“Revoluções matemáticas”…e suas Lógicas improváveis

“Deus joga dados com o Universo, mas os dados são viciados…o principal objetivo            da Física é descobrir as regras segundo as quais tal fato aconteceu.” (Joseph Ford)

número

Assim como a verdade técnica da ‘aritmética’ está fora de toda discussão – a questão de se saber o que é o…”número” — transparece a surpreendente incapacidade do pensamento, em apreender a natureza por…instrumentos, os quais acredita plenamente entender ao utilizá-los em quase todas suas práticas. O contraste entre a ‘lógica numérica’ praticada no dia-a-dia, e o ‘sufoco’ epistemológico das teorias em explicá-lo… mostra a necessidade de uma rigorosa investigaçãodas técnicas do pensamento … frente às engrenagens do seu próprio mecanismo do conhecer“.

A história do ‘número’e sua filosofia

Do ponto de vista epistemológico, o problema…“o que é o número?”…intrigou filósofos matemáticos desde a antiguidade… – evidenciando um grande contraste … entre a clareza instrumental do número, e a ‘complexidade’ das teorias, ao tentar explicá-lo. — Nenhuma, das mais destacadas correntes do pensamento matemático (“formalismo”, “simbolismo” e “intuicionismo”) até ao fim do século 20, obteve uma resposta que justificasse sua origem.  Até o século 18, embora já inteiramente ‘dedutiva, a matemática estava particularmente ligada a ‘algoritmos‘…e pouca ou nenhuma preocupação existia quanto à natureza de seus elementos, ou seus fundamentos. De modo geral, à exceção do período clássico (na Grécia Antiga) a evolução das ideias matemáticas prosseguiu, até aí…de um modo “quase linear”, sem maiores ‘revoluções‘. – Todavia…após a “descoberta geométrica de um novo mundo”, no século 19, a matemática passa a ser reconhecida, não mais como uma “ciência natural” da observação e descrição da naturezamas sim como uma “criação intelectual humana”.

Em decorrência dessa nova concepção, com o advento da ‘geometria não-euclidiana’, a aritmetização da análise e da álgebra – a adoção da lógica simbólica, como a…”linguagem matemática”… – e sua libertação do real, eclodiu a chamada…crise dos fundamentos da matemática”, com novas formas de concebê-la – incluindo aí … variadas definições de “número“.

A tese do “intuicionismo“…por exemplo – é que a matemática deve ser desenvolvida apenas por métodos construtivos finitos sobre a sequência dos números naturais, dada intuitivamente. Logo, nessa visão, a base última da matemática jaz sobre uma intuição primitiva, aliada ao nosso senso temporal do antes e depois, que nos permite conceber   um objeto…depois mais um…depois outro mais…e assim por diante…indefinidamente.  Dessa forma, obtêm-se as…”sequências infinitas“…a mais conhecida das quais, é a dos números naturais, a partir de onde, é possível a elaboração de qualquer outro objeto matemático… por ‘processos construtivos‘ – mediante um número finito de operações.                                         

O pensamento matemático, e suas vertentes

Por quase todo século 19, o mito de Euclides (450aC – 380 aC) era inabalável, tanto aos filósofos, quanto aos matemáticos. A “geometria euclidiana” era…por todos — considerada como o mais firme, e confiável ramo do conhecimento. – Contudo, a descoberta de “geometrias não-euclidianas”… gerou a perda dessa certeza abalando não só os alicerces da matemática, mas de todo saber à época… Matemáticos do século 19 buscaram então, outra ‘base segura’. Todavia, ao escolherem a ‘aritmética‘, usavam o ‘nº natural‘, como este fundamento. E então, o problema surgiu, quando verificou-se que este conjunto ainda não possuía uma definição matemática formalizada.

Estava assim, desencadeada a denominada “crise dos fundamentos” na matemática.   A partir daí se formaram diversas correntes — buscando soluções para todos problemas revelados, soluções estas que pretendiam tornar a matemática, novamente, uma ciência confiável. — Destes segmentos, se destacaram…o ‘ formalismo‘, o ‘intuicionismo‘, o ‘simbolismo‘, e o ‘construtivismo‘…cujos fundamentos — serão detalhados a seguir.

a) formalismo (de Hilbert)                                                                                                        A tese do formalismo é que a matemática é, em sua                                                              essência…o estudo dos sistemas simbólicos formais”.

david hilbert - frases

O embrião da ‘escola formalista‘ foi o estudo, realizado pelo matemático David Hilbert (1862/1943) sobre a geometria… em 1899. Nesse estudo, o ‘método matemático‘ foi refinado, desde a axiomática material dos tempos de Euclides, à ‘axiomática formal‘ do século 20… – Tentando solucionar a crise…instaurada pelas antinomias inerentes à ‘teoria dos conjuntos‘, e para responder ao desafio à… matemática clássica – estabelecido pelos ‘intuicionistas’, Hilbert dedicou-se, seriamente, à elaboração do ‘programa formalista’.

O ‘formalismo‘ considera a “matemática” … como uma coleção de desenvolvimentos abstratos – em que os termos são meros ‘símbolos’…e as afirmações são apenas fórmulas envolvendo esses símbolos … a base profunda da matemática não está plantada na lógica, mas apenas em uma “coleção de sinais“… além de um conjunto de operações com eles.

Na tese formalista se tem o desenvolvimento axiomático da matemática levado a seu extremo. – Como, por esse ponto de vista a matemática carece de conteúdo concreto, contendo apenas elementos simbólicos ideais…a demonstração da consistência entre    seus vários ramos…constitui parte importante, e necessária do ‘programa formalista’.        O acompanhamento da demonstração de sua consistência…é fundamental no estudo. 

b) intuicionismo (de Kant a Poincaré)                                                                                      Tal como em Kant, a matemática para Poincaré se apóia em intuições, em especial        na de números, razão pela qual é considerado um dos fundadores do intuicionismo”. 

kant-frasesEmbora não tenha sido matemático, nem vivido, maior parte da sua vida, no século 19, o pensamento de Kant (1724–1804) influenciou bastante o progresso científico e cultural… dos séculos XIX e XX — de modo que… algumas considerações — acerca da posição da matemática no “sistema kantiano”… – se tornam oportunas.

Até Kant, tanto os filósofos racionalistas quanto os empiristas dividiam as proposições matemáticas em 2 classes mutuamente excludentes… — que esgotavam o universo das proposições…as analíticas, que englobam as “verdades da razão” reguladas por “não-contradições” internas…e as empíricas ou “não-analíticas” – que expressam os fatos.  Kant reapresentou o problema da classificação das proposições, oferecendo outra… as proposições poderiam ser analíticas e ‘sintéticas’. – A principal diferença entre Kant e    seus antecessores…é a distinção feita entre 2 classes de ‘proposições sintéticas‘… – as empíricas…ou ‘sintéticas a posteriori’, e as ‘sintéticas a priori‘ (‘intuição pura‘).

As proposições matemáticas seriam, segundo Kant, sintéticas a priori, pois seriam formas puras da intuição (como o espaço e o tempo) que permitiriam fundamentar e legitimar os ‘juízos sintéticos a priori’ (assim como toda matemática)…expressando sua especificidade. Ou seja, a matemática se referiria à “realidade concreta”, mas utilizaria, para apreendê-la, conhecimentos a priori de tempo e de espaço… – o primeiro fundamentando o número, e consequentemente, toda a aritmética… – e o segundo (espaço)… alicerçando a geometria.

Estas ideias, que exerceram enorme influência nos matemáticos                     no século 19… constituíram a base do intuicionismo de Poincaré.

henri-poincare-facebookPoincaré, e a intuição do ‘sintético a priori’

Jules Henri Poincaré (1854-1912) é considerado o matemático mais importante, do período entre os séculos 19 e 20… – onde, nenhum de seus colegas contemporâneos … dominou tanta diversidade de assuntos…contribuindo com todos. Interessou-se pelas geometrias não-euclidianas, mas… ao invés do que após se comprovou… (de todas possuírem mesmo grau de veracidade), preocupou-se muito em investigar qual seria a “verdadeira geometria”.

Para Piaget…este pode ter sido o fato que impediu                                            Poincaré de “descobrir” a ‘Teoria da Relatividade’.

Poincaré produziu mais de 500 artigos técnicos, e mais de 30 livros… tendo sido também um dos principais, e mais hábeis divulgadores da matemática e da ciência, mediante uma série de obras populares e semi-técnicas, entre as quais se destaca “A ciência e a hipótese” (1906)… “texto de divulgação“… no qual apresenta sua “teoria matemática kantiana“.  Apesar de bastante influenciado pelas ideias de Kant, Poincaré não se contentava apenas com o fato de que postulados matemáticos fossem juízos sintéticos a priori — era preciso, também… – que os ‘conceitos‘ aos quais se referissem, correspondessem a determinadas ‘intuições materiais’ – intuições estas, que seriam indispensáveis à construção da ciência.

Para Poincaré, o número possui o duplo caráter de ‘conceito puro‘, e ‘forma intuitiva‘. É conceito puro enquanto esquema do conceito de ‘grandeza‘…a parte sem a qual não se pode passar da “grandeza pura”…à sua imagem no espaço e tempo. – E…é forma intuitiva por representar a ‘sequência aditiva’ de uma unidade a outra – realizando sua síntese, no espaço e no tempo. Sendo assim, ele deduziu o ‘princípio de recorrência‘ como sintético; por não se reduzir à lógica do “princípio da não-contradição”…e, ‘a priori‘…pois só seria provado mediante um número infinito de experiências; o que é ‘impossível‘. Desse modo, Poincaré enxergou no método matemático um elemento intuitivo…onde ‘intuição‘, bem como ‘número‘, carregavam o sentido de “fonte de noções puras“, e “instinto inventivo”.

Como “fonte de noções puras”, a intuição direciona o espírito para a    noção de número inteiro…e, como “instinto inventivo”, impulsiona o profundo trabalho do espírito … em direção à ‘descoberta científica’.

O intuicionismo de Poincaré ganhou mais força quando o matemático Luitzen Brouwer (1881-1966) conseguiu reunir em torno das ‘ideias intuicionistas‘, os oposicionistas do ‘formalismo’ de Hilbert e do ‘logicismo’ de Russell. – Para os seguidores do intuicionismo, elementos e axiomas matemáticos não são tão arbitrários quanto parecem. Para Brouwer:

“A linguagem e a lógica não são pressuposições para a matemática,               a qual tem sua origem na…’intuição‘…que, por sua vez, torna seus conceitos e inferências imediatamente claros … à nossa percepção”.

hilbert-vs-poincaré

Hilbert (formalismo) x Poincaré (intuição)  

O ‘intuicionismo’ considera a matemática uma atividade autônoma… construção de entidades abstratas, a partir da ‘intuição  matemática’…e como tal… prescinde tanto de uma redução à lógica… (defendida por simbolistas), como de uma ‘formalização‘ rigorosa em um ‘sistema dedutivo’, conforme o ‘formalismo’ de Hilbert.

Na transição do século 19 ao 20…ocorreram muitos congressos internacionais de matemática (o 1º foi em Chicago, 1893). No 2º, realizado em Paris…1900, Hilbert          proferiu a conferência principal, onde listou 23 problemas, que para ele, seriam o          foco da atenção dos matemáticos do século 20. Nesse mesmo congresso Poincaré apresentou uma tese, comparando na matemática as funções da lógica e intuição.                A partir daí, Hilbert e Poincaré criaram uma das maiores controvérsias do século.

Hilbert admirava a “teoria dos Conjuntos” de Cantor… ao passo que Poincaré a criticava fortemente. As teorias de Cantor, como os abstratos espaços de Hilbert, pareciam muito afastadas da base “empírico/intuitiva” que Poincaré… e alguns de seus contemporâneos preferiam. Os matemáticos da época agrupavam-se em torno das 3 principais correntes    de pensamento…o ‘intuicionismo’ de Poincaré, o ‘formalismo’ de Hilbert… e a turma do ‘simbolismo lógico’ de Russell, ligada, mas não identificada ao formalismo (pela lógica).

Todavia, como o sucesso ou fracasso do “programa formalista” se encontrava diretamente vinculado à sua própria consistência, o sonho de seus seguidores teve curta duração…pois em 1931, Kurt Gödel (1906-1978), discípulo de Hilbert, provou de maneira inconteste que não é possível provar a consistência formal de um sistema dedutivo, capaz de…com todos seus princípios lógicos – abranger toda matemática clássica; como idealizado por Hilbert.

Por esse motivo… o debate acerca dos ‘fundamentos da matemática‘,  passou a se centralizar em torno do ‘simbolismo‘ e do ‘intuicionismo‘.

lógica

c) simbolismo (de Frege)

O matemático Gottlob Frege (1848…1925) acreditava que a solução para o impasse da ‘crise dos fundamentos’, seria a redução da aritmética à lógica…Assim, toda expressão      aritmética se definiria…em termos de uma “proposição lógica“, que poderia ser deduzida de leis lógicas imediatamente perceptíveis.

Tentando mostrar que a aritmética poderia ser considerada como um ramo da lógica…e que suas demonstrações não necessitavam se fundamentar nem na experiência, nem na intuição, Frege eliminou da linguagem comum qualquer recurso à “intuição“. Observou  ele desse modo, que a matemática necessitava de uma profunda e inédita revisão crítica onde proposições antes aceitas como evidentes deveriam ser demonstradas, e conceitos relativamente novos…como função, contínuo, limite e infinito…precisavam ser revistos.

De maneira geral…seria necessário que todos os…”campos da matemática” fossem examinados, com o rigor da demonstração…delimitação precisa da  validade, e definição de conceitos, a partir do próprio conceito de ‘número’.

Além da perda de credibilidade da geometria como uma base sólida, praticamente na mesma época, surgiram várias antinomias da…’teoria dos conjuntos’…abalando toda matemática, e fortalecendo a ideia de Frege, de que só uma análise minuciosa de seus fundamentos pelo novo… “instrumento lógico” – estabeleceria sua própria coerência.

wHITEHEADA lógica simbólica (de Russell & Whitehead)

O programa apresentado por Frege não encontrou eco até ser acatado por Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred Whitehead (1861-1947). Os dois, retomaram a tese de Frege…tentando demonstrar que a ‘matemática pura’ (incluída aí a ‘geometria’) poderia ser completamente deduzida da “lógica“.

Embora até então tivessem sido tratadas, historicamente falando, como estudos distintos, a matemática sempre relacionada…com as ‘ciências’ – e a lógica…com a ‘filosofia grega’, o desenvolvimento de ambas — durante o século 19… e início do século 20 – de acordo com Russell, aproximou definitivamente a lógica da matemática, tornando-as ‘indistinguíveis’.  A ‘tese simbolista‘ é que a matemática é um ramo da lógica, que em vez de ser apenas um ‘instrumento’, passa a ser considerada como ‘geradora da matemática‘…Todos os conceitos matemáticos têm que ser formulados em termos de conceitos lógicos … e todos teoremas da matemática têm que ser desenvolvidos como teoremas lógicos … a distinção entre matemática e lógica – passa a ser uma simples questão de…”conveniência prática”.

Partidários do “simbolismo” de Frege, Russell e Whitehead tinham o ambicioso plano de, literalmente…”reduzir a matemática à lógica”. Para isso, definiram a aritmética como um ramo da…”lógica pura“. – O “plano”… era traduzir os axiomas de definição do ‘número natural’ estabelecidos pelo matemático Giuseppe Peano (1858-1932) em termos lógicos,  e assim, definiram o ‘número‘ em termos de classes e relações; com o ‘aspecto cardinal’, estabelecido por ‘classes‘ – e o ‘ordinal’… em ‘relações assimétricas‘ independentes.

BijectionA ‘teoria numérica‘ de Russell e Whitehead começa com  a descrição do que é uma…“classe de classes”. Ou seja, 2 classes consideradas em sua extensão dão origem a uma mesma classe de classes, se for possível estabelecer uma ‘correspondência biunívoca entre seus elementos. O nº cardinal é definido como “classes de classes”…e assim, o número 1 é a classe de todas ‘classes unitárias‘…o nº 2 é a classe de todos os nºs pares possíveis; o nº 3, é a classe de todas as…”trincas” – e assim por diante…

Já o “número ordinal“…indicando ordem, posição, ou lugar ocupado        em uma série… é igualmente constituído por meio de classes…só que de “relações assimétricas”…cuja “semelhança” é obtida… por meio de uma correspondência biunívoca entre seus distintos elementos internos.

Uma crítica originada dessa concepção é que … pelos fato dos números se constituírem isoladamente – a partir de ‘classes‘ independentes entre si … não existiria uma iteração entre eles que resultasse na sucessão dos números inteiros. Para verificar a validade    de tal argumento, Jean Piaget propôs um método para verificar se o modo de formação dos números, equivale ao processo a partir dos quais derivam as…’classes’…e ‘relações’.

geometria

A crítica de Poincaré (ao “simbolismo lógico”)

Poincaré criticava o “reducionismo lógico” como um círculo vicioso, porque o número já estaria presente, ao se estabelecer a correspondência biunívoca entre os “objetos singulares”. O seu argumento se baseava no fato de que na expressão “um homem”… o objeto individual, ou classe singular – já subtendia o…nº 1.

A contra-argumentação simbolista expunha que existe uma distinção entre o “um” lógico e o número 1, ou seja, o “um” lógico implicaria a “identidade”, e não o número…da mesma forma como os termos lógicos ‘alguns’, ‘todos’ ou ‘nenhum’ só se referem à pertinência, ou não de indivíduos a uma determinada classe…No que se refere à diferença funcional entre classe e número, fica claro que a função da classe – como é constituída por indivíduos que gozam de uma determinada propriedade… é a de ‘identificar‘ – ao passo que a do número (abstraindo qualidades) é a de diversificar… daí, serem funções sobretudo “heterogêneas”.

Assim, de acordo com o raciocínio de Poincaré…Russell, ao não estabelecer na sua dupla redução (cardinal/ordinal) as distinções genéticas funcionais, entre operações de ‘classe’    e ‘relações isoladas’ (numéricas)… se encerraria dentro da esfera de um “círculo vicioso“.

PoincaréA intuição racional do número  Enquanto para Russell o nº cardinal seria a “classe das classes” – para Poincaré teria um caráter sintético e irredutível; já retratando a oposição entre ‘simbolismo’ e ‘intuicionismo’,  que juntamente com o ‘formalismo’, pretenderam resolver a “crise dos fundamentos” … na ‘matemática’. 

Poincaré não concordava com a tese de que…o ‘número‘ poderia ser reduzido à “lógica genética” de classes e relações. Ele entendia o processo numérico como produto de uma intuição racional (sintética a priori) e irredutível às operações lógicas. Para ele, se no século 19 os matemáticos dividiam-se em 2 correntes…uma que se apoiava na lógica…e, outra na intuição…uma releitura dos clássicos faria a balança tender ao “intuicionismo”.

Ademais, como a intuição não oferece o rigor, nem a certeza; foi necessária uma evolução na ciência matemática…evolução esta que a encaminhou para a lógica. Porém, para fazer aritmética, assim como geometria, é preciso algo mais que a lógica pura; sendo a intuição este ‘algo mais’, mas ressaltando que sob esta ‘capa’…diversas ideias estão subentendidas.  De fato, a ‘intuição‘ pode se apresentar… tanto um ‘apelo‘ aos sentidos, e à imaginação; como uma…’generalização‘…na indução de procedimentos experimentais; e… também, como “intuição do número puro (princípio da indução)…da qual se originaria…para Poincaré… o “verdadeiro raciocínio matemático”… – a única intuição passível de ‘certeza’.

A concepção de que o ‘número’ (e, por consequência…a ‘matemática’) é produto de uma intuição racional foi (e ainda é) sustentada por inúmeros matemáticos, existindo porém, divergências quanto ao sentido de ‘intuição‘…desde a intuição da ‘essência estática’ do número, até a “intuição operatória”. Ao considerar que o número inteiro se funda sobre uma “intuição sintética a priori” que se traduz no raciocínio por indução ou recorrência, Poincaré, por mais conservador que tenha sido em muitas questões…como por exemplo sobre os vários tipos de números – ou, sobre os relacionamentos entre diversos tipos de espaço, admite que uma tal intuição operatória… – é construída ”isenta de contradição”.

d) construtivismo‘ (de Jean Piaget)                                                                                              A partir da lógica e matemática Piaget (1896-1980) pretende fundar                                  uma ‘teoria do conhecimento científico’… indo das mais elementares                                atividades do sujeito… aos mais complexos ‘pensamentos científicos’. 

piaget.jpgA proposta de Russell em elevar o “número cardinal”  à noção de ‘classe de classes’… — definindo ‘número ordinal’ como classe de relações, enquanto Poincaré, intuitivamente, fazia irredutível o caráter sintético a priori dos ‘nºs inteiros’ causou inúmeras discussões sobre relações…entre números e lógica. E, foi nesse contexto – que Piaget chegou à conclusão…de que a “intuição operatória” do…”número puro” – então irredutível à lógica concebida por Poincaré…carecia de ‘especificidade’… enquanto a “redução lógica” de Russell não seria…”operatória…o suficiente”. Surge daí, a hipótese defendida por Piaget…de uma ‘função complementar‘…entre a “lógica simbólica” de Russell, e a “lógica intuicionista” de Poincaré… Como assim explica Piaget:

“É verdade que nossa hipótese, num certo sentido, permite escapar                a essa alternativa, pois se o número é classe e relação assimétrica,              ao mesmo tempo… – ele não deriva de tal… ou qual das operações      lógicas particulares, mas somente da sua reunião – o que concilia continuidade com irredutibilidade, levando a conceber…não mais              unilaterais, mas recíprocas, as relações entre lógica e aritmética”.

Piaget queria provar a hipótese…não explicitamente exposta por ele, da noção de número como uma síntese operatória entre ‘seriação’ e ‘classificação’. Para isso se utiliza do longo debate (sem vencedor) entre ‘simbolistas’ e ‘intuicionistas’ sobre a origem do “número”, incluindo aí…suas convicções…de que o saber não está – nem no ‘sujeito apriorístico‘, implícito no logicismo, nem no ‘objeto empírico‘, pano de fundo do intuicionismo,  mas numa interação entre ambos; ou seja…Piaget procurava uma ‘solução intermediária’ entre Russell e Poincaré. Assim, sua posição sobre a ‘construção do conhecimento’ fica a meio-caminho entre o empirismo…e o apriorismo – ao conceber como recíprocas, e não mais unilaterais, as relações entre lógica e aritmética… O ‘número‘ tem por fonte a lógica…sem derivar de nenhuma operação em particular…mas, construído das ‘relações    de classes’, quando sujeitos agrupam objetos por semelhança – e ‘relações assimétricas’, ao estabelecerem diferenças ordenadas – que… segundo Piaget, surgem quando objetos são agrupados simultaneamente como ‘equivalentes‘ e ‘distintos‘. (‘irredutibilidade’)

Entendendo a importância das 2 concepções de número…’intuicionismo’ e ‘simbolismo’,    e a impossibilidade da supremacia de uma delas… – pois ambas apresentavam aspectos positivos e negativos, Piaget deduz que – em vez de serem contraditórias ou opostas, as duas concepções deveriam ser… ‘complementares’ – criando com isso, uma nova teoria.

Crítica de Piaget (ao intuicionismo racional)

A discordância de Piaget com os ‘intuicionistas’  se fundamentava no fato, de que a ‘intuição do número puro’ não é a de determinado “número específico”, mas de um nº qualquer… que, para Poincaré, seria “a faculdade de conceber a uma unidade…o poder de agregar-se a um conjunto de unidades… – Entretanto… segundo Piaget: 

“Ao procederem de uma intuição que subentende a noção de unidade, as                          operações numéricas estariam em desacordo com as operações lógicas”.

Os resultados de inúmeras pesquisas sobre a gênese dos…’conceitos matemáticos’ mostram que todos conceitos de caráter extensivo e métrico…como a “medida“; a “proporção” geométrica; e o próprio “número“…só se constituem em sua forma operatória, ao se apoiarem em ‘grupamentos lógicos’. – Mas…isto não significa um            ‘estágio pré-numérico’, caracterizado por estruturas lógicas, seguido de um estágio propriamente numérico – ao contrário…há uma ‘interdependência’…originária do conceito de conservação dos conjuntos como totalidades – lógicas… ou numéricas.

E esta conservação não se apresenta como uma “intuição”…mas                                              é construída “operatoriamente”, num longo e complexo processo.

A faculdade de conceber que uma unidade possa agregar-se a um “conjunto de unidades”, assinalada por Poincaré como específica da intuição do ‘número puro’… supõe então… – a faculdade de conceber conjuntos invariantes encaixados uns nos outros… e a faculdade de ordenar, desde o início, os ‘elementos agregados’…Mas, se a sucessão dos nºs não pode se apoiar numa intuição inicial contendo de antemão a ideia de unidade; esta sucessão, após sua construção, produzirá uma…intuição racional…em tudo semelhante  à descrita por Poincaré; à diferença de ser final, e não prévia, no sentido de que o número é apreendido diretamente…sem a intermediação de raciocínios lógico-discursivos. E, sendo assim, esta ‘intuição final‘ é apenas a expressão da compreensão inteligente; não nos dizendo nada quanto à sua própria construção – ao longo do tempo. (texto base) Clélia Maria Nogueira *********************************************************************************** O projeto leibniziano de elaborar…no século 17…um idioma e cálculo racional modelados numa…”linguagem matemática”, na qual simbolicamente se poderiam expressar juízos, e raciocinar corretamente de modo tão mecânico quanto cálculo algoritmico, foi uma ideia  filosófica tão avançada – que exigiu quase 2 séculos para frutificar nos cálculos lógicos de Boole, Schroeder, Peirce, Peano, e sobretudo Frege…no século 19… — Fosse efetivamente concretizada por Leibniz, um dos criadores do cálculo diferencial e integral, tal ideia, por ele esboçada, teria dado origem a uma ‘revolução’ sem igual…na história do pensamento.  ***********************************************************************************

As revoluções matemáticasda lógica simbólica à natureza da linguagem  Kant identificou a metafísica com o reino do conhecimento sintético a priori…e deu            à matemática… como o mais convincente exemplo desse conhecimento, a prova que, analiticamente… abriria caminho para a rejeição moderna do argumento metafísico.

método indutivoJohn Stuat Mill em sua obra…”System of Logic”…já no século 19, expõe sua crítica sistemática à teoria kantiana da ‘verdade matemática’ – fazendo da ‘indução‘… o “método científico“…por excelência… Atendo-se aos fatos — o filósofo parte da experiência como base do conhecimento, quer nas ciências físicas… sociais… e, até mesmo na matemática… Mill nega o ‘a priori’ como pura construção racional, vendo nele, antes, um produto originado da experiência – pela indução… com base nas relações de causalidade entre fenômenos. Para Mill, nossa ideia de números…são abstrações a partir da experiência. O número 3…por exemplo, torna-se familiar… – pela nossa percepção de triângulos, o 4 na percepção de quadrados, e assim por diante… Além disso, as próprias ‘verdades matemáticas’, podem ser vistas como refletindo leis fundamentais da natureza.

Não só Mill apresentou uma extensa e convincente “teoria da distinção” entre “lógica” e “ciência” (dedução x indução), lançando assim as raízes da moderna filosofia da ciência; como também voltou-se para muitos dos “padrões de pensamento” que haviam feito as ilusões metafísicas tornarem-se predominantes. Esse foi aliás motivo de satisfação para  Gottlob Frege, pois foi no “absurdo” matemático de Mill… que suas ideias prosperaram.

G. Frege (‘simbolismo’) x Stuart Mill (‘empirismo’)                                                        “Ao estabelecer o limite do conhecimento matemático                                                                no limite de nossa experiência… Mill não nos dá pista                                                          alguma – sobre como entendermos… o número zero“.

Frege, em seu “Fundamentos da aritmética” (1884) afirmou que nem esta, ou qualquer outra explicação empírica da natureza dos números, poderia ser aceita, pois ao afirmar que as “leis da aritmética” são “generalizações indutivas”, Mill confunde a aplicação da matemática, com a própria matemática… – E sobre isso…ele próprio ainda argumenta:

“A matemática é inteligível… — independentemente de suas aplicações. A indução deve se basear na teoria da probabilidade…uma vez que ela jamais pode tornar uma proposição mais do que provável. Mas, como     uma teoria da probabilidade poderia ser desenvolvida sem pressupor      ‘leis aritméticas’… – é algo além de toda… – e qualquer compreensão”.

Kant afirmou…contra o “argumento ontológico” – que a existência não é um verdadeiro predicado (ou propriedade)…mas não conseguiu desenvolver uma lógica que conciliasse esse fato. Leibniz, que fez certos progressos em ‘lógica formal’, reconheceu as diferenças entre proposições existenciais e as ‘sujeito-predicado‘, porém foi incapaz de representar essas diferenças de “modo sistemático“… – Essa deficiência na lógica tradicional era de longo alcance… e foi o que erigiu a ‘barreira artificial’ (como Frege a con­siderou) entre a “aritmética“…(a lógica da quantidade) – e a “lógica formal“…(a lógica da qualidade).

simbolismo lógicoA definição conceitual de‘Número’(por Frege)

Sobre esta base, o desafio seria construir uma nova lógica formal da universalidade…que justificasse o vislumbre de Kant de que a existência não é predicado. Hoje devem ser reconhecidas novas verdades analíticas diferentes do tipo sujeito-predicado…e as leis lógicas devem ser expandidas, para abrangê-las. Daí, portanto, se tornar natural sugerir, que essa “lógica de existência…e quantificação universal” fornecesse a base sólida para uma legítima “teoria geral”.

Mas, e quanto aos números?… – Pensamos neles…como objetos (sujeitos da identidade), e no entanto não lhes permitimos independência em relação a um conceito ao qual estejam vinculados…Frege, para resolver este aparente paradoxo, propôs,  contextualmente, um critério de “identidade geral” para números,    onde expressões numéricas só podem significar ‘verdades‘ – quando vinculadas com precisão, ao conceito que determine o que está sendo descrito. – Ou seja…é somente        em um determinado ‘contexto’ – que o termo de um número denota alguma verdade.

Frege deriva sua definição de número…em termos de um conceito, introduzido na discussão dos “fundamentos da matemática” – por Georg Cantor… denominado “equinumerosidade“… – que pode ser definido…em termos puramente lógicos,            sempre que todos os itens incluídos em um conceito puderem ser colocados numa “correspondência biunívoca” com os de outro. – Sendo cada correspondência relacionada a um ‘número‘… Frege define este – como a “extensão equinumerosa”            de um conceito. Aí, o termo ‘extensão‘ é usado no sentido da ‘lógica de Port-Royal‘          (‘Extensão de um termo ou conceito…é a classe de coisas a que o termo se aplica’).      

Assim, a definição de número incorpora a generalização da ideia presente na lógica            de um conceito…e, suas definições individuais são derivadas da “definição geral”. É suficiente definir o primeiro dos ‘números naturais’…zero…e a relação de sucessão        pela qual os restantes são determinados. Zero é o número que pertence ao conceito        não idêntico a si mesmo. Frege escolheu tal definição…porque segue-se apenas            das leis da lógica que o conceito de “não idêntico a si mesmo” não possua extensão.

Gottlob (“simbolismo”) Frege x Bertrand (“paradoxo”) Russell                                        As pesquisas de Frege sobre fundamentos matemáticos trouxeram                  consequências profundas à filosofia. Dentre elas, o reconhecimento                                          de que certas ‘concepções matemáticas’ podiam/deviam ser usadas                                    para dar forma a problemas “nebulosos“, na filosofia da linguagem.

frege-fraseA cada ponto da argumentação, Frege queria prosseguir … sem a introdução de concepções, que não pudessem ser explicadas em termos lógicos. Por tal método, ele pôde derivar definições e leis aritméticas de modo a confirmar, que todas ‘provas matemáticas’ eram complexas ‘aplicações lógicas’; assim como, todas afirmações aritméticas, caso “verdadeiras“…se deviam aosignificado” dos termos usados para expressá-las. A façanha de Frege era espantosa…mas foi prejudicada pela descoberta – por Russell, de um paradoxo, onde a sua resolução pareceu exigir uma saída de…”ideias lógicas puras”…em direção ao tipo de…”pressupostos metafísicos”, que Frege queria eliminar dos fundamentos da matemática. Além disso, Kurt Gödel em seu famoso ‘teorema da Incompletude‘, de 1931, mostrou que, para qualquer ‘sistema lógico’ que se possa dizer ‘autoconsistente‘…há verdades aritméticas ‘não-demonstráveis’…E assim, a lógica… – a princípio… – não poderia abranger todo o conteúdo da matemática.

Porém, como a própria…”lógica“, orienta boa parte da argumentação filosófica, o processo de adaptação de um método matemático, em seus  fundamentos, pode ser prolongado ainda mais … produzindo filosofias quase totalmente matemáticas, como o ‘atomismo‘ e o ‘positivismo‘.

À luz desses resultados…pode parecer que deveríamos rejeitar a ‘hipótese de Frege’… do caráter analítico da aritmética, e restabelecer alguma versão da teoria kantiana de que a matemática é ‘sintética a priori’… – No entanto… Frege chegou muito perto de reduzir a aritmética à lógica, e o resultado de Gödel é tão interessante, que a questão do status da verdade matemática tornou-se um dos problemas mais relevantes da filosofia moderna.  Em seu livro “Begriffsschrift” (1879) … obra considerada um “marco” do nascimento da lógica moderna…Frege propôs o 1º sistema de lógica formal verdadeiramente completo. Seu propósito era dar firme alicerce filosófico aos argumentos de sua obra inicial, sobre “fundamentos da aritmética” – e com isso derrubar as teorias da lógica aristotélica,      e pós-aristotélica … que durante dois mil anos haviam impedido avanços nessa matéria.

Mas houve aí uma ‘consequência particular‘, que Frege – a princípio não previu… A velha lógica havia seguido a orientação gramatical da ‘linguagem vulgar’; o que tornou tão difícil representar a diferença entre “Sócrates existe” e “Sócrates vive”. A  diferença, é na verdade tão radical que somos forçados a concluir que a forma gramatical na linguagem vulgar não serve de guia para o comportamento lógico. Ou, dizer à maneira de Russell…“a verdadeira forma lógica da sentença que caracteriza uma existência, não se reflete em sua gramática”.

Como então devemos representar essa sentença?… — A resposta natural é                          buscar um sistema de símbolos no qual a linguagem só possa se expressar                        em uma verdadeira… “forma lógica“… – para toda e qualquer sentença.

01

Frege… e sua “filosofia da linguagem”              A “semiótica” de Peirce foi a primeira crítica            ao psicologismo lógico de Kant e Stuart Mill.

Há modos específicos, em que a adoção e extensão de ideias matemáticas por Frege, transformaram a própria estrutura filosófica. Isso pode ser visto por exemplo, na teoria de Frege sobre a ‘natureza da linguagem‘. Para ele, era claro…como o fora para Leibniz…que expressões de identidade variam na forma como afirmam a ‘propriedade’ de um objeto.

O ‘é’identidade, e o ‘é’predicativo são logicamente” distintos entre si.

Se eu digo…”Vênus é a Estrela Matinal“… faço uma afirmação de identidade, que continua verdadeira (ou, caso falsa…falsa) quando os nomes são invertidos… – “A Estrela Matinal é Vênus”. Entretanto, na sentença “Sócrates é sábio”… os termos não podem ser igualmente invertidos. O sentido total da sentença depende de uma atribuição diferente… – ao sujeito Sócrates…e ao predicado…sábio. – Com efeito…a distinção entre sujeito e predicado é básica ao pensamento…quem não conseguisse entendê-la…só falando de identidades, não conheceria nada de seu mundo…a não ser determinações arbitrárias, pelas quais poderia substituir um nome por outro. Mas, não saberia nada sobre as coisas a quem desse nome.

A análise de Frege dessa relação, está contida em uma série de artigos entre os quais o mais importante é…“Sobre Sentido e Referência”. – Nele, Frege apresenta várias teses, algumas das quais já mostraram sua importância…na teoria da natureza da aritmética. Duas dessas teses…de especial interesse, são as seguintes: 1) a de que é só no contexto        de uma ‘sentença inteira’…que uma palavra tem um sentido definido; 2) que o sentido      de qualquer sentença deve ser derivável do sentido de suas partes. — As sentenças até parecem contraditórias, mas não são. A 1ª (definição de Frege para ‘número’) diz que:

“O sentido de uma palavra, não lhe pertence isoladamente… – mas… é sua potencialidade de criar pensamentos completos… – Assim como sentenças                        podem expressar pensamentos, as palavras que as compõem têm sentido”.

A tese seguinte diz que o sentido de uma sentença completa deve ser totalmente determinado pelas variadas “potencialidades” de suas partes. Essa dependência          mútua entre a parte e o todo é a característica da linguagem…que torna possível            apreendê-la… – conhecendo um ‘vocabulário finito’… – usando uma ‘linguagem              criativa’…e assim, tendo acesso a uma “capacidade de pensamento”…’ilimitada’.

A relação sujeito/predicado            Para descrevermos as componentes    de uma sentença sujeito-predicado:

Em relação à sentença…“Sócrates é sábio” – Frege diz que, para fins de representação, podemos pressupor,    que esta é composta – por 2 partes:  um “nome“…e um…”predicado“.

Nomes podem parecer mais inteligíveis que predicados, porque representam “objetos”;    e…se soubermos quais objetos descrevem, parece que já sabemos o que querem dizer… Mas, para Frege existe na linguagem uma distinção geral entre aquilo que entendemos (sentido de um termo), e aquilo a que um termo se refere…especificamente (referência      do termo). – O “sentido” do termo nos dirige à referência, mas não é idêntico a ela. No caso de um nome… o sentido é algo como uma descrição complexa – “o planeta que”…      ou “o homem que”… A referência, por sua vez…é um objeto. – Mas, e os “predicados“?

Um predicado tem como sua referência um conceito particular – ao entender o predicado “é sábio” … sou levado ao conceito de “sabedoria”, por seu sentido ou significado. – O que podemos dizer então, sobre a natureza dos conceitos?… – Frege foi claro sobre uma coisa, conceitos são públicos e pertencem ao aspecto reconhecível da linguagem … tanto quanto as palavras que os expressam…Assim, os sentidos de predicados são igualmente públicos.

De outro modo, o significado das palavras não poderia ser ensinado, e a linguagem  deixaria de ser uma forma de comunicação. Os sentidos devem ser distinguidos de associações particulares de imagens, ou qualquer outro modo meramente ‘interior’.        Eles estão determinados por regras de… “utilização pública” – disponíveis a todos.

Teoria da referência”                                                                                                                Incorporada à ideia do caráter público do…”sentido”…encontra-se uma rejeição às tradicionais “teorias empíricas conceituais”. Uma vez identificado o sentido de um      termo com alguma ideia subjetiva despertada dentro da mente de alguém que dela        para algo se aproprie, todas tais teorias fazem confundir ‘significado’ e ‘associação’.

matemáticaComo os predicados fazem referência?…e a referência deles… é distinta de seu sentido?  Segundo Fregue — ao contrário dos nomes, a ‘referência dos predicados’ pode ser vista,  não como um objeto completo… mas como uma ‘operação’ que precisa ser completada para que o objeto seja por ela determinado.

E (matematicamente) essa operação é uma função. Consideremos, por exemplo, a função (y = x + 2). Ela produz certo valor para qualquer número particular — valor 3 … para x = 1; valor 4 — para x = 2…e assim por diante. – Sua significação reside inteiramente nisso. – A função matemática transforma um número em outro…Do mesmo modo, o predicado “x é sábio” produz um valor para cada objeto individual, que é referido pelo nome (Sócrates…por exemplo), no lugar de “x”…Mas, nesse caso, qual seria esse “valor” ao qual a sentença se refere – que deveria ser concebido, para… “similarmente”… determinar uma função?…

Frege argumenta que ele pode ser a ‘referência‘ da sentença como            um todo…“Tendo combinado a referência do sujeito à referência do    predicado… devemos assim… obter a referência dessa combinação”.

Mas então…a que as sentenças se referem? … A resposta de Frege a esta pergunta constitui o que é talvez a parte mais original de sua filosofia. É tentador pensar que se uma sentença se refere a alguma coisa…seja um fato…umestado de coisas“, ou algo assim… – “Sócrates é sábio” refere-se ao fato de Sócrates ser um homem que adquiriu “sabedoria“. Mas então,  a que se referem “sentenças falsas”?… E ainda, quantos “estados de coisas” podem existir?  Ao tentarmos responder à 2ª pergunta logo nos damos conta de que o único meio de contar…estados de coisas…é contando – ou sentenças, ou mesmo…seus significados.

De uma série de argumentos extremamente convincentes, Frege concluiu… que a única resposta possível à pergunta: A que 1 sentença se refere?“…é – a seu valor de verdade“.

socrates-frase

Verdade e falsidade estão para sentenças, como objetos, para nomes. – E predicados referem-se a conceitos que determinam funções que rendem verdade ou falsidade;  segundo os ‘objetos’ – a que são aplicados.  Desse modo, a análise da sentença sujeito-predicado… – é respondida pela pergunta: Qual o motivo de uma sentença completa?  De acordo com Frege, o sentido é um pensamento; nesse caso, de que “Sócrates é sábio”.

Tal como o sentido da ‘sentença toda’ é determinado pelo sentido de suas partes, assim também o valor de verdade é determinado pela referência das palavras individuais. – A significação para a filosofia dessa análise quase matemática da estrutura linguística… é enorme. Se Frege estiver certo, então aquela antiga distinção entre extensão e intenção pode ser aplicada a sentenças…agora da seguinte forma: A extensão de uma sentença é      seu valor de verdade; e intenções, suas condições de verdade. Assim, a extensão de um termo é separável dele… podendo ser identificável por outros ‘inde­pendentes meios’.

O ‘princípio da verdade‘                                                                                                “O princípio de que cada termo representa sua extensão, agora pode ser                       usado para se erigir uma lógica completa das relações entre sentenças”.

A noção de uma relação lógica entre sentenças agora fica determinada. – Podemos pensar em uma sentença como representando o verdadeiro ou falso. A sentença composta “p e q”, por exemplo, é verdadeira se, e apenas se, p for verdade…e q também. Assim, a inferência de “p e q” para “q” é válida… – ela nos leva da verdade para a verdade. Outros “conectivos lógicos”, assim como “se” e “ou”, podem, do mesmo modo…ter sua lógica assim explicada.  Esta ideia revolucionou a filosofia…levando ao “atomismo lógico“, e a novas formas de ‘filosofia analítica‘, onde a noção fundamental das palavras…é o seu valor de…”verdade“.  Alguns argumentaram que, uma sentença tem ‘significado – porque as pessoas a usam para fazer afirmações, sendo portanto a função peculiar destas afirmações – como tema básico de uma filosofia da linguagem, que deveríamos analisar para obtermos a ‘essência’ da comunicação linguística…Porém, segundo Frege…uma ‘afirmativa’ não pode ser parte do significado de uma sentença. Se nos per­guntarmos o que há por trás de uma sentença, ou argumento, a resposta sempre nos faz retornar…não à afirmação, mas à “verdade“.

O que entendemos…é portanto, ou uma relação entre valores de            verdade; ou as condições que tornam uma sentença verdadeira.

Frege também supunha, que a relação de uma sentença com suas condições de verdade deva ser objetivamente determinada…“Descobrimos oculta dentro da própria lógica do discurso uma “pressuposição metafísica“… – direcionada para uma “verdade objetiva”,      à qual se orientam todas as nossas expressões — e da qual tiram o seu próprio sentido”.  Alguns pensadores são contra essa ideia – de que as “condições de verdade” definem o significado. Outros se opõem à interpretação extritamente “realista” ou “anti-idealista” que Frege deu a essa ideia. Por esse motivo a discussão de Frege reativou uma questão fundamental colocada pela metafísica de Kant: Como nos orientarmos no meio-termo      da balança entre os pesos do realismo transcendental…e do idealismo empírico?Tal pergunta… — que nos “dias de hoje” passou a ser definida da seguinte maneira:  

“O que é fundamental ao entendimento da linguagem?…a ‘verdade’ como independente de nossa capacidade de avaliá-la – ou a ‘percepção’… vista como um ‘ato limitado’ por nossos poderes epistemológicos?” (texto base) *********************************************************************

brusselConsiderações sobre a ‘exatidão‘ matemática  “Percebemos objetos e entendemos conceitos O entendimento é outra forma de percepção.” K Gödel

Realizar experiências observar o ‘mundo natural’, formular hipótese…e testá-las — são procedimentos fundamentais a qualquer um que tente fazer ciência, exata ou não… — Podemos avaliar o crescimento de uma planta, a colocando numa sala escura, sem luz solar… e, ao ar livre. Verificamos que sua sobrevivência depende do ambiente. Concluímos então, que plantas precisam de luz… O exemplo das plantas recai no já discutido problema da “indução”, cujos argumentos não são logicamente válidos. Não é o caso de quese as premissas de uma inferência indutiva forem verdadeiras então a conclusão também o será.

É possível que a conclusão de um argumento indutivo seja falsa, embora as premissas sejam verdadeiras – e… ainda assim, não haja contradição. Ou seja, pode haver lógica; mesmo para um argumento com premissa falsa… – Mas, como podemos ter “certeza absoluta” de que nossa conclusãoou hipótese é verdadeira? E aquelas plantas          que vivem dentro de cavernas…com carência de luz solar?… — E as que se encontram dentro de rios e mares?…Vou confessar para você… Não temos a mínima certeza!…          Na verdade, uma certa dose de incerteza é recorrente na maior parte das ciências. Há sempre uma infinidade de variáveis que devemos levar em conta … antes de qualquer afirmação conclusiva. – Tudo isso para que essa afirmação possa ser…”questionável”.

conjectura de goldbachProvas, Teoremas & Conjecturas

Na matemática, a mais verbalmente explicita das ditas ciências exatas (seja por mérito…ou demérito), nenhuma porção de experiência é suficiente para uma conclusão ‘inteiramente’ válida… sem que todos casos possíveis sejam finalmente esgotados…Porém, a maior parte dos problemas matemáticos, não permite tal possibilidade. A Conjectura de Goldbach por exemplo diz que todo número par maior que 3… é igual à soma de 2 nºs primos.

Já foram verificados milhares deles, mas para que a conjectura vire um teorema é preciso que alguém encontre uma prova… usando argumentos lógicos e válidos, que assegure que qualquer um dos infinitos números pares, pode ser escrito como a soma de 2 números primos. – A proposição é muito simples…mas, até hoje…ninguém conseguiu demonstrá-la.

Essa “prova”… – por meio de uma indução lógica de um acontecimento matemático, que na maioria das vezes … dele temos certeza … sem necessariamente a observação de uma contraprova… – é…de fato, algo tão especial na matemática – que possibilita a seguinte pergunta… – Será a matemática uma ciência exata, consistente, e livre de contradições?

ciencias-exatasUma definição“Exata”

Segundo o dicionário “Houaiss” da língua Portuguesa a palavra “exato” significa que não contém erro, que possui grande rigor — ou precisão, perfeito…ou irretocável. – Mesmo assim…parece que o termo – pode variar em significado — de acordo com quem conversamos…ou mesmo, com o grau de precisão da afirmação. – Por exemplo, a frase… “a matemática é uma ciência exata“… nos leva… – com certa frequência… a crer que a matemática é uma ciência livre de erroscom poderoso rigor e grande precisão.

Podemos afirmar que, no sentido epistemológico, obtemos respostas exatas de perguntas matemáticas, às vezes isso é verdade. Contudo, nem sempre a matemática é tão poderosa  quanto podemos imaginar… – Aprendemos (ou, pelo menos…tentamos) que um ‘número irracional’ é um decimal que nunca se repete, e é infinito. A partir desta definição, não há nenhuma maneira de afirmar, ou escrever o valor exato de um número irracional… – não importando quantos dígitos de um número irracional escrevermos, será no máximo uma aproximação real. – Por exemplo…escrevermos π =3,1416 está incorreto… pois a notação correta deveria ser π ≅3,1416. O símbolo ≅ significa  aproximadamente, igual a.

Um outro exemplo que é análogo ao dos números irracionais… é o conceito de limite de um número. Quando escrevemos que \lim _{ n\rightarrow \infty } \frac { 1 }{ n } = 0, ou que o limite de 1/n quando n se aproxima do infinito é zero… – de fato … não há um número grande o bastante, como o infinito… para que 1/n seja igual a zero… – podemos escolher qualquer número – e, ele sempre será um número inversamente pequeno em relação a este… – mas…nunca zero.

Cantor: Conjuntos e Transfinitos

Há certos problemas na matemática… onde a questão é sobre a existência de uma certa quantidade. Um desses, é o dos números transcendentais… que são números reais, ou complexos, não raíz de qualquer “equação polinomial” com coeficientes (π e e, são exemplos conhecidos destes nºs não algébricos).

A “existência” desses números “transcendentais” ficou exposta, quando Geoge Cantor, muito embora não exibisse um exemplar sequer … provou que o conjunto dos números algébricos é ‘enumerável‘ – o que foi surpreendente… pois tal propriedade implicaria numa quantidade infinitamente maior de números transcendentes… do que algébricos.      De fato, quando Cantor apresentou tal prova, a partir da sua “teoria dos conjuntos“,      em fins do século 19 … houve resistência de famosos matemáticos da época tal como Poincaré, mas muito disso se deu devido a algumas de suas posições filosóficas. Cantor acreditava que sua ‘teoria dos números’ era “anti-materialista”…e se assustou ao se ver como um dos poucos matemáticosà épocadesapegado das…’crenças deterministas’.

LorenzAttractorPoincaré, e os “estranhos atratores”

Essa falta de determinismo nos resultados matemáticos…ironicamente… também foi encontrada por Poincaré quando estudava sistemas gravitacionais de três corpos. Ele verificou que tais ‘sistemas gravitacionais’ evoluíam sempre em formas de equilíbrio irregular… Órbitas mútuas tendiam a não serem periódicas, invariavelmente assim, tornando-se complexas e irregulares… Os resultados então obtidosnão condiziam com a harmoniosa mecânica clássica.

Poincaré…neste seu trabalho — acabou por descobrir a possibilidade da existência de um sistema desordenado com variáveis ao acaso. Na época, não houve interesse prático pela teoria das órbitas irregulares, por vezes considerada aberração matemática. Mas talvez, esse seja um dos precursores…que levariam à “Teoria do Caos”. (texto base) Alberto Akel *******************************(texto complementar)*********************************

eureka

“Teoria Analítica dos Números (Primos)

A invenção do Cálculo Diferencial e Integral provocou um dos maiores avanços no pensamento ocidental…O trabalho monumental realizado por Newton e Leibniz propiciou o avanço da ciência, em todas as suas áreas. O matemático Leonhard Euler (1707/1783) … foi um dos pioneiros em aplicar métodos do Cálculo à Teoria (Analítica) dos Números. Contudo, o reconhecimento de tal feito…foi para Bernard Riemann (1826/1866).

Riemann revolucionou a Análise Matemática, a Geometria e a Física Matemática. Em Teoria Analítica dos Números, bem como em outras áreas da Matemática, suas ideias ainda exercem profunda influência. Variedades Riemannianas, Equações de Cauchy– Riemann, Superfícies de Riemann, e muitos outros assuntos encontram-se entre seus trabalhos. – Mas, um fato peculiar, é que a chave para alguns dos maiores problemas contemporâneos reside em uma conjectura sua, denominada “Hipótese de Riemann”:

função zetaTudo começou quando Euler definiu em 1740 uma função – denotada pela letra grega ζ (“zeta”)… – A “função zeta” de Euler, associa a todo número real maior que 1… – um outro diferente “número real“.

É interessante notar, que ao encontrar a relação ζ (2) = π2/6… Euler observou que essa função daria informações sobre o padrão dos números primos. Nascia assim, a Teoria Analítica dos Números, ou seja, o estudo dos ‘números primos’…através do Cálculo aplicado à investigação de propriedades de algumas ‘funções complexas‘. Apesar de    não se visualizar um gráfico dessas funções (com dimensão 4)…é possível, com a ajuda    de um bom software… – definir as partes “real“…e “imaginária” de uma tal função.

Convém observar que existem inúmeras funções zeta e alguns matemáticos                      costumam dizer que Teoria dos Números é o estudo de funções zeta. Porém,                    qual é a relação entre os “números primos” e a “função zeta” de Euler?

mentemc3a1tica“Função Zeta” dos Números primos

Euler demonstrou um impressionante teorema… afirmando que para qualquer número real maior que 1…a “função zeta” se expressa como produto infinito de fatores para qualquer ‘número primo’. Tal função…foi minuciosamente investigada por Riemann ao substituir o número real (x) por um ‘número complexo‘, forma algébrica (z = a + bi);        o que tornou a “função zeta” do tipo “complexa”.   

Tal função não está definida para todos números complexos. Porém, Riemann percebeu que com uma técnica da “Teoria das Funções Complexas” seria possível estendê-la para todos os ‘complexos’, exceto para o número z = 1. – Em 1859, publicou seu fundamental artigo, usando a ‘função zeta’ para checar o padrão dos “números primos”…Seu objetivo era demonstrar a Conjectura de Gauss, hoje mais conhecida como ‘Teorema do Número Primo’, provando que a quantidade de números de primos entre (1 e x)…para grandes x,     é aproximadamente o próprio x, dividido pelo logaritmo natural de x, isto é…(x / ln x).

Embora Riemann não tivesse obtido sucesso…seu trabalho foi de suma importância para o desenvolvimento da “Teoria Analítica dos Números“. Vários resultados foram obtidos quando da investigação das propriedades dessa função, intimamente ligadas à distribuição de números primos, ao longo de sua sequência natural no conjunto dos ‘inteiros positivos’.
O caminho de futuros progressos investigativos ficou assim esquematizado…em uma série de conjecturas bem fundamentadas…dentre as quais, a famosa “Hipótese de Riemann”.

Em 1896, os matemáticos… J. Hadamard e De la Vallée-Poussin, demonstraram, independentemente…o “Teorema do Número        Primo“…utilizando as ideias então desenvolvidas por Riemann.

Consideremos a equação ζ(s) = 0. Então, qualquer número complexo s, que resolva essa equação é denominado um “zero” da equação. Riemann observou primeiramente, que os inteiros negativos pares –2, -4 –6… são zeros da função…Depois, observou que deveriam existir infinitos zeros complexos, e então estabeleceu de forma audaciosa a conjectura de que…qualquer outro zero complexo da função zeta — possui parte real igual a ½, ou seja, tem a forma (s = ½ + b i). Portanto, todos os zeros da função zeta que não são números reais estarão na reta vertical (x = ½). Essa reta é geralmente chamada de “reta crítica“.

A primeira coisa a observar é que os zeros da reta crítica não são reais, colocam-se simetricamente em relação ao eixo real e também em relação à própria reta crítica.        Essa é a célebre “hipótese de Riemann“…sem dúvida, uma questão importante,          pois o arranjo dos zeros da função zeta … se traduz na distribuição dos nºs primos.

A ‘Hipótese de Riemann’ foi considerada um dos problemas do milênio, pois                        é o problema mais importante da Matemática ainda não resolvido… — com                      algumas consequências em Física quântica … e, profundas repercussões na                      Teoria da Informação, em especial, na questão de “segurança”. (texto base***********************************************************************

Riemann… e a Hipótese dos ‘Números primos’                                              “Inegavelmente a matemática é a única ‘linguagem universal’… – Podemos imaginar diferentes químicas ou biologias do outro lado do universo, mas os ‘números primos’ continuarão sendo primos … em qualquer galáxia que encontremos”. (Alain Connes)

Números primos‘ são aqueles apenas divisíveis por si próprios, e pela unidade. Nenhum número par (exceto 2) pode ser primo, porque todos os pares podem ser divididos por 2. – Mas, por exemplo, 3 é primo, assim como 19 também…porque não tem como dividir eles, por qualquer outro número, além deles mesmos… e 1.

Já se sabe que os ‘números primos’ são infinitos e que existem alguns métodos para tentar localizá-los… – mas… além disso… há outros mistérios fascinantes.

Não existe até hoje alguma fórmula capaz de agrupar todos os números primos. Ainda é impossível prever…quando o próximo vai aparecer… – às vezes eles estão separados por mais de mil números…e outras vezes – por um número apenas – e esses são conhecidos como ‘números primos gêmeos‘. Mas sabemos que a distribuição dos primos, apesar de parecer aleatória, não o é… – o que acontece é que ainda não conseguimos ver qualquer harmonia nela. (E isso é muito misterioso!…) É incrível que ainda seja impossível de se encontrar um padrão para a localização deles, ainda mais se pararmos para pensar que esses números são os ‘blocos de construção‘ para qualquer outro número… – já que todo e qualquer número pode ser gerado a partir da multiplicação dos números primos.

A Hipótese de Riemann

Em 1859, o matemático Bernard Riemann fez uma ‘hipótese’ — que continua sendo o principal avanço em direção a uma ordem no caótico mundo dos… ‘números primos’. Basicamente… a ‘hipótese de Riemann’ diz que existe uma fórmula na ‘função zeta’ de Riemann…definida num gráfico 4D – com base nos números naturais, e imagináriosonde todos zeros “não-triviais” (formados por nºs naturais positivos), se agrupariam sempre, sobre a mesma linha … conectada com a localização dos…”números primos”. 

O problema é que até agora ninguém conseguiu provar a hipótese de Riemann, principalmente porque os zeros, assim como os números primos, são infinitos;                    e, temos que achar cada zero, um por um…Até agora já foram encontrados 6,3              bilhões de zeros sobre a linha, e nenhum fora dela. Mesmo assim, ainda não é              possível garantir que a hipótese seja verdadeira… – Sem um modo de prever a              localização de todos os zeros é impossível provar que estejam na mesma linha.

A harmonia por trás do distribuição dos números primos                                  continua sendo… — um dos maiores ‘mistérios’ do mundo.

Mas, talvez a prova da “hipótese de Riemann” seja tão intrincada…que o cérebro humano não consiga alcançá-la. E assim, a lógica por trás dos números primos estaria mesmo fora do nosso alcance, comprovando então o ‘teorema da incompletude‘ de Gödel, que diz que existem certas teorias, que mesmo verdadeiras, jamais poderão ser provadas. Essa é uma perspectiva triste. Mas talvez a beleza desses números, venha justamente da sua natureza egoísta, em que cada um existe totalmente sozinho – sem divisor, e sem previsão de onde estará o próximo – que pudesse compor uma paisagem maior que si próprio. (texto base)

Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979.
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Uma resposta para “Revoluções matemáticas”…e suas Lógicas improváveis

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