Da ‘não-linearidade’, ao paradigma da Complexidade

“Em matemática – a palavra ‘existir’ possui apenas um sentido… que significa ‘isento de contradições’…Assim, se dispomos de um sistema de postulados e podemos demonstrar que esses postulados não implicam contradições, temos então o direito de considerá-los como a definição de uma das noções que neles aparecem. Se não pudermos demonstrar esse fatoserá necessário admiti-lo sem demonstração – e, isso seria então um axioma;  de modo que se desejamos buscar a definição por trás do postuladoacabaremos por encontrar o axioma…por baixo da definição”. *********** (Henri Poincaré) ***********

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‘Sunrise by the Ocean’, Vladimir Kush

Chaos is the score…upon which reality is written.” (Henry Miller, ‘Tropic of Cancer’)

Na Mitologia grega Caos é o inexplicável abismo desconhecido e inalcançável – estado primordial de Desordem Antes de tudo só existia o Caos“,  já dizia Hesíodo em sua ‘Teogonia, há 800 anos (antes de Cristo)Segundo a crença – este Caos evoluiu para um gigantesco “ovo primitivo“, a partir do qual surgiram… o Céu… a Terra… e, os Deuses. – Muitas outras cosmogonias…além da grega (de hebreus a iorubás) relatam o início da ordem vinda da desordem – como alguma coisa incógnita e latenteà espera da ‘precipitação’… – Os gregos porém, ao conceberem um início desordenado, também criaram a linguagem da ordem…Pitágoras (571 – 497 a.C.), talvez seu maior entusiasta, define “matemática“… – como a “linguagem geométrica da natureza”, sob a égide dos “princípios lógicos”…edificados a seguir pelos “sistemáticos”… Sócrates (470 – 399 a.C.) … Platão (428 – 348 a.C.) … e Aristóteles (348 – 322 a.C.).

É no período sistemático que os conceitos de ciência e inteligibilidade são criados. Assim, é desvelada a natureza; conjugam-se linguagem e pensamento…matemática e ciência. Ao longo dos séculos dos naturalistas pré-socráticos…aos cientistas modernos…a ciência é construída como expressão máxima da razão e ordem naturalatravés dos harmoniosos movimentos keplerianos regendo órbitas planetárias, forças newtonianas dinamizando    o determinismo do movimento; e ‘referenciais galileanos exibindo a simetria subjacente.

O problema dos 3 corpos… (um dissimulado comportamento aleatório)                            Não só Poincaré deu luz às vicissitudes do movimento … como, curiosamente, todos            os métodos interpostos por ele permitiram uma compreensão sobre os movimentos ordenados – ditos integráveis… que são a ‘minoria absoluta’ dos sistemas naturais.

Já na segunda metade do XIXa evolução da teoria cinética dos gases resulta na criação de um modelo estatístico para sistemas com alto grau de liberdade. Maxwell atribui certo aspecto de incerteza intrínseca, ao conhecimento baseado em estatísticas Em 1890, Henri  Poincaré (1854-1912) – considerado “o último universalista da matemática…numa publicação de 3 volumes … descreve o ‘imprevisível‘ comportamento orbital do famigerado problema dos 3 corpos. Trata-se de ‘estudos gravitacionais’ sobre mecânica celeste, no que hoje se conhece como…”sistemas dinâmicos“.  Aplicando ‘métodos topológicos’ ao estudo dinâmico do espaço de fases, abriu-se os olhos à complexidade dos fenômenos que regem a natureza… Ao estudar a ‘estabilidade’ dos sistemas mecânicos (no ‘problema dos 3 corpos’ do sistema planetário), Poincaré assim demonstrou seu famoso…“Teorema da Recorrência:

Qualquer sistema de partículas…com forças de interação dependentes apenas              das posições (r) sempre retorna, depois de longos períodos de tempo (t) a uma                vizinhança … arbitrariamente próxima de suas ‘condições iniciais’ de partida”.

Esse teorema…além do estudo da estabilidade do sistema solar – realizado entre 1892 e 1899…e apresentado em ‘Les Méthodes nouvelles de la Mécanique Celeste’, e ‘Leçons de Mécanique Celeste’, foram os argumentos (geométricos e topológicos) que, fizeram com que Poincaré percebesse a incrível sensibilidade do movimento de corpos em relação ao seu ‘estado inicial‘ no sistema físico…Essa sensibilidade foi, posteriormente, chamada “caos clássico determinístico“… [‘Entropia, Caos (Clássico e Quântico) e Fractais’]

Além da Astronomia, regendo o movimento de corpos celestes, o dissimulado ‘Caos’ apresentava-se em outros diversos campos, como Biologia (no estudo de dinâmicas populacionais e equilíbrio ecológico)…Meteorologia…Química…e nos denominados sistemas complexos, que tratam do comportamento de aglomerados de diversos entes…”auto-interagindo”…na fronteira entre o domínio clássico e o caótico. – Esse comportamento aleatório e imprevisível ocorre, por exemplo, com o movimento de          uma molécula em um gás, denominado ‘movimento browniano‘. Nestes casos o pensamento convencional admitia ser a…aleatoriedade…mais aparente que real, surgindo da nossa ignorância sobre os vários agentes em jogo… – Noutras palavras, acreditava-se que o mundo era imprevisível porque era complicado. Por outro lado,            a noção de determinismo associada ao movimento de um pêndulo…órbita de um planeta, ou balística de um foguete… – por exemplo – sugere…“previsibilidade”.

Esta noção de “determinismo” é aceita desde os tempos de                        Newton (dadas as condições iniciais do objeto…é possível                            prever então – seu comportamento…e trajetória futuros.)

O determinismo newtoniano…com suas leis do movimento…exemplifica o sucesso     da Ciência em explicar de modo simples… o que antes parecia complicado. Nas últimas décadas do século XIX porém… começou-se a notar que vários sistemas físicos, mesmo regidos por leis bem estabelecidas – mostravam comportamento bastante imprevisível, dando lugar ao “indeterminismo quântico” da dinâmica das “ondas de probabilidades”. 

O ‘modo caótico’ da mecânica quântica                                                                                A união dos fundamentos da física teórica com a criteriosa matemática,                                 culmina nos trabalhos iniciados pelo assim chamado‘espaço de fases’.       

O final do século XIX e início do XX foram pródigos em turbulências científicas  não só o Caos, mas o advento da mecânica quântica também abalou os pilares científicos. A sua história por sinal…é atribulada, cheia de sobressaltos, estranhas conjecturas, acidentes em laboratórios, e muitos equívocos… todavia é hoje considerada uma teoria tão bem fundada quanto a…”mecânica clássica”; dispondo de uma rigorosa ‘precisão experimental’apesar de acalorados debates sobre sua própria consistência e interpretação de seus resultados.

Duas décadas e meia após a hipótese de Planck — da ‘quantização de  radiação’, Schrödinger… conforme princípios da analogia ótico-mecânica, e das ondas de matéria de De Broglie, deduz então…a equação que leva seu nome e… dá as cartas na dinâmica quântica do mundo microscópico. A aliança dessa equação de ondas materiais” … com as ideias de  BohrPauli, DiracHeisenberg… e muitos outros, faz estabelecerpor fim,  as regras da… mecânica quântica‘, assim como hoje…a podemos conhecer. 

Com a mecânica quântica abolindo o conceito clássico de trajetória, é natural perguntar como associar o caos aos sistemas sob o domínio do mundo microscópico. E a resposta está presente no que conhecemos como ‘caos quântico‘; termo criado para designar o conjunto de métodos e teorias que lidam com o ‘modo caótico’ da mecânica quântica.    Esta nova ciência possui entre suas ferramentas a teoria semiclássica…que associa estruturas geométricas no ‘espaço de fase’ ao aspecto probabilístico do mundo quântico; como também… – oprincípio da correspondência” de Bohr…um dos mais importantes elementos de ligação entre sistemas clássico e quântico (sejam eles caóticos ou não).

Atualmente se estuda – teórica e experimentalmente… a “decoerência quântica(influência que o ambiente externo exerce sobre um sistema quântico – levando-o, gradualmente, a se comportar de modo clássico).

A natureza termodinâmica do Caos                                                                                         “É no ‘limiar do caos’…com liberdade suficiente para criar…e estrutura suficiente para    não desmoronar, que os sistemas mostram sua melhor produtividade” (Ilya Prigogine)

O Caos é hoje definido como um complexo processo qualitativo não-linear, caracterizado pela aparente imprevisibilidade comportamental – bem como, pela super sensibilidade a pequenas variações nas condições iniciais de um ‘sistema dinâmico’… – Os estados deste processo podem ser quantificáveis e previsíveis, pela utilização de modelos matemáticos, analíticos ou numéricos…que descrevem o sistema utilizando ‘equações não lineares‘.  A nova dinâmica, sensível à ligeira diferença inicial, torna o espaço de fase, um mar de desordem…situações quase idênticas se tornam insólitas…imprevisíveis. Não obstante, o comportamento não é alheio ao ‘determinismo’, pois o conhecimento do estado anterior continua permitindo a conclusão do posterior…e vice-versa… — Portanto…a criatividade inerente ao caos insinua um senso estético – como uma…”sensibilidade harmônica“.

ilya-prigogine O estudo da termodinâmica deu um grande impulso à ‘Teoria do Caos’. Ilya Prigogine, cientista estudioso da ‘termodinâmica‘, dizia que a organização pode vir espontaneamente – até do caos; criando novas estruturas… num  processo de “auto-organização”.

A Teoria do Caos realça a necessidade de se organizar, para criar (em vez de processar) informações para a auto-renovação; de gerir a capacidade de mudar, em vez de gerenciar as mudanças… Sugere que os processos estratégicos devam ser usados incluindo dúvidas, pois o foco deve ser na criação de informação – e não em seu simples processamento.    Para Prigogine – um sistema pode estar…‘perto’…‘distante’…ou ‘em equilíbrio’…Um sistema em equilíbrio não gera nova informação … só processa a informação já existente, sem transformá-la. Um sistema perto do equilíbrio gera uma informação mínima; muito lentamente apenas adaptando-se; enquanto um sistema distante do equilíbrio, não só se adapta, como produz muita informação, evoluindo rapidamente até criar…”revoluções

A ‘sustentabilidade’ surge dos processos que mantêm as partes                                      conectadas, e não de arranjos estruturais que impõem a forma. O                                  desequilíbrio (‘processo dissipativo’) é tido como “fonte de ordem”.

O Atrator Caótico de Lorentz                                                                                Sistemas lineares…possuem importante virtude modular… podem ser montados, e desmontados… – que suas peças sempre se encaixam novamente… – suas relações são estabelecidas graficamente através de uma linha reta – onde… ‘quanto mais…melhor’.  Sistemas não lineares por sua vez, não podem ser solucionados, nem somados uns aos outros. Em suma, a ‘não linearidade’ significa, que o ato de jogar o jogo… de certa maneira…modifica suas próprias regras”. (James Gleick “Caos, uma nova Ciência”)

Assim denominada pelo físico James Yorkea “Teoria do Caos“…teve seu início nos estudos do meteorologista Edward Lorenz – com “previsões climáticas”. Ele descobriu,        no início dos anos 60, que o previsível modelo termodinâmico clássico de convecção    de calor (ar quente sobear frio desce) indicava uma imprevisibilidade intrínseca.  Em 1972, numa palestra do “Programa Atmosférico Global de Pesquisa” – sob o título: “Previsibilidade…o bater de asas de uma borboleta no Brasil – provoca um tornado no Texas?”Lorenz consegue mostrar que, com equações envolvendo apenas 3 variáveis: temperatura pressão atmosférica e velocidade dos ventos, poderia fazer previsões meteorológicas…Tal condição de imprevisibilidade e sensibilidade do sistema às condições iniciais, como uma reação em cadeia…foi denominada “efeito borboleta“.

O ‘efeito borboleta’ é um clássico exemplo do fenômeno que faz parte da ‘conspiração’ da Natureza chamada ‘Caos‘. Em termos simples, significa que, em sistemas complexos como o atmosférico, envolvendo um número muito grande de variáveis ‘entrelaçadas’,  qualquer perturbação – por menor que seja…numa das variáveis… – pode ter efeitos…e,  desdobramentos completamente imprevisíveis… e catastróficos… – O elemento comum nesses sistemas é um alto grau de sensibilidade às condições iniciais…É justamente este aspecto que tem despertado um grande interesse…por sua grande utilidade em diversos campos do saber…permitindo a melhor compreensão do comportamento de sistemas complexos, como por exemplo… a Sociedade, a Economia, o Clima…e o Meio Ambiente.

Atrator é uma região (subconjunto) do espaço de fase de sistemas dissipativos para a qual tendem as trajetórias que partem de determinada região. É como um campo de força que exerce uma certa atração numa determinada região do espaço. Os atratores representam o processo de auto-organização dos sistemas.

Atrator é uma região (subconjunto) do espaço de fase de sistemas dissipativos para a qual tendem as trajetórias que partem de determinada região. É como um campo de força que exerce uma certa atração numa determinada região do espaço. Os atratores representam o processo de auto-organização dos sistemas.

O famoso “Atrator de Lorenz”, no espaço 3D — é um “campo de força”, como se fosse um “campo magnético” – apresentando uma zona de convergência, para onde  certas trajetórias…são induzidas.  A previsão meteorológica… p/ex, é representada em uma fórmula, com ‘pressão’…’temperatura’…e, ‘velocidade dos ventos’, que…no computador – forma uma figura (ao lado)… – pela qual podemos  saber…se numa certa região, vai chover amanhã, ou depois. (Um ponto viajando nessa figura, vai passar de um lado para o outro, até chegar no meio dela. – E, aí ficar ziguezagueando no espaço)

Apesar da 2ª lei Termodinâmica afirmar que sistemas fechados tendem à desordem,        um dos maiores achados da ciência da complexidade foi mostrar que alguns desses sistemas — (‘atratores caóticos‘) — tendem à ordem… — Daí… a expressão ‘Caos Determinístico’ começa a fazer algum sentido…com a sensibilidade crescente do sistema às — condições iniciais — determinando o seu…’comportamento caótico’.

Fractais“Caos Determinístico”e suas aplicações                                                      “Fractais são importantes ferramentas na aplicação da ‘teoria do caos’ – mostrando a ocorrência de periodicidade em eventos nos sistemas naturais – mesmo quando não a enxergamos, devido a um reduzido tempo de observação”. (Lara Tassi & Rafael Neto)

Não obstante, aplicado ao estudo de fenômenos caracterizados pelo comportamento não-linear, qualitativo, dinâmico, instável, aperiódico e impredizível, um ‘sistema caótico não é aleatório e nem desordenado. Existe uma ordem…um padrão no sistema como um todo – definido por uma equação matemáticaque, embora não linear, define o seu comportamento. (Cientificamente, os estudos de Lorenz mostraram esse determinismo)  Esta equação pode ser representada graficamente pela figura do ‘atrator‘ (acima)…Por ele, a ‘Teoria do Caos’ permite que vejamos ordem e padrão; onde antes…numa visão reducionista de mundo…só se via… aleatoriedade… irregularidade… e imprevisibilidade.

Com a ‘visão complexa’ de mundo…a realidade tem uma irregularidade regular…uma imprevisibilidade previsível…e, uma desordem ordenada.        Os famosos ‘fractais’, sendo quantificados por equações com variáveis sensíveis às condições iniciais – por meio da…”computação gráfica“,        já podem proporcionar enormes avanços nas mais diversas direções.     

O nº de variáveis interdependentes  (ocultas) em sistemas complexos…é enorme…e, decerto… – conhecemos somente… uma pequena parte delas. Entretanto… a Física Teórica – e… a Matemática… em especial, têm feito grandes progressos na área… Assim, torna-se possível… que – a partir da maior compreensão dessa dinâmica, possamos ter um maior controle… e previsibilidade sobre esses sistemas.

A ‘Teoria do Caos‘ hoje, tornou-se fonte de respostas como também de controvérsias,    em diversas áreas – da ‘física nuclear’ à teoria dos nºs primospassando inclusive pela epistemologia conceitual da mecânica quântica. – E ainda, com o considerável controle tecnológico em experimentos sob escala microscópica…mais tópicos foram aí incluídos.    A ‘economia‘, globalizada e informatizada…é um bom exemplo de “sistema complexo” sujeito ao caos. — Com o mundo dos negócios…nas últimas décadas…sofrendo grandes transformações, onde atualmente todos Países se interligam via Internet, em um único Mercado Global…“administrado” por transferências online de capital, que podem se propagar eletronicamente…de modo a causar megaperturbações na economia mundial.      Sob tais circunstâncias, a Teoria do Caos parece ser a ferramenta mais adequada para lidar com a complexidade do mundo atual, colocando em xeque noções tradicionais de equilíbrio econômico, como consequência de um processo midiático de ‘realimentação’.

A supressão das barreiras comerciais entre os Países foi inicialmente admitida como um meio para beneficiar a todos. Contudo, este conceito é questionável, pois não são apenas dois Países a interagir, mas todos eles…e os indivíduos do Mundo. Assim, este sistema altamente complexo e dinâmico, necessariamente, não produzirá equilíbrio. Por mais    irônico que possa parecer… o plano mais bem intencionado e elaborado objetivando o equilíbrio, pode perfeitamente conduzir ao cenário oposto…isto é, ao Caos…Contudo, os fatores de risco – antes debitados exclusivamente na conta do acaso – possuem agora, identidade e, uma teoria – que mesmo sendo jovem é, sem dúvida, bem promissora.

distribuição gaussiana

A curva dos preços do algodão        Mandelbrot trabalhava na IBM; e usou        os computadores de lá…para processar        todos dados para os preços do algodão.

Quando você pensa numa determinada  mercadoria, qualquer que seja, você sabe que seu preço ora sobe, ora desce; e dado um intervalo considerável de tempo, este preço se comporta de forma imprevisível.

Tal imprevisibilidade a longo prazo pode ter várias causas, tais como, mudança de regras comerciais; expectativa de uma falta iminente da mercadoria; ou ainda, retração geral da economia, etc. – Entretanto, de modo geral…os preços devem variar de forma aleatória e ordenada… — Paradoxo… Não!… — Numa micro-escala … de curto prazo … os preços se comportam desordenadamente contudo…numa escala macro, a longo prazo, há certas tendências ordenadas, tais como, por exemplo, quando há um longo período de recessão.

Quando um estatístico estuda certos dados – como o preço de certa mercadoria, ele      utiliza uma ferramenta indispensável…um gráfico em forma de sino (acima)…que é a distribuição gaussiana, ou normal dos dados. Esta curva representa os preços de      certo produto, num certo período de tempo. A maioria desses valores discretos está          na parte central da curva, ou sejaa média. Já dos lados, a curva cai rapidamente.            O economista Hendrik Houtahkker aplicou esta … “forma de sino” … para o estudo              de 8 anos de preço de algodãoconstatando que a curva (abaixo) não se ajustava à distribuição normal perfeitamente. Estranhamente a curva se alongava, ao invés           de cair derrepente… – Poderia então… existir algum tipo de padrão nestes preços?

Dimensão fractal, estudos de preço do algodão. Fonte: Mandelbrot (2004)

Dimensão fractal, estudos de preço do algodão. Fonte: Mandelbrot (2004)

Benoit Mandelbrot, jovem matemático, algum tempo depois — foi convidado para proferir uma palestra no departamento de economia de Havard; do qual Houtahkker era professor…Mandelbrot, que por acaso, tinha em mente, uma figura bem parecida ao diagrama de preços de algodão — visto por ele…na sala de Houtahkker…concluiu    que este seria um bom conjunto de dados,    a ser incluído em seu estudo. Isso porque, além de numerosos (havia dados, de mais    de um século)…estes dados não sofriam a priori…bruscas interrupções temporárias.

Como Houtahkker já havia notado, os números mostravam aberração quanto à distribuição normal…O que era impressionante é que havia certa ordem oculta;             havia simetria em pequenas, e grandes escalas. Isto significava que a sequência                   de variações independia da escala. Vendo variações diárias… e, comparando-as                com variações mensais…podia-se então notar…uma “correspondência perfeita”.

Era isto o que Mandelbrot procurava!…  um padrão                                  onde…pensava-se…apenas existisse ‘aleatoriedade‘.

Quando a IBM começou a enfrentar problemas em suas linhas telefônicas, que eram usadas para a transmissão de dados, vez ou outra havia certos ruídos que causavam       erro nos dados transmitidos. Mandelbrot – ao analisar o problema, percebeu que os   ruídos – apesar de aleatórios, apresentavam características peculiares… – em certos períodos praticamente não havia ruídos, enquanto em outros…havia vários erros de transmissão – e mais… – em seguida a determinados períodos de erroperíodos de transmissão perfeita. Assim, portanto, a previsão dos ruídos…se tornava impossível.

Haveria uma relação deste fenômeno, com o comportamento                                              dos preços de algodão?… – Mandelbrot acreditava que sim…

A poeira de Cantor                                                                                                              “Uma das principais características dos fractais é sua ‘autossemelhança’.                          Isto porque, sua irregularidade é paradoxalmente regular. – Um pedaço                            da “poeira de Cantor“… com efeito… é semelhante ao conjunto inteiro”.

poeira-de-cantorA ‘intuição geométrica’ de Mandelbrot  era uma de suas qualidades, e ele logo associou a distribuição de erros a uma construção matemáticadenominada conjunto de Cantor, uma alusão ao grande matemático George Cantor. Tal construção é simples. Inicie com 1 linha de certo tamanho…tire o terço médio…tire o terço médio das 2 linhas restantes, e repita o processo várias vezes. O que sobra são curtas linhas, chamadas…”poeira de Cantor“.

Em termos matemáticos, sob o ponto de vista dimensional tal conceito era totalmente incomum… – Na visão euclidiana…um cubo tem dimensão 3…por apresentar largura, comprimento e altura; já a folha de papel tem dimensão 2… largura e comprimento; enquanto o fio, tem dimensão 1…apenas seu comprimento – e o ponto…dimensão 0, pois não apresenta qualquer uma dessas qualidades (largura… comprimento… altura).  Mas, quando se pensa nas formas da natureza – como contorno de um litoral – ou, de montanha — ou, mesmo, um fragmento de rocha, esta geometria se mostra deficiente. Difícil conceber objetos de dimensão 2,73 – não é mesmo?… – Mas aqui, você pode pensar em dimensões não inteiras como grau de aspereza…ou “grau de fragmentação”.    Desse modo, para descrever formas da natureza…Mandelbrot foi além das dimensões inteiras…0, 1, 2, 3, chegando a dimensões fracionárias. Mas, faltava um nome para as formas pesquisadas por Mandelbrot. Então folheando um dicionário de latim que seu          filho trouxera da escola – certo dia a palavra foi encontrada – o adjetivo ‘fractus‘, do verbo frangere (quebrar, fraturar)… Daí surgiu a palavra que revolucionaria a forma como são estudadas diversas propriedades de diversos campos científicos: (‘fractal‘).

Mas, voltando ao estudo do litoral, Mandelbrot percebeu que o grau de irregularidade permanecia constante…qualquer que fosse a escala utilizada. Isto significava que, seja      de perto, ou de longe, os padrões de forma são os mesmos … assim como os preços do algodão. Mandelbrot então…concluiu que esta abstração matemática, representava o ruído nas transmissões. Por essa razão, a solução que a IBM poderia dar era nula… a empresa deveria aceitar a inevitabilidade do fato, e usar estratégias redundantes para descobrir os erros… e corrigi-los. (“Sistemas complexos” => “equações não-lineares”)

A metáfora do Caos                                                                                                                      Tão geral foi a teoria disseminada por Poincaré que, apesar dos 150 anos decorridos         de sua invenção como ciência — nos faz crer que ainda há muita coisa por se revelar.

A princípio aplicada ao entendimento dos “mecanismos de formação” … dos fenômenos geofísicos — a ‘Teoria do Caos agora se aplica a tudo…desde a medicina, até dinâmica social … além das teorias biológicas. Desse modo, o  Caos está deixando de ser uma teoria científica, para se tornar metáfora cultural. E, como metáfora… – nos faz questionar — as mais “arraigadas suposições”… suscitando indagações, sobre a própria noção de realidade.

Na tentativa de compreender os movimentos que criam tempestades … rios turbulentos, furacões, picos pontiagudos, litorais nodosos e todos tipos de padrões complexos, desde deltas de rios, até os nervos e vasos sanguíneos do nosso corpo…a “metáfora do Caos” revela que – além (e entre) das nossas vãs tentativas de controlar… e definir a realidade,  situa-se o infinito…ambíguo, e aleatório reino da vida real – onde coisas aparentemente minúsculas e insignificantes podem vir a desempenhar papel fundamental, na forma como tudo se desenrola. Sendo a sociedade moderna obcecada por conquista e controle      do mundo à sua volta, para tanto quer valer-se da ciência… Todavia, sistemas caóticos e não-lineares…como a natureza, a sociedade – e a vida de cada indivíduo… transcendem qualquer tentativa… de previsão… manipulação… e controle… E, como diz Prigogine:

“Penso que a criação do universo é…antes de tudo, uma criação de possibilidades…das quais algumas se realizam, outras não. As escolhas, possibilidades, a incerteza… são ao mesmo tempo uma propriedade do universo, bem como da própria existência humana”.

texto base:Contextualizando o Caos‘ (Fernando Nicácio Boiúna)  ******************************************************************

http://www.ihu.unisinos.br/noticias/noticias-anteriores/37462-benoit-mandelbrot-e-a-fractalidade-do-mundo

Benoit Mandelbrot

Mandelbrot e a “Entropia Caótica”

Embora Poincaré, numa tentativa de “pôr ordem” ao problema dos 3 corpos tenha dado o ‘pontapé inicial’,  a primeira corrente científica a reconhecidamente se preocupar com uma formulação teórica do Caos, foi  a Cibernética. De fato, autores como Norbert Weiner, caracterizaram o ‘Caos’ através da entropia, e assim puderam estudarsuas propriedades características.  Filha da Cibernética e ‘teoria da informação’, a teoria do Caos surgiu na década de 60 – das elaborações do matemático Benoit Mandelbrot, a respeito do ‘tempo meteorológico’ — e, se destacando no início dos anos 80 com um grupo de alunos da“Universidade de Santa Cruz” (EUA) — que se auto-denominaram…na época — como o… “Coletivo de Sistemas Dinâmicos”.

Os trabalhos de Mandelbrolt e dos jovens estudantes começava nos limites da ciência clássica, então extremamente influenciada pela invenção do relógio, que para muitos, simbolizava a… “ordem do universo” com seus movimentos totalmente previsíveis.      Para saber como funciona um relógio…basta desmonta-lo, e compreender como suas peças se encaixam. Igualmente para compreender a natureza a desmontaríamos para saber como funcionam suas partes…e tudo se revelaria com espantoso determinismo.

Essa visão de mundo ganhou uma metáfora no ‘Demônio de Laplace’. O cientista francês propôs quese uma consciência soubesse todos dados de todas partículas do universo, e fosse capaz de fazer os cálculos necessários…teria condição de prever seu funcionamento com perfeição. O Demônio Laplaciano teria diante de si o passado, o presente, e o futuro.  No campo das ciências humanas essa forma de pensamento foi a base da Sociologia‘: ‘Se alguém entendesse como funciona a sociedade‘…como as pessoas se relacionam entre si para formar uma comunidade, seria perfeitamente possível prever seu comportamento’.

Para demonstrar a crença na determinação, característica da ciência clássica, podemos imaginar o transito de uma cidade…Imaginemos que o departamento de transito tenha disponível todas as informações sobre o transito. – Diante de todos esses dados…e com    um computador potente o bastante… seria possível prever todas situações possíveis… e manter o transito perfeitamente ordenado … sem engarrafamentos… – Ocorre que esta situação pode funcionar na teoria… mas não na prática. – Um único motorista olhando para uma garota na calçada pode provocar um acidente…que provocará outro acidente, que provocará outro acidente, e no final… teremos um ‘engarrafamento monstruoso’.

Caos determinístico!?…

A maioria dos sistemas não pode ser determinado em virtude da assim chamada: ‘dependência sensível das condições iniciais’ (efeito borboleta). Esta expressão retrata o fenômeno, pelo qual uma ‘borboleta’ – batendo suas asas no Brasil ou na muralha da China faz provocar terremotos, ou até tempestadesem Nova York.

Parece brincadeira… mas não é. — Fenômenos em que um pequeno fator provoca grandes transformações são mais comuns do que se pensa… No campo da economia…por exemplo, teóricos do caos têm estudado a importância cumulativa de ‘boatos‘ em ‘bolsas de valores’.  Em termos filosóficos, a Teoria do Caos nos dá uma interessante perspectiva a respeito do destino… – O destino existe?…Essa questão tem inquietado pensadores desde a origem da humanidade. A ciência clássica, com seu determinismo, dava abertura para a aceitação do destino. – O demônio de Laplace podia prever o futuromas não podia intervir nele, pois todos eventos já seriam previstos. Como diz Isaac Epstein no livro “Teoria da Informação“:

“A inteligência suposta por Laplace seria onisciente, mas impotente para provocar qualquer modificação no curso dos eventos… Restaria a ela um olhar entediado do porvir, pois nada aconteceria que não fosse previsto”.

A Teoria do Caos, por outro lado, propõe um ‘sistema determinista’, mas para o qual não temos ideia sobre o que fará a seguir. Ou seja, há uma determinação, até o ponto em que um efeito borboleta incida sobre o sistemaOu seja, podemos dizer que o destino existe, mas nós o modificamos toda vez que fazemos determinadas escolhas que vão influenciar    o futuro…Podemos imaginar isso, como uma estrada com diversas bifurcações. – A cada bifurcação, a escolha daquele que caminha, muda o caminho… e, portanto, o seu destino.

fractais-1

Além dos padrões geométricos, fractais também podem descrevem processos no tempo… com vários graus de similaridade.

Padrões Complexos

Para compreender os…”fenômenos dinâmicos” (não deterministas), os teóricos do caos foram buscar na teoria da informação sua base científica Eles chegaram à conclusão de que, em lugar do Caos existem variados padrões de níveis de “complexidade” Nesse sentido, um padrão mais complexoé aquele mais caótico, enquanto o mais simples … é o mais ordenado.    A sequência 1,2,3,4… p. exemplo, é um padrão simples, sendo fácil perceber o nº seguinte5.

Um padrão um pouco mais complexo pode ser visualizado na sequência: 2,4,6,8… Muito embora seja um pouco mais imprevisível – não há grande dificuldade em perceber que o padrão é pular os números ímpares…Assim, o próximo número seria o 10. Já um padrão bem mais complexo pode ser visualizado na sequência: 2,4,8,10,14… Qual é o número seguinte?Uma análise detalhada da sequência, demonstraria que a regra é pular 2 nºs,    e…em seguida, pular 4. Assim, o número seguinte seria 16… Mas, um padrão totalmente complexo ou caótico, seria demonstrado na sequência1, 7, 10, 49, 579, 3400, 2, 5013… construída digitando números aleatórios no teclado. Mesmo a sequência sendo aleatória provavelmente terá um padrão dado por meu inconsciente – ou pela limitações de meus dedos. Podem ser necessários 500 ou mais nºs, mas numa horao padrão vai se repetir.

Para a Teoria da Informação, a primeira seqüência (1,2,3…4) é totalmente redundante, tanto que é muito fácil prever o número seguinte…Já a última sequência seria a mais informativa, com mais variedade. Teóricos do caos então concluíram que  sendo a ordem redundante… o caos é informativo.

Fenômenos como a vida e o trânsito de uma cidade são essencialmente caóticosIsso influenciou Edgar Morin a construir a teoria do pensamento complexo. Em uma frase autobiográfica — ele demonstra como o Caos (ou complexidade) envolve nossas vidas: “Quando penso na minha vida – vejo que sou fruto de um encontro muito improvável entre meus progenitores; produto de um espermatozoide salvo entre 180 milhões que,    não sei se por sorte ou infortúnio, se introduziu no óvulo de minha mãe. E cada vida é tecida dessa formasempre com um fio de acaso misturado com o fio da necessidade. Portanto não são fórmulas matemáticas que nos vão dizer o que é uma vida humana,      nem aspectos exteriores sociológicos – que a poderão encerrar em seu determinismo”.

diferentes-significadosGeometria Fractal                                    O termo “fractal” foi usado na primeira vez pelo matemático Benoît Mandelbrot, em 1975, para adaptar o conceito teórico de ‘dimensões fracionárias’ aos padrões da natureza– de forma a, similarmente, carregar os detalhes dessas ‘construções matemáticas’para as suas ‘dimensões’.

Enquanto a ‘geometria euclidiana‘ se preocupa com formas perfeitas (retas, círculos…quadrados), transformando,    em sua redundância…uma montanha    em um cone a “Geometria Fractal”, como parte da Teoria do Caos“, lida    com a imperfeição das formas encontradas na natureza  onde um raio não é definido como uma reta mas são suasirregularidadeso que interessa à nova geometria.

A “geometria fractal” de Mandelbrot ficou famosa pelos gráficos criados para representar fenômenos fractais. — Esses gráficos têm uma característica curiosa:                ao ampliarmos uma parte do desenho, ele se revela bem parecido com a imagem              maior, com mais detalhesmais informação. Outra característica dos fractais, é                que a mudança de um único númeromuda todo o desenho. É a dependência                  sensível das condições iniciais – denominada…“Efeito Borboleta”. Uma outra característica caótica é a fragmentação em padrões complexos acarretando                no acúmulo de muita informação… — em pouco tempo. (nov/2002) (texto base*************************************************************************

dimensionalidade

Uma nova geometria e um novo conceito de dimensão precisaram ser criados para explicar a geometria das formas intrincadas.

O Que São Fractais?

Fractal consiste num conjunto matemático com ‘dimensão fracionária’ … que excede a forma topológica – exibindo padrões auto-similares… — Suas curvas fractais infinitas podem ser vistas como enrolamentos no espaço… — O recurso da “similaridade” na arte fractal é análogo ao zoom na lente, de modo a ampliar imagens … para descobrir estruturas cada vez menores, nos mesmos detalhes de padrões…sempre se repetindo.

A história dos fractais se inicia a partir de estudos teóricos, com notáveis contribuições ao longo do tempo. No século 17, Leibniz ponderou sobre o conceito de…”similaridade”. Nos seus escritos, ele utilizou o termo…“expoentes fracionários”. – Em 1872, Karl Weierstrass apresentou a primeira definição gráfica de função — que hoje seria considerada…”fractal”.

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Não muito tempo depois… em 1883, Georg Cantor, que assistiu suas palestras (ver…”Teorema de Weierstrass“), publicou exemplos de subconjuntos na linha real…mais conhecidos como “Conjuntos de Cantor“, portadores de propriedades incomuns, agora reveladas como ‘fractais’.

Já em 1904, Helge van Koch estendeu ideias dos insatisfeitos com a definição abstrata e analítica de Weierstrass…para, em artigo de sua autoria publicado em 1906 definir o conceito de ‘Curva de Koch‘, a partir de um triângulo equilátero, ao invés de segmento de reta… Mais tarde, Eric Haines desenvolveu o mesmo conceito a 3 dimensões…resultando num fractal com volume de floco de neve. – Outro exemplo importante… veio uma década depois…em 1915… quando Wacław Sierpiński construiu…de uma forma ‘recursiva’…seu famoso “triângulo“.

Em 1918… 2 matemáticos franceses – Pierre Fatou e Gaston Julia… trabalhando de forma independente, chegaram…ambos… a resultados que descrevem o que agora é considerado comportamento fractal associado ao mapeamento de números complexos e iterativos das funções. Pouco tempo depois que o trabalho foi apresentado, no mês março de 1918, Felix Hausdorff expandiu a definição de “dimensão” de forma significativa…para a evolução da definição de fractais, permitindo a existência matemática das dimensões não inteiras.

Na década de 60… do século XX, Benoît Mandelbrot escreveu sobre ‘similaridade‘, em seu artigo…”The Fractal Geometry of Nature”… A ‘dimensão estatística‘ recebeu a colaboração direta de trabalhos anteriores realizados por Lewis Fry Richardson…Em 1975, Mandelbrot solidificou centenas de anos de pensamento e desenvolvimento matemático… para cunhar a palavra ‘fractal‘, e ilustrou a definição matemática, com impressionantes efeitos visuais construídos por computador… – Essas imagens capturam a imaginação popular … muitas delas baseadas em… ‘recursão‘… – levando ao significado popular do termo… “fractal”.

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Conjunto de Mandelbrot é um fractal definido como o conjunto de pontos no plano complexo para o qual a sequência definida recursivamente não tende ao infinito.

Mandelbrot utiliza a seguinte descrição para retratar fractais geométricos‘: “uma forma geométrica áspera… — ou ‘fragmentada’ … que pode ser dividida em partes — cada qual, como cópia de um ‘tamanho reduzido’ do conjunto”.

Numa tentativa de “definição exata” do termo fractal, costuma-se aproveitar as ideias básicas de ‘similaridade‘ como relação incomum…ao espaço do fractal incorporado. Sendo ponto pacífico que padrões fractais se caracterizam por “dimensões sem números exatos“,  para quantificar uma ‘complexidade‘.

A “natureza recursiva”                                                                                                              Suas relações de ‘causa e efeito’ não são proporcionais nem imediatas. A saída                     gerada por um ciclo do sistema… é interativa… – alimentando o ciclo seguinte.

Similaridade, em si, não é ‘contra-intuitiva’. Ter dimensão fractal (‘fracionária’) maior do que a dimensão topológica, se refere às escalas fractais…em relação ao modo sobre como as ‘formas geométricas’ são percebidas… — Suas ‘raízes matemáticas’ foram rastreadas… através do caminho formal de trabalhos publicados a partir do século XVII, sobre noções de recursividade. As funções se tornaram diferenciáveis no século XIX… mas o crescente interesse em modelos fractais se deu graças à computação gráficaao final do século XX.

Em 1975… quando Mandelbrot criou o termo “fractal”… fez uso para denotar um objeto, cuja dimensão é maior do que a própria ‘topologia‘ … Os fractais não exibem “unicidade”, nem sabem especificar detalhes de como construir certos padrões… – em que a exigência dimensional não seja satisfeita para o preenchimento de curvas por espaços fractais, tais como a curva Hilbert. Padrões fractais foram modelados numa gama de escalas – em vez de forma infinita, devido a limites práticos de tempo e espaço físicoOs modelos podem simular fractais teóricos, ou fenômenos naturais, com características próprias do gênero.

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Padrões fractais foram reconstruídos no espaço tridimensional da física. – “Modelos fractais”… podem incluir sons… imagens digitais, padrões eletroquímicos…”ritmos circadianos… – entre outras funções indispensável ao “ser humano”.  Modos fractais são criados utilizando software. A natureza recursiva de alguns padrões é óbvia em certos exemplos. Da mesma forma, fractais aleatórios podem descrever ou mesmo criar os objetos irregulares que existem no mundo real.

Fractais encontrados em exibição na natureza possuem similaridade mais acentuada. A conexão entre fractais e folhas, por exemplo…está sendo usada para determinar o quanto de carbono está contido nas árvores. Exemplos de fenômenos com características fractais são…nuvens… cordilheiras… crateras… litorais… relâmpagos entre outros. (texto base)    ******************************(texto complementar)*********************************

Instabilidade e evolução em toda parte (do livro “Ciência, Razão & Paixão”)                “O homem é parte integrante da natureza — e nela inexistem ‘leis deterministas’.                É graças ao fluxo de energia proveniente do Sol – por exemplo… – que vivemos                  todosem um mundo distante doequilíbrio termodinâmico“. (Prigogine)

Entropia, que corresponde à…’2ª lei termodinâmica’ – representa a ‘seta-do-tempo’ formada pela quebra de simetria temporal dos ‘fenômenos irreversíveis’. Se encontra        por toda parte – nos fenômenos de propagação de calor e massa…na química, física e biologia. De fato, ‘leis reversíveis’ de movimento…não se aplicam senão a uma ínfima fração do mundo. As leis de Kepler e Newton, por exemplo, descrevem o “movimento planetário”; mas o estudo pleno, trata de leis que envolvem ‘fenômenos irreversíveis’Perto do equilíbrioa termodinâmica descreve ummundo estável“. — Havendo ‘flutuaçõeso sistema responde a elas, retornando logo ao seu estado de equilíbrio, caracterizado no extremo da entropia, ou de qualquer ‘potencial termodinâmico’    

Longe do equilíbrio, essa situação se transforma radicalmente.                      As flutuações podem, através de ‘forças dissipativas‘, gerar                    novas estruturas espaciais e temporais. Entretanto, para isso,                          é necessário que as…’leis evolutivas sejam não-lineares‘.

Crítico dos parâmetros racionalistas da chamada…”ciência ocidental” – para Prigogine o momento é de começar a falar, não em certezas, mas possibilidades…Todavia, Prigogine    não defende uma ciência irracional…Para ele, “a meta” que se busca é achar a ‘passagem estreita’ entre 2 concepções de mundo … aquela “determinista” – em que não há lugar para criatividade, intuição…e a ‘concepção irracional’que compara a ciência, a um jogo de dados…onde não se pode ter certeza dos resultados. (texto base) # (uma visão crítica**********************************************************************************

A nova aliança“: “Metamorfose da Ciência” (Ilya Prigogine & Isabelle Stengers) Universidade de Brasília, 1991. Tradução brasileira por Miguel Faria e Maria Joaquina Machado Trincheira… por Thomaz Wood, Jr. – Engenheiro Químico pela ‘UNICAMP’.

A nova aliançaPara conhecer a História geralmente recorremos          a enciclopédias. Mas há mais História em Tolstoí, Conrad e Stendhal do que nos livros didáticos…E          não é difícil entender o porquê… – Estes grandes autores vivenciaram sua época – e o fizeram com grande sensibilidade, conseguindo transmitir em          sua obra, o que de mais profundo caracteriza um período histórico: a forma de sentir e entender o mundo ao redor. Enciclopedistas são capazes de narrar e encadear fatos… Artistas são capazes de            senti-los e decifrá-los. A ‘Análise Organizacional’,        esta quase ciência – tenta entender este produto          típico da modernidade – que é a…”Organização”.

É num contexto análogo a este que se insere este livro de Ilya Prigogine e lsabelle Stengers, que nos chega 8 anos após sua edição original. Prigogine, em 1977 “Nobel” de Quúnica por seu trabalho sobre termodinâmica de…sistemas longe do equilibrio…é um cientista com interesses multidisciplinares, da arqueologia à química, das artes à história. – Já Stengers, co-autora do livro, é filósofa e estudiosa da história da ciência. Segundo Alvin Tofler, que prefaciou a edição americana de 1984…Prigogine é um daqueles que contraria a tendência contemporânea ocidental da…”dissecação“…a arte de dividir as coisas nas suas menores partes para depois analisá-las. Ele, ao contrário, dedica sua vida a juntar de novo as peças no lugar, e compreender holisticamente os fenômenos…Seu trabalho aponta para o que se convencionou chamar de “Paradigma da Complexidade“, uma confluência de idéias e conceitos vindos de ciências como Biologia, Física, Termodinâmica e Cibernética, capazes de gerar uma promissora nova forma de compreensão dos “sistemas organizacionais“.

O Paradigma da Complexidade, em seu contexto mais globalcorresponde a uma nova “percepção” dos fenômenos organizacionais – capaz de penetrar na profunda rede de paradoxos…conflitos e ambiguidades…onde as organizações se constituem. Neste livro,    os autores enfatizam que a tradicional visão da idade da máquina  uniformidade, ordem e equilíbriojá foi superada. – Em seu lugar, eles propõe uma vasta síntese que engloba tanto sistemas em equilíbrio… quanto dele distantes. Assim, por modelos de mudança qualitativa, Prigogine e Stengers iluminam a “Análise Organizacional” – com        um modelo dominante para o presente e futuro…colocando o homem não em oposição, mas em comunicação com a natureza – por um mundo espontâneo…e “autorganizado”.

Tradicionalmente … o ‘enfoque’ em mudança se faz através de modelos incrementais e de equilíbrio … com            base numa lenta adaptação… – por pequenos ajustes… Entretanto esta perspectiva não parece adequada à        visão dos “sistemas complexos”, especialmente…quando mudanças              mais radicais globais … ocorrem. 

Prigogine estudou sistemas químicos não linearesafastados do equilíbrio, onde a instabilidade e desordem…levam a novos modos comportamentais…novos padrões de interação…e assim – novas estruturas. Ele mostrou que instabilidade, desordem e imprevisibilidade constituem a base no desenvolvimento de novase complexas formas de organização. — Estes sistemas são estruturas dissipativas feitas de uma variedade de ‘subsistemas’ – interagindo não linearmente interna e externamente.

Sistemas normalmente importam e transformam energia em trabalhoEsta dinâmica,    que também inclui exportação de entropia, evita o declínio e degeneração. Os sistemas    não lineares alternam períodos de comportamento previsível com outros de flutuações randômicas com perturbações internas e externas, que amplificam as interações não lineares. – A continuidade deste processo pode levar o sistema…além das fronteiras de estabilidade a um ponto crítico, chamado “bifurcação”, onde a simetria da estrutura existente é rompida. – Inicia-se assim um estado dominado pela “randomicidade” e imprevisibilidade caracterizado no comportamento caótico de ‘estruturas dissipativas’.  Tal estado possibilita explorar uma grande variedade de possibilidades evolucionárias.

Os autores observaram uma preferência de sistemas em tais condições por dados caminhos, entre todos os possíveis, num potencial de ‘autorganização’ do sistema              em criar novas formas mais avançadas de estrutura. – Do contrário seria o “caos contínuo“. Esta nova estrutura mais complexa pode realizar trabalho, graças ao              seu maior poder de atrair… utilizar… e organizar… a energia disponível, para sua manutenção e evolução. – Desse modo, portanto, eventos de ‘quebra de simetria’ representam… “episódios críticos” – ao longo de qualquer… “processo evolutivo”.

Transposto para o estudo de organizações complexas, os conceitos desenvolvidos por Prigogine representam uma 3ª onda de compreensão da dinâmica das mudanças… A        1ª onda estaria baseada na visão da organização como máquinaprópria do enfoque burocrático de modelos de sistemas fechados, algoritmos e princípio da minimização        da incerteza… A 2ª onda estaria ligada à ideia da manutenção do equilíbrio existente.        É a visão das ciências sociais contemporâneas…dos sistemas adaptativos, interativos, adequando-se através de mudanças incrementais e tendo a estabilizaçãonum novo patamar como meta. A 3ª onda admitiria então, a instabilidade dinâmica, mudanças descontínuas… – Períodos de caos seriam uma condição necessária para a ‘evolução’.

“A Nova aliança” é um livro brilhante. Vale a pena enfrentar suas passagens mais áridas.    A recompensa é uma nova forma de entender a conturbada dinâmica das mudanças que hoje vivemos – indo além da superfície do que se costuma a nós apresentar. (texto base) **********************************************************************************

Poincarée os processos criativos da razão  (do texto de Michel Paty)                    Em todo trabalho criativo, a intuição é necessária a qualquer ciência, se apresentando sob as mais variadas formas – desde “o apelo aos sentidos e à imaginação”contido na fenomenologia – até uma “indução matemática pura”…nas intuições kantianas a priori.

Para Poincaré…a ‘intuição criadora’ acrescenta um complemento indispensável…à toda ‘lógica matemática’ ao permitir que uma visão de conjunto faça possível “enxergar o alvo de longe”; pressuposto à existência de ‘invenção‘. Assim na matemática como na física, é ela que  detém o papel principal numa ordem intuitiva, que nos permite adivinhar ‘harmonias ocultas’. “Inventar é discernir…é escolher”…num único sentido particular…que se atêm a descobrir as ‘combinações úteis’ … em ínfima minoria com relação a todas ‘combinações possíveis’…Mais apropriadamente…diríamos que… “inventar é enxergar”…o que nos remete à intuição, como objeto de exercício, para um nível superior de sensibilidade – cujo grau de desenvolvimento  nos permite atingir uma “capacidade criativa”.

Analogias matemáticas”                                                                                                              “A matemática tem um tríplice objetivo. – Deve fornecer um instrumento para o              estudo da natureza, mas não só isso…Tem um objetivo filosófico, e mesmo outro                  estético – ao aprofundar nossas noções de número…tempo e espaço”. (Poincaré)

Todo ofício do matemático ou do físico consiste em saber descobrir analogias verdadeiras, profundas “que os olhos não veem, mas a razão adivinha”. Graças ao “espírito matemático – que desdenha da matéria para se ater apenas à forma pura”… as relações ‘verdadeiras’ exprimem “relações de estrutura” na profundidade dos fatos matemáticos ou físicos, de modo a justificar/permitir a passagem do particular ao geral. A analogia, nesse sentido, é inseparável do movimento do pensamento, que escapa à simples comparação e à indução empirista, para inventar livremente…Assim, Poincaré enfatizava, entre os matemáticos, o “espírito de intuição”, por oposição ao “espírito de análise”Em larga medida, para ele, a intuição se opunha à lógicae é sabido que ele se sentia muito mais próximo da primeira.

A função primordial do ensino de matemática, a seu ver, era desenvolver essa faculdade. Isso porque…o ‘geômetra puro’ deve possuir a arte de escolher entre todas combinações possíveis, dos termos propostos à razão, e essa arte é dada pela intuição, não pela lógica: “Através da lógica se faz demonstrações, mas é da intuição que se faz invenções”. – Sem esta última, acrescenta ele…“o geômetra seria como um escritor que domina totalmente    a gramática mas não tem ideias”. E a intuição também se impõe na relação do mundo matemático ao mundo real, pois “transpõe o abismo que separa o símbolo da realidade”.

poincaré - intuiçãoUma “lógica intuitiva

O “espírito analítico” e de “intuição”, são 2 tendências daquilo que poderíamos chamar ‘estilos matemáticos’. Poincaré admite que os matemáticos com preferência pelo ‘espírito de análise’ e raciocínio lógico‘, também deveriam desenvolver algum tipo de intuição‘. É que, para ele, mesmo na análise pura‘, se só a lógica pode dar a certezacomo instrumento da demonstração, é ainda a “intuição” que é o “instrumento da invenção”.

Essaintuição puradirigida às formas — por oposição a uma intuição mais sensível, relaciona-se à…”intuição do número puro“…É ela quem permite que o analista sinta o princípio de unidade interna das entidades abstratas, nas quais se baseia o pensamento, de acordo com uma função de percepção sintética atribuída de modo geral à intuição.  Citando o exemplo do matemático Charles Hermite, notório analista, Poincaré relembra a metáfora com a qual este caracterizava esse gênero de intuição, que trabalha com base em entidades formais: “As entidades mais abstratas, eram para ele, como seres vivos”… — É a apreensão imediata de seu…”princípio de unidade interna”, que lhe permite compreender estas entidades, e lhe faculta a capacidade de invenção… Neste sentido, elas têm o mesmo papel que a “intuição sensível”. E assim, Poincaré mantém a diferença entre a intuição pura dos analistas, e a intuição sensível criativa. — Sem o mesmo objeto, elas remetem a 2 diferentes faculdades de nossa alma, que são assim como 2 projetores – voltados para 2 mundos estranhos um ao outro e correspondem a 2 modalidades distintas da invenção.

O próprio Poincaré se situava mais próximo à faculdade de…”intuição sensível”, que  na matemática, apesar de tudo, era a seu ver…“o instrumento mais comum da invenção”. Os matemáticos de espírito intuitivo neste sentido…se apoiam geralmente, no trabalho de análise, em imagens não somente geométricas – mas também físicas – estimulando aí uma intuição (sensível) matemática na busca por solução … antes de se ter os meios da demonstração do problema. Nesse caso, ao invés da dedução puraas “analogias físicas” permitem pressentir as verdades matemáticas, que escapam ainda ao rigor do raciocínio.  O rigor, no sentido analítico, viria mais tarde, mas ao menos o resultado é obtidoainda que sem a certeza matemática. É assim que se fazem quase todas as grandes descobertas.

teoria-do-caos--imgAs “similitudes harmônicas”

Ao considerar que… “o cérebro humano, como um ponto no Universo… é incapaz de conter sua totalidade” … Poincaré faz ver que o trabalho científico — na maior parte, consiste em selecionar entre fatos comuns – aqueles mais ricos de sentido. E assim… incapaz de apenas reproduzir, o que…além do mais…seria insuficiente para compreender, o físico/matemático encara a necessidade de inventar… Justamente porque – ater-se a relações de semelhança superficial entre fatos não forneceria a chave, que daria acesso às relações significativas.

Similitudes portadoras de sentido (“analogias matemáticas”…para Poincaré) transcendem diferenças materiais; quanto mais distantes forem os fatos cuja relação se verifica fecunda, mais essencial será a propriedade que revelamo que não deixa de também corresponder a um caráter estético. – Essa fecundidade da relação entre fatos, matemáticos ou físicos, é marcada pela necessidade deles fazerem aparecer uma…”ordem”…entre os elementos que antes pareciam abandonados ao acaso, conduzindo desse modo, ao conhecimento de uma ‘lei’. Tais combinações advêm do processo de invenção matemática…atingindo aquilo que Poincaré costuma remeter ao conceito de “beleza intelectual”, ou “elegância matemática”.

O que Poincaré chama de ‘harmonia’, corresponde à instantaneidade da evidência para o espírito, atingida no final das contas, através da inteligibilidade. “Quanto mais vermos esse conjunto de um só golpe”…escreveu ele…“melhor perceberemos suas analogias com outros objetos vizinhos, e em consequência mais chances teremos de descobrir possíveis generalizações”. E um raciocínio ‘meio intuitivo’ permite ver, em razão de sua brevidade, simultaneamente suas diversas partes, de modo que se perceba, de imediato, aquilo que deve ser modificado, em adaptação aos similares problemas da natureza que se revelem.

caaos terminaO “processo inconsciente”

Convém aqui especificar que a invocação da analogiafrequente em Poincaré, concerne essencialmente ao resultado final. É apenas a lição que se tira quando as relações vêm à tona…e sua fecundidade se manifesta… – É sempre a “analogia matemática” – que está em jogo — indicando a estrutura e unidade profundas dos elementos relacionados na descoberta… No trabalho criativo, em que opera, a faculdade intuitiva permite “enxergar o alvo de longe”…oferecendo a “visão de conjunto”, sem a qual não haveria “invenção”. Nesse processo, é ao inconsciente que Poincaré atribui a tarefa de estabelecer as combinações de…”ideias úteis”… através da eliminação e escolha.

Para Poincaré, “o inconsciente sabe escolher, sabe descobrir”. Ele se inclinava a considerar que o ‘eu subliminar’ privilegia fenômenos que afetam a sensibilidade harmônica da beleza matemática … sendo essa sensibilidade estética correspondente na matemática às soluções oriundas da lei que se está procurando. Mas o problema de saber mais exatamente o que encobrem os termos que remetem às considerações estéticas permanece em aberto, exceto por tratar-se – nas ciências como nas artes – de formar ou exprimir… “significados fortes”.

O tema da criação científica, tal como o encontramos na experiência vivida de cientistas que também foram filósofos (como Poincaré e Einstein), parece ligado – de um lado… a processos de pensamento em que a racionalidade – mesmo não sendo total, permanece essencial e passível de se apreender em várias fases…entre uma problematização inicial      e a obtenção dos resultados; e de outro… – a problemas fundamentais epistemológicos, sobre a constituição e natureza do conhecimento científico. – Sobre o primeiro aspecto, mesmo nos momentos em que um ‘fio de raciocínio’ não se deixa ver, tudo indica que a atividade inconsciente é dirigida por uma atenção, um esforço, uma vontade…Poincaré atribuía ao inconsciente definir combinações de ideias úteis – por eliminação e escolha.

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Um dos 1ºs teoremas no campo da teoria dos sistemas dinâmicos, de Poincaré, no final do século 19, confirmava a crença de que, após algum período de transição, os estranhos movimentos talvez acabem por se estabilizar – seja parando totalmente, seja oscilando por períodos alternados.

Do Todo às Partes (do abstrato ao concreto)

A elegância matemática é a forma daquilo que dá, nos termos de Poincaré, a “harmonia” e a “beleza intelectual” – correspondentes à instantaneidade da evidência – à qual… afinal… acaba por se ligar à…”inteligibilidade”. – Portanto, nesse sentido, a atividade mental inconsciente — essencial a todo ‘processo criativo’… – não se efetuaria por acaso:      “A descoberta dependeria…necessariamente…de uma ação preliminar…mais ou menos intensa do consciente; definindo assim uma…’direção geral’, pela qual o…’inconsciente‘…deveria trabalhar”.  Essa ação consciente tratada por vários filósofos  em ‘esquema geral’ de processos do pensamento.

Théodore Ribot propunha uma espécie de algebrização dos signos mentais em função do problema considerado em seus termos racionais – resolve-se um problema supondo-o já resolvido, e busca-se qual é a combinação de elementos que permite a solução…chega-se primeiro ao resultado – depois volta-se atrás…para restabelecer o fio que a ele conduziu. Retomando essa ideia em sua reflexão, Henri Bergson lembrou que “o todo se apresenta como esquema…e a invenção consiste precisamente em converter este esquema em uma imagem…contendo os meios pelos quais o efeito foi atingido”. Para Bergson, o esforço mental supõe…“elementos intelectuais em vias de organização” – tendendo a um estado característico de ‘atenção’ – a unidade (mas não simplicidade) assim traçada é a de uma “ideia diretriz comum a grande número de elementos organizados…É a própria unidade    da vida”…Tal esforço intelectual sobre imagens que não têm entre si senão “semelhança interior”, como ‘identidade significativa’…lembra as analogias matemáticas de Poincaré.

As descrições dos filósofos, singularmente as de Bergson, tendem igualmente a mostrar a importância epistemológica dos processos do pensamento criador. Afinal de contas, é por meio de tais criaçõespor mais provisórias que sejam, que os objetos do pensamento são postos como representações do mundo, e é também por isso que a ciência existe. Desse modo, parece lógico, que não basta analisar as formas sob as quais ela se comunica e, é ratificada…mas que também importa saber como os elementos do conhecimento surgem, com a novidade daquiloque até então inexistentede repente é inventado. (texto base***********************************************************************************

Sob o domínio da Complexidade do Mundo (Silbia López de Lacalle)                            Muitos cientistas já renunciaram à ilusão da ordem…para dedicarem-se ao                          estudo do Caos – que aceita o mundo tal como é…”imprevisível totalidade”.

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Teorema de Poincare-Hopf : Equacões diferenciais polinomiais no plano (ou na esfera) tem 3 formas genéricas de pontos estacionários: Nó, Sela, e Foco.

A ‘complexidade do mundo‘ levou o ser humano a cair na armadilha de simplificar a realidade, se abstraindo da natureza para torná-la cognoscível. – Masa tendência a ordenar tudo acaba por se chocar com essa mesma realidadeirregular e descontínua.  A busca de uma explicação dos fenômenos naturais, complexos e insolúveis mediante fórmulas, configurou a “Teoria do Caos“.

Uma rápida olhada ao redor adverte a tendência geral à desordem…Mas, contrariamente ao que se pensa, essa desordem não implica confusão. Os sistemas caóticos caracterizam-se por sua adaptação à mudança, e consequentemente, por sua estabilidade. Se jogarmos uma pedra no rio, este não é afetadopois não se trata de um sistema ordenado, em que cada partícula assume uma trajetória fixa…Portanto, sua ordem interna não é derrubada.  Dessa forma, as “leis do caos” oferecem uma explicação para a maioria dos fenômenos naturais, desde a origem do universo, à propagação de um incêndio, ou à evolução social.

Contudo, a partir do conceito clássico de ciência – por séculos, a humanidade submergiu ao engano da ordem cartesiana – incrementada pela ‘mecânica de Newton’… ao propor a capacidade para predizer, de forma precisa, a evolução de um determinado objeto; o que conduziu ao radical pressuposto…que assegurava a possibilidade de… – ao se conhecer a posição de todas partículas do Universo, seria possível saber sua própria evolução futura. Essa afirmaçãotão reducionista quanto temerária, ilustra a euforia científica depois da descoberta de Netuno, pelas“leis de gravitação newtonianas”. Com efeito, um marco científico – que impôs ao trabalho investigador…a ordem, o determinismo…e a predição, ao limitar todos objetos…a fenômenos plenamente coincidentes com um ‘padrão prévio’.

Mas com isso, as demais irregularidades (turbulências, etc.) ficaram                                      relegados à categoria de…”ruído”… quando, na verdade… esse ruído                                    abarcava a maioria dos ‘fenômenos observáveis’…E assim, os físicos                                        dedicam-se a decompor sistemas complexos – corrigindo o que não                                        se enquadra à… normalidade — na esperança de que — pequenas                                          oscilações não afetem o resultado… – Nada mais longe da realidade.

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Teorema de Poincaré-Bendixson: A ideia subjacente é que não pode haver recorrência: uma trajetória fora de algum ponto P pode retornar muito perto da vizinhança de P, mas nunca ao mesmo ponto (a menos que P esteja em trajetória periódica). É o início da teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos, mas só é válida no plano. Poincaré logo percebeu que, para campos vetoriais no espaço,não há mais ciclos de limite definidos… – Bem-vindo ao “mundo do caos”!

O fantasma da“não linearidade”

Ao final do século 19, o físico matemático Henri Poincaré questionou esta perfeição newtoniana, no que se relaciona a órbitas planetárias, no conhecido problema dos    3 corpos“… – Nele constava uma atração gravitatoria múltipla que até então era resolvida pelas ‘leis de Newton’, e a soma    de um valor mínimo que compensasse   a atração do 3º elemento. Poincaré então percebeu que, em ‘situações críticas’ esse pequeno puxão poderia “realimentar-se”,   até gerar um efeito de “ressonância” que modificaria a órbita planetária a ponto    de até o jogar para fora do ‘sistema solar’.

Esse devastador fenômeno assemelha-se a quando um microfone e                  seu alto-falante estão próximos… o som emitido pelo amplificador          volta ao microfone e ouve-se um apito desagradável (microfonia).

Os processos de retro-alimentação correspondem em física às equações iterativas, onde o resultado do processo é usado novamente como ponto de partida para o mesmo processo. Desse modo, constituem-se os “sistemas não lineares“…nos quais…efeito e causa se identificam plenamente. Somadas as partes, obtinha-se a realidadePoincaré introduziu    o fantasma da não linearidade, em que origem e resultado divergem, e as fórmulas não servem para resolver o sistema. Havia sido dado o primeiro passo para a ‘Teoria do Caos’.  O caráter não linear/iterativo dos sistemas naturais, permite que instruções bem simples gerem estruturas complexas. Assim, a “física da complexidade” busca regras simples que exprimam tais organismos complexos. No conceito de “pirâmide da evolução” (incluindo quarks, núcleos atômicos, átomos, moléculas simples, células, organismos, e sociedades) para tratar a complexidade, a maior parte da matéria encontra-se em estágios inferiores,    e não forma elementos complexos. Somos minoria se comparados a todo material que    há no Universo. A pirâmide vai da abundância do simples, à complexidade do escasso.

Tal como a relação com o da linguagem, que parte das letras e passa pelas palavras, frases, parágrafos, capítulos, livros, etccom a peculiaridade de que as letras não têm nada a ver com as palavras, e assim sucessivamente. Estruturas complexas têm propriedades alheias aos ingredientes de que se originaram – o que apresenta um problema para a ciência, que perde sua capacidade de predição. – Na física clássica pressupõe-se que os ‘objetos’ sejam independentes da escala empregada para medi-los, existindo a possibilidade de relacioná-los com sua medida exata. – Mas isso não acontece na geometria fractal e na lógica difusa, instrumentos empregados pelos cientistas do caos. Bart Kosko, autor da chamada…lógica difusa, afirma de modo cabal…que quanto mais de perto se olha um problema no ‘mundo real’, tanto mais difusa torna-se sua solução…Porém, se a precisão esvanece ainda mais o objeto de estudo, que estratégia deve ser empregada ao estudar os “sistemas complexos”?

Aqui intervém avisão holística“, que concebe o mundo como um todo orgânico, fluido e interconectado. Se algo falta, não se deve buscar a parte danificada, como no caso de um aparelho doméstico, mas simhá que se revisar o sistema por completo, por se tratar de uma unidade indissolúvel. O grande erro histórico da ciência – seria observar a natureza de modo fragmentado e explicar tudo mediante a soma das partes, ignorando 2 questões primordiais: a impossibilidade de…“colocar a totalidade no bolso”…porque este também faz parte dela, e a dependência entre observador, observado, e o processo de observação. Como o ser humano integra a ‘realidade’ – sua mera presença altera o ‘objeto de estudo’.

A obsessão por interpretar o Caos, do ponto de vista da ordem, deve dar passagem a uma interpretação global, que salve as fronteiras de diferentes disciplinas, e aceite o paradoxo, que converte o simples e o complexo…a ordem e o caos, em elementos inseparáveis. – De fato, o caos é uma inesgotável fonte de criatividade, da qual pode também surgir a ordem (e vice-versa). – As civilizações antigas acreditavam na harmonia entre…caos e ordem…o definindo como um tipo de…“ordem implícita”. – Talvez eles tivessem razão. (texto base)

Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979.
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2 respostas para Da ‘não-linearidade’, ao paradigma da Complexidade

  1. JMFC disse:

    Muito interessante o estudo do caos e de sistemas caóticos: buscar algo previsível na imprevisibilidade do caos!

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