de Amir Aczel (Brandeis University – USA)

Um conjunto infinito contém o conjunto vazio‘… – Guiseppe Peano definiu os números começando com o ‘Nada’…e o zero como ‘conjunto vazio’… – e determinou o número 1 como o conjunto que contém o “conjunto vazio”. – O número 2, a seguir, representa o conjunto que contém tanto o conjunto vazio…quanto o próprio conjunto    que contém o conjunto vazio; e assim por diante… (ad infinitum)

Para Peano a infinitude dos números começa com o ‘absolutamente vazio’. 

Apesar dos nºs possuírem uma imanente realidade intra-subjetiva, na qual os infinitos elevados (alefs) existem; o continuum é real e a realidade física depende dos princípios matemáticos, com todas as propriedades numéricas refletidas em seus vários aspectos;      a matemática, em si, não precisa do mundo físico para justificar sua existência… — por exemplo, os infinitos níveis de infinitos (nºs transfinitos) possuem significado próprio. *********************************************************************************

Infinito, esse troço que não acaba (30 jun 2006)                                                                  Ninguém realmente sabe o que é o infinito… Ele incomoda muita gente,                           entre físicos e matemáticos, mas é fundamental para entender o mundo.

hqdefaultOcorre que há uma diferença crucial…entre  o muito grande, que é finito e o ‘verdadeiro’ infinito – aquele que de fato não é só muito grande… – mas simplesmente nunca acaba.  Ao longo da história… a ideia que temos do infinito…muitas vezes parece incompatível com a realidade. Mesmo entre aqueles que costumam explorar…”conceitos abstratos”, falar do infinito, por muito tempo foi tabu, matematicamente proibido, e ‘ponto final’.

O infinito só entrou realmente na rol dos matemáticosno final do século 19, com a obra de um sujeito que estava bem à frente de seu tempo…chamado Georg Cantor. Durante 10 anos, entre 1874 e 1884, esse russo naturalizado alemão conseguiu produzir uma extensa obra sobre ‘séries infinitas’. O que propunha era a existência de números transfinitos, ou seja…a noção de que os conjuntos infinitos teriam tamanhos diferentes… – sendo uns maiores ou menores que os outros… – Como?…Imagine uma árvore com galhos infinitos, em que cada galho dá origem a outros 2 – indo direto até a infinidade. Agora, imagine-se subindo nessa árvore, escolhendo a cada momento uma…bifurcação…Logo fica claro que você subirá por toda a eternidade – porque o seu caminho escolhido tem infinitos galhos. Assim, argumenta Cantor…há um número igualmente infinito de ‘caminhos alternativos’;  (todos eles infinitos.)

O conjunto de todos caminhos possíveis é infinito… mas,                              como inclui um caminho infinito e outros mais…é maior                                    que o conjunto de atalhos de um único caminho infinito.

Quando se fala em infinito…a noção é abstrata. Um exemplo da brincadeira é a divisão  por zero. Sabe-se que numa fração, mantendo-se sempre o mesmo numerador, quanto menor o denominador, maior o resultado. Assim, 10/2 é menor que 10/1, que é menor  que 10/0,5… A primeira equivale a 5, a segunda, a 10, e a terceira, a 20 Seguindo o raciocínio o que aconteceria se o denominador tendesse a um número infinitamente pequeno? Fácil, o resultado seria infinitamente grande. Como o número mais próximo        do infinitamente pequeno é o zero…qualquer número dividido por zero…daria infinito, certo?…Errado…Para os matemáticos, essa operação tem um resultado indeterminado, pois Zero ainda é diferente de infinitamente pequeno…por mais próximos que estejam.

A realidade matemática                                                                                                              ‘O truque do infinitamente pequeno pode ajuda a resolver problemas matemáticos, mas não contorna a ‘proibição’ da divisão por zero…Com efeito…quando o assunto é física – fica ainda mais difícil achar que o “infinito” vai resolver problemas…em vez de criá-los’.

A despeito da “célebre frase”…de Galileu Galilei, segundo a qual…leis da natureza são escritas na “linguagem matemática”, físicos sabem que nem sempre equações matematicamente consistentes possuem correspondência com a realidade. — Por exemplo… – é possível fazer modelos de universo…de 48 dimensões – sem razão qualquer para acreditar, que algo assim, em algum instante possa mesmo existir.

Algumas vezes a matemática diz coisas que não estão no mundo real; e essa é a diferença entre físicos e matemáticos. Uns estão preocupados com o que existe, e outros com o que pode ser expresso com números e equações… — independente de comprovações práticas. Sobre esse assunto, cabe ressaltar que, entre os matemáticos…o “infinito” já adquiriu um status, mas ainda não conseguiu ganhar os físicos. Por quê?…Simples, diz Mário Novello, físico relativista e cosmólogo do… “Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas”…(CBPF/RJ):

“Toda observação se concretiza em uma medida, que,                      certamente…por ser mensurável… – deve ser finita.”

Não só pela intuição, mas sobretudo pela prática, físicos aprenderam que, quando suas equações teóricas começam a indicar “coisas infinitas“… — há algo de errado com elas; conforme explica Paul Steinhardt… – físico da “Universidade de Princeton” – nos EUA:

“Existem exemplos famosos…A teoria usual trata o ar como um fluido, mas se você tem uma ‘onda de choque’, aquela teoria prevê um aumento infinito de energia e densidade. Nós sabemos que isso acontece porque a teoria deixou algo de fora — o ar é na verdade feito de átomos indivisíveis, e quando incluímos esse fato numa teoria aperfeiçoada…a infinidade vai embora. — Então…a descrição fluida do ar é boa para muitos propósitos, entretanto… — quando a infinidade aparece… — precisamos de uma teoria melhor.”

Exemplo clássico: a teoria usada para explicar como elétrons e fótons trocam figurinhas; chamada ‘eletrodinâmica quântica‘. Previsões ‘arredondadas’, feitas com ela batiam com    a realidade, mas eram pouco precisas. — Ao tentar fazer os cálculos exatos, com todas as variáveis corretas…aparecia um monte de infinitos na equação… – que fazer?…Em 1948, os físicos Julian Schwinger e Richard Feynman tentaram resolver a situação criando o truque da renormalização”. A técnica consiste em calcular interações entre fótons e elétrons, retirando das contas aqueles resultados infinitos. — Usando tal procedimento “sobrenatural” eles facilitaram o desempenho da“eletrodinâmica quântica” obtendo previsões com uma precisão de 1 parte em 10 bilhões. Mas o único problema…é que eles trapacearam. Matematicamente a técnica de fato é questionável…como dizia Paul Dirac:

“Em matemática se despreza uma quantidade quando ela é pequena, e não por ser infinitamente grande e indesejável!”. Mas funciona, e é isso que interessa para a          maior parte dos físicos…Tendo uma teoria sucesso em prever fenômenos naturais,            ela é considerada eficiente; independente de seu grau de consistência matemática.

big-bang

A fronteira da infinitude

Apesar disso, nem todos os casos que lidaram com a infinitude tiveram um final feliz. Hoje os físicos se debatem com um grande problema… — Como explicar o surgimento do universo pela teoria Big-bang? A ‘relatividade geral’ sugere que o início de tudoé como o centro dos “buracos negros”, uma “singularidade”…Uma região em que a densidade de matéria e energia é…infinita. Trata-se de uma forma bonita de dizer que lá…leis da física…tais como as conhecemos, simplesmente não funcionam… – E, sobre isso… Steinhardt tem a seguinte explicação:

“No ‘big-bang’ acontece a aparição de temperatura e energia infinitas. E quando isso acontece em um sistema … nossas leis e equações físicas não servem para nos dizer o que pode ocorrer antes, ou depois do fenômeno”.

Considere, por exemplo, um princípio-chave da física – a “conservação da energia“. Somando toda energia antes e depois de um evento, elas precisam ser iguaisEsse é um princípio poderoso. Ajuda engenheiros e cientistas em geral a planejar reações químicas, calcular o rendimento de carros… e até construir geladeiras. Ter certeza de que a energia não desaparece, só se transforma, dá uma baita tranquilidade e poder de cálculo. Mas só funciona se a energia total for finita. Já a teoria ‘Big-Bang’ afirma o começo do Universo, como uma partícula infinitamente pequena que continha uma quantidade infinitamente grande de energia. – Em casos assim… adicionar ou subtrair qualquer quantidade finita, ainda dá infinito. Não há limitações… E não é só um problema de não se conseguir fazer previsões. Como não é todo dia em que acontece uma ‘situação física’, em que se pode adicionar ou subtrair tanta energia quanto quiser, é considerada fisicamente impossível.

A infinidade que surge no centro de um ‘buraco negro’ ou no detonar do                            ‘big-bang’ é vista como uma quebra no entendimento da físicadesde a                              ‘mecânica newtoniana’ – até a ‘relatividade geral’…criada por Einstein.

O incômodo conceito de infinito                  Sem nos livrarmos desse infinito…jamais entenderemos como o universo começou.

Talvez o único contexto em que os físicos não se sintam tão desconfortáveis ao falar do infinito… seja o comprimento do Universo. Até onde vai o universo? Ele é finito ou infinito?…Todos dados observáveis — indicam que ele se estende numa linha reta para qualquer direção que se olhe; ou seja, seria infinito. Mas, há uma pegadinha aí: a palavra ‘observáveis’. Se você chamar um físico,   e perguntar se “o universo é finito ou infinito?”, ele deverá responder…“Não sei”. E a razão para essa resposta – na verdade, é que isso não faz a menor diferença… — como argumenta Novello:

“A infinitude é descartada, no sentido observacional, graças à limitação da velocidade da luz, que faz todo cenário cosmológico possuir um horizonte, do qual, o que está além, não é observável nem afeta as medidas. – Aí, portanto… essa infinitude não traz problemas.”

Ou seja, tudo o que podemos dizer a respeito da geografia de grande escala do Universo, é que ela se estende por todas as direções de forma mais ou menos plana até onde podemos enxergar. O nosso horizonte de observação é limitado pela velocidade da luz (que, aleluia!, é finita)… – Como o Universo tem uns 14 bilhões de anos, desde o big-bang, a luz que teve tempo de chegar até nós só pode ter vindo, no máximo…de uma distância de 14 bilhões de anos-luz. – Ou seja…o que existe além disso está fora do nosso…”universo observável“.

O interessante é que essa ideia não é muito diferente de um buraco negro, que também possui um chamado “horizonte de eventos”…além do qual não se pode enxergar nada. Talvez a situação de um…”buraco negro” – objeto tão compactado e denso que nada pode escapar dele…nem a luz – seja uma ótima analogia para o nosso Universo. – E nesse caso, nosso Universo estaria dentro de um deles?…Há quem especule que o surgimento de BNs dê origem a “universos bebês”… cada qual com seu próprio conjunto de leis físicas – suas próprias galáxias, estrelas, planetas, e por que não dizer?… pessoas. Especula-se também que a natureza estranha da mecânica quântica – em que nada acontece com certeza; mas tudo tem alguma…”probabilidade“…de acontecer aponte na direção da existência de infinitos “universos paralelos”… cada um ligeiramente diferente do outro, representando todas combinações probabilísticas … para cada uma das partículas existentes no Cosmos.

7 “dúvidas sobre o infinito” 

1. Todo infinito tem o mesmo tamanho?

Acredite se quiser… Não. O matemático George Cantor mostrou que há grupos infinitos maiores que outros. São os ‘números transfinitos‘. – Ao menor deles, Cantor nomeou “alef” zero, ao seguinte, “alef” um…e assim por diante…Por exemplo… – o conjunto dos “números naturais” (1,2,3,4…) é infinito… O dos nºs reais também Mas, se colocarmos seus elementos lado a lado, os reais (com frações, etc.) terá mais elementos que naturais.

2. Um espelho diante do outro mostra o infinito?

Essa é outra situação em que a teoria e a prática divergemMatematicamente, a luz seria refletida infinitas vezes, produzindo infinitas imagens dos espelhos. Ocorre que o próprio comprimento de onda da luz é finito, então há um limite para o tamanho das coisas que a luz pode iluminar… – Se fosse possível dar um “zoom” absurdo na imagem, chegaria um ponto em que a luz não teria mais como continuar produzindoesses reflexos adicionais.

3. Quanto é infinito vezes infinito?

Infinito vezes infinito é igual a infinito. Embora existam conjuntos infinitos maiores ou menores (lembre-se do conceito de ‘números transfinitos‘ de Cantor)… sempre que multiplicar um infinito desses por outro, o resultado será infinito…E ainda, multiplicar infinito por um número finito – o resultado ainda será tão infinito, quanto de costume.

4. Infinito pode ser dividido?

Sem problemas. – De um conjunto infinito pode-se tirar infinidades de ‘conjuntos finitos’… e…até levar conjuntos que sejam, eles próprios infinitos. E mais… ainda que perca partes … ele seguirá sendo infinito.

Imagine um hotel com infinitos quartos, mas que esteja lotado. Se o gerente precisar arrumar um lugar para um recém-chegado – basta empurrar todos os ocupantes um quarto a frente. Assim a suíte 1 ficará disponível. E no infinito sempre cabe mais um.

5. Existe diferença entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno?

Sim, e é uma diferença praticamente infinita…O infinitamente grande tende ao infinito, enquanto o infinitamente pequeno tende a zero… – embora ambos sejam infinitamente imensuráveis. Matematicamente, o primeiro é simplesmente infinito, e o segundo seria uma unidade dividida por infinito. – Um tratamento possível para coisas infinitamente pequenas foi descoberto com o “cálculo infinitesimal“… por Newton & Leibniz… – Já o tratamento de números infinitamente grandes … ganhou força depois de Georg Cantor.

6. Afinal de contas, o que é o infinito?

Para o matemático Georg Cantor… que foi o ás das infinitudes, um grupo de números infinitos é tal que seus elementos podem ser pareados com alguma parte de si mesmo.   Por exemplo, o conjunto de todos os números inteiros pode ser posto lado a lado com     seu subconjunto composto só por nºs pares. Ambos se correspondem “ad infinitum“.

7. Uma reta tem mesmo infinitos pontos?

Na teoria matemática, sim…Na prática, não. Os físicos estão cada vez mais convencidos de que todas as unidades da natureza são compostas de ‘partículas indivisíveis’… de tamanho mínimo. Essa é a base da mecânica quântica, e hoje a maioria dos cientistas desconfia que até mesmo o espaço e o tempo possuem unidades mínimas … ‘indivisíveis. (texto base**********************************************************************************

O INFINITO TRANSCENDENTE                                                                                              O conhecimento que a geometria almeja é o do eterno… – e não do perecível e efêmero; assim, ela cria o espírito da filosofia, elevando a alma até à verdade – erguendo para o alto, o que tem uma infeliz tendência a cair.” [Platão, ‘A República’ (Sócrates e Glauco)]

A descoberta dos “incomensuráveis”por Pitágoras gerou – além da ruína total de sua escola, uma grande reviravolta na ordenação matemática do Cosmose no modelo do ‘Universo grego. Isto ocorreu ao a “incomensurabilidade” dar lugar ao infinito … e as civilizações antigas não sabiam ainda, como abordar tal conceito.

Buscando uma nova compreensão do mundo na qual o infinito pudesse ser desprezado, Parmênides passou a distinguir … aquilo que era objeto puramente da razão… o que chamou de ‘verdade‘ – daquilo que era dado pela ‘observação dos sentidos … que denominou…opinião. — Desta oposição… historicamente… se iniciou o grande debate sobre a verdadeira fonte do conhecimento, que ainda hoje repercute no meio científico:

As relações entre razão e experiência – entre teoria                                             e prática – assim como… idealismo e materialismo.

Ao ‘existente’… comprovado através da razão…Parmênides reconhece as seguintes características… – unidade, homogeneidade, continuidade, imobilidade e eternidade (relegando ao que é dado pela opinião, todos os outros atributos contrários). A partir dessas concepções, e do fenômeno da ‘incomensurabilidade’, Zenão de Eléa postula           a “impossibilidade do movimento” – ou seja … a ocorrência da incomensurabilidade implicando o infinito…o que, paradoxalmente, implicava também na ‘imobilidade‘.

Por outro lado, Heráclito, contemporâneo de Parmênides, afirmava que tudo no Universo é movimento… – nada permanece imóvel… – tudo muda, se transforma.

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Atrelados ainda à concepção materialista do Cosmos…os esquemas de Parmênides    e Heráclito não conseguiram explicaro “sensível pelo sensível“; ‘o material pelo material‘, o que afinalprovocou perplexidade aos gregos, em sua própria concepção de Universo…Até que Platão revoluciona tudo – ao enfrentar o antigo problema…da realidade, e aparência das coisas; da unidade…e pluralidade do ser.

Partindo da teoria do Eleata (Parmênides) – o grande filósofo grego consegue dar novo rumo à questão da inteligibilidade do Universo, pela ‘imaterialidade do supra-sensível’.  Dessa maneira, estabelece a existência de 2 ‘planos do ser’ – um fenomênico…visível;      e outro, invisível…captável apenas pela mente; puramente inteligível. – E então, com essa distinção entre 2 planos o sensível e o inteligível, a antítese entre Parmênides        e Heráclito foi, em definitivo, finalmente superada — o que, de fato significava que:

‘A verdadeira causa que explica tudo não é algo sensível…mas inteligível’…Platão              chamou essa causa…não física, de ‘Ideia’…que (literalmente) significa…‘forma’.

A ciência e a filosofia na Grécia – lendo na cartilha de Platão, impuseram-se então…no transcurso do século V para IV a.C, duas limitações fundamentais a rejeição do devir como base de uma explicação racional do mundo… e, a rejeição do manual e mecânico, para além do ‘domínio cultural’…  Estas 2 limitações vão restringir profundamente a possibilidade da construção científica do ‘Cosmos’ pelos povos gregos… – pois além da ‘matemática’…que banindo o infinito de seus estudos, impossibilitou o tratamento dos ‘sistemas dinâmicos de movimento’também a ‘física’, ao banir a experiência sensível      de sua metodologia… – tornou impossível um tratamento objetivoe preciso do devir.

Na matemática grega, a ausência da ideia do infinito gerou ainda a total                            geometrização de seus fundamentos; prova disso é a obra Os Elementos.

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Com efeito… é óbvio que o motivo do desprezo dos gregos pela experiência estava na falta de habilidade no trato com o infinito; daí, em consequência, sua incapacidade em desenvolvera ‘ciência física’. Apenas com Galileu,      e seu ‘método científico’…e Newton, com o ‘cálculo infinitesimal’ se torna possível obter adequado ‘tratamento científico’ aos processos infinitos,      e assim, aos ‘sistemas dinâmicos’.

Atualmente…a física moderna enfrenta grande dificuldade na construção de uma teoria que combine ‘gravidade com ‘mecânica quântica‘… Nesta empreitada, o infinito é o ‘grande vilão’…Os cálculos das ‘flutuações do estado fundamental’ (menos energético) nos “campos de Maxwell“…tornam aparentemente…’massa’ e ‘carga’ do elétron infinitas;  contrariando as observações… No enfrentamento do problema, a física passou a utilizar vários tipos de “simetria tentando cancelar os infinitos resultantes dessas flutuações.

Assim, é surpreendente constatarmos que esse problema com o infinito – o mesmo que obrigou os antigos gregos a revolucionar sua abordagem do Universo, também é hoje, fundamental na ‘teoria da grande unificação’; e deverá novamente, obrigar o Homem     a mudar radicalmente suas ideias sobre o Universo… assim como, seu próprio mundo.

fontes: ‘Infinito e a Pesquisa Científica’ ‘Filosofia e Apologética’ *************************************************************

Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979.
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