Complexidade, Criticalidade & Leis de potência

“Até os últimos anos … a concepção de natureza sustentada pela Física,                           enfatizou a estabilidade e o equilíbrio… A biologia e a história humana                          pareciam então… – como que fugindo desse “comportamento normal”,                            atribuído à matéria… – Hoje, no entanto…o que vemos é instabilidade,                            flutuações, irreversibilidade, em todos os níveis. Estamos no limiar de                                um novo capítulo da história dos saberes; a exigir novos instrumentos                                      e conceitos (vetores de coerência). Prigogine, ‘Ciência, Razão e Paixão’  

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Benoît Mandelbrot (1924-2010)

Nas últimas décadas do século XX, uma pequena parcela da comunidade física — passou a se interessar… por uma dinâmica de sistemas – ditos “complexos” … cujas partes interagem de forma “não-linear“. Uma das propriedades marcantes de tais sistemas… – é a presença de…leis de escala”ou de “potência. – Estas são observadas em vários contextos – desde o biológico, ao ‘comportamento intrigante’ das “bolsas de valores“. – A tentativa de se construir um esquema teórico geral para tais fenômenos deu origem a novos ramos da física… como a ‘teoria do caos‘ e a ‘física dos sistemas complexos. Conceitos como ‘fractais‘… similaridade‘… criticalidade‘… e leis de potência … passaram a fazer parte da ciência a partir de 1960… – pelo trabalho de…Benoit Mandelbrot. 

“Fenômenos críticos” ocorrem geralmente, em sistemas que se encontram distantes do equilíbrio. Várias grandezas termodinâmicas, como calor específico, compressibilidade,      e ‘susceptibilidade magnética’ apresentam comportamento singular na região crítica,  com divergências assintóticas caracterizadas por expoentes críticos…Em um ‘estado crítico’ não há razão para buscar causas específicas para grandes eventos… – Pequenas forças podem ter efeitos enormes, enquanto catástrofes súbitas podem ‘surgir do nada’. 

Flutuações no ‘estado crítico’ não aparentam ser…nem aleatórias,             nem previsíveis. A rara frequência dos eventos pode ser estimada,                   mas não sua intensidade, exata localidade, ou data de ocorrência.

O mais interessante… – é que conceitos matemáticos simples parecem ser comuns a uma ampla gama de “fenômenos críticos”… – apontando para uma universalidade muito além da termodinâmica. Não foi à toa que, por sua utilidade… o conceito de ‘criticalidade‘ passou a figurar em várias disciplinas, tais como…’geofísica’…’biologia’…’economia’,   e ‘história’…Trabalhos teóricos em ‘criticalidade’ utilizam modelos simples que podem ser estudados analiticamente, ou em simulações computacionais… Entender os “estados críticos” em um sistema próprio à certa classe de fenômenos… — nos faz entender todos demais sistemas dessa classe. O princípio da ‘universalidade‘ (‘ubiquidade’) significa que devemos selecionar os modelos matemáticos mais simples, e abrangentes possíveis; que possam incluir em seu conjunto de equações, uma “classe universal” de fenômenos.

Detalhes não são cruciais para decidirmos o resultado, pois fenômenos em “estado crítico” não possuem escala típica. Seja no espaço ou no tempo… tais eventos sempre se afiguram sob a forma de ‘leis de escala’…revelando ordem e simplicidade por trás da complexidade, sem qualquer diferença qualitativa entre pequenas e grandes flutuações. – Eventos raros não precisam de uma causa específica…podendo surgir a qualquer momento – enquanto aqueles de menor efeito, podem originar uma mudança devastadora em outra situação… E, nenhuma análise das condições iniciais será suficiente para prever os acontecimentos.

distribuição gaussiana

distribuição gaussiana

Distribuição gaussiana e leis de potência

Quando um estatístico estuda certos dados, tais como o preço de certa mercadoria… utiliza uma ferramenta indispensável: um gráfico em forma de sino, representando a distribuição gaussiana, ou normal dos dados. – Esta curva mostra…por exemplo…variação nos preços de certo produto em um dado período de tempo… A maioria dos valores discretos dos preços… situa-se na parte central da curva, ou média normal – enquanto que nos lados, a curva cai rapidamente, como uma exponencial, correspondendo ao fato de que… – estatisticamente… – grandes flutuações são pouco prováveis… – e, depois de certo ponto…(‘tempo’)… – “impossíveis”.

Distribuições gaussianas são – supostamente…a norma da natureza – validadas pelo  ‘teorema do limite central‘…que diz…em qualquer caso onde um grande número de eventos aleatórios independentes contribuem para determinado resultado, este seguirá uma distribuição normal — Mas… nem tudo na natureza segue uma curva normal. Mesmo ‘eventos não-gaussianos‘ podem apresentar um tipo de regularidade – na forma   de leis de potência, incompatíveis com a noção de que a média retrata a escala padrão.

Quando físicos analisam um fenômeno, encaram algum tipo de equação diferencial – onde as funções possuem alguma escala característica…Em geral, podemos expressar as funções em termos ‘exponenciais‘…onde um certo parâmetro (…”expoente“…) determina a… “escala do problema“. 

Observe-se que…sistemas com escala descrevem quase tudo na natureza – às vezes até sistemas desordenados. – A distribuição de gotas de chuva na calçada, por exemplo… tem uma escala característica – basta…cada vez mais…focalizar – para vermos que o diâmetro médio é uma gota. Mas, existem sistemas que não possuem escala característica… aqueles cujas soluções das equações funcionais são descritas por certas regulamentações…ou seja: “leis de potência“… as quais se caracterizam, quando a relação entre 2 escalares… x e y pode ser escrita na forma…  y = ax^k\,\! onde (cte. de proporcionalidade)…e k (expoente)A lei de potência é expressa por uma linha reta em um gráfico ‘log-log‘…pois sua equação na forma de logaritmos: \log(y) = k\log(x) + \log(a)\,\!… corresponde à equação de uma reta:  y = m.x + c  (Nos fenômenos críticos esta expressão é conhecida por hipótese de escala, ou de homogeneidade). O comportamento das grandezas próximas a ‘pontos críticos‘ exibe ‘caráter universal’, caracterizado por mesmos valores de seus expoentes.

caos financeiro

Caos nos mercados financeiros

As 1ªs tentativas de se usar a teoria do caos na descrição de ‘mercados financeiros’…foi decepcionante. – Embora a hipótese de que mercados financeiros possam – de fato, ser caóticos ainda não esteja descartada, vários estudos em ‘econofísica pressupõem, que a ‘dinâmica de preços’, apesar de estocástica, é governada pelas… — leis de potência.

Preços de mercadorias parecem se comportar desordenadamente no curto prazo…embora tendências sejam comuns quando o horizonte de tempo observado é o longo prazo. Diante disso…Hendrik Houtahkker…um economista de ‘Harvard’…recorreu a uma distribuição gaussiana para estudar 8 anos de variações no preço do algodão…e, constatou que a curva não se ajusta perfeitamente à ‘distribuição normal‘. Estranhamente, a curva se alonga, em vez de cair rápido. (Ao contrário dos núcleos radioativos, em decaimento exponencial)

Quando o jovem Benoit Mandelbrot expôs seu seminário na ‘Faculdade de Economia de Harvard’…mostrou uma figura bem parecida à de Houtahkker.  (prontamente reconhecida por este…)  Mandelbrot aproveitou a mesma base de dados. – Havia dados de ‘preço’ do algodão para mais de 1 século… E, ele utilizou os próprios computadores da IBM onde trabalhava, para processá- los… confirmando então — que estes não se ajustavam a uma distribuição normal. Mas, também percebeu que havia uma certa ordem (“simétrica”) oculta… a pequena e grande escalas. 

Variações diárias se pareciam com variações mensais…indicando certa independência de escala das sequências, justificando a presença de leis    de potência. E, era exatamente isso o que Mandelbrot procurava; um “padrão“… — onde se pensava existir apenas…”aleatoriedade“.

‘Auto-similaridade’ e ‘fractais‘                                                                                              “Há um tipo de ‘ruído oscilante‘…que segue uma ‘lei de potência‘… que o relaciona inversamente à sua frequência f (o ruído 1/f)…Este pode ser encontrado numa grande variedade de sistemas…desde resistores e ampulhetas, até fluxo de rios, e luminosidade das estrelas…A teoria geral que justifica o surgimento desse ruído, explica a razão física para o surgimento dos fractais, bem como da ‘criticalidade auto-organizada‘…De acordo com ela, tanto o ruído 1/f…quanto os fractais, podem surgir na natureza sem       a necessidade de intervenção externa”. Bak et all(“Self-organized criticality”/1987)

Mandelbrot associou o fenômeno acima descrito … aos  problemas que sua empresa (IBM) enfrentava nas suas linhas telefônicas…De vez em quando surgiam ruídos que provocavam erro nos dados transmitidos… – Ele sabia que estes ruídos – apesar de aleatórios…exibiam ‘características peculiares’ – em certos períodos, praticamente não existiam, enquanto que em outros surgiam vários erros de transmissão. Além do que… em alguns períodos de erro havia períodos de transmissão perfeita. A previsão dos ruídos era praticamente impossível.

“Poeira de Cantor”…(o 3º excluído, de cima para baixo)

Se aproveitando de uma forte ‘intuição geométrica‘, Mandelbrot associou os 2 fenômenos… à construção matemática do bem conhecido conjunto de Cantor.

‘Mercados financeiros’, em particular, possuem diversas… das propriedades típicas de ‘sistemas complexos‘; e, sendo ‘sistemas abertos’, em que sub-unidades interagem de um modo não-linear — possuem propriedades bem diferentes dos “sistemas lineares“.

Por exemplo… se A e B forem soluções de um sistema de equações diferenciais; então, A+B  também será solução (em um “sistema linear“, em geral, com soluções analíticas). Contudo, esta regra de ‘superposição‘, não se aplica a ‘sistemas não-lineares‘… (com variáveis dependentes)… – Para estes tipos, vale a regra do “3º excluído“… A ou B – que corresponde geometricamente a uma solução discreta, não-contínua (“poeira de Cantor”).

O fenômeno chamado ruído 1/f foi observado em sistemas tão diversos quanto o nível do rio Nilo, a luz emitida por quasares, e o tráfego em rodovias. Nestes fenômenos, observam-se detalhes em todas as escalas de tempo…Este sinal pode ser interpretado como sendo a superposição de sinais em todas as frequências…ou seja…os ruídos 1/f – como fractais no tempo, possuem picos de todas as durações. — A “distribuição de potência” do sinal é inversamente proporcional à frequência, sendo portanto a origem do termo “1/f”, embora erroneamente chamado de…ruído – ao invés de sinal. – Tais ruídos 1/f são diferentes dos “ruídos brancos aleatórios”…onde não existe correlação entre os valores que descrevem o sinal…e, geralmente…incluem todas as frequências em iguais quantidades. (CONSULTA)

“Econofísica”… e ‘sistemas críticos’                                                                                        Se mercados financeiros também forem criticamente organizados,’ crashes’ em                   bolsas de valores não serão anomalias, mas eventos ordinários (embora raros).

Quando oferta e demanda estão em mercados eficientes, o preço expressa o valor normal aos fundamentos estruturais da economia. Na ausência de grandes choques de demanda e oferta… apenas pequenas flutuações podem ajustar seus excessos. – Grandes variações de preços seriam altamente ‘improváveis‘. Em outras palavras, as variações de preços teriam que se comportar conforme a uma “distribuição gaussiana“…em um passeio aleatório.

Quando Mandelbrot descobriu…não haver distribuição gaussiana, nem escala típica nas variações de preço do algodão… abriu-se a possibilidade de ‘grandes flutuações de preço‘, como efeito de um “arranjo natural” no funcionamento desses mercados…Assim, de tempos em tempos eles poderiam oscilar ferozmente … sem que nada de excepcional acontecesse nos ‘fundamentos econômicos’.

Contudo…as “funções de distribuição” mais adequadas na análise desse problema… não decaem exponencialmente…como ocorre na gaussiana. Elas seguem uma lei de potência, caracterizando assim ‘ausência de escala‘.

Mandelbrot – nesse caso…utilizou as ‘distribuições de Lévy’E, de fato, ‘leis de potência’ podem conviver pacificamente com a teoria financeira vigente. Os econofísicos, inclusive, propõem certa conciliação. Não descartando a clássica hipótese de “mercados eficientes”; eles apenas reduzem a sua significância a um caso limite; tratando mercados financeiros como um ‘sistema crítico‘. — Afinal, como bem observa Paul Krugmana maioria dos economistas hoje acha que os mercados internacionais estão mais para a irracionalidade    e instabilidade… descritas por Keynes – do que para… “mercados financeiros eficientes”.

Criticalidade auto-organizada”                                                                                              “Se a macroeconomia for um sistema criticamente organizado, um choque não pode ser culpado por desestabilizá-la. A forma como a economia e suas instituições se organizaram…’estruturalmente’…para respondê-los… – seria o fator mais importante”.

É comum pensar que para se atingir ‘pontos críticos’ alguma intervenção externa seja necessária…  Porém, às vezes a criticalidade é naturalmente espontânea…como no fenômeno da    “criticalidade auto-organizada“.

Esta parece surgir quando as partes de um sistema, bem lentamente…se afastam de um ‘estado de equilíbrio‘, no qual ‘ações individuais’ se guiam, pelas interações … com essas partes.

Florestas são um bom exemplo de ‘criticalidade autorganizada‘. A rede de árvores forma um estado crítico onde – por exemplo…uma pequena faísca pode se alastrar de modo a destruir toda a floresta, ou destruir apenas um pequeno número de árvores…ou, não ter efeito algum. Aqui também temos lei de potência na ‘distribuição incendiária’.

Os fundamentos de um ‘estado crítico‘ refletem-se em ‘leis de potência‘, que não possuem escala característica…revelando a       ausência de um ‘tamanho esperado’…para o próximo evento.

Avalanches, Terremotos, e Extinções…                                                                    Talvez não seja necessário que ocorram ‘choques exógenos’…como a conhecida tese do meteoro que caiu no México e provocou a extinção dos dinossauros… Talvez pequenos ‘eventos endógenos’ como a queda de um grão de areia expliquem extinções em massa.terremoto-Pegue um punhado de arroz, e deposite os grãos – um a um – em cima de uma mesa, de modo a formar uma pilhaEsta não crescerá para sempreA adição de um grão a mais, cedo ou tarde, provocará uma avalanche. Mas, este grão será especial, apenas porque foi colocado, no lugar certo…e na hora certa. A adição do grão poderia não ter tido nenhum efeito… – ou precipitado uma pequena avalanche… – ou, até…derrubar toda a estrutura.

A aparente complexidade de uma pilha de grãos – colapsa…na                      ordem oculta de uma ‘lei de potência’: dobrando o tamanho da                    avalanche de grãos; estas se tornam 2 vezes menos frequentes.

Quando leis de potência surgem em casos como terremotos, extinção em massa de espécies, e “crashes” em bolsas de valores, o sentido do termo universalidade para fenômenos críticos ganha dimensões inesperadas…Podemos prever a frequência das avalanches, mas não onde e quando ela irá ocorrer…ou seu tamanho. A vida na Terra também sofre de esporádicos e catastróficos episódios de colapso. Houve pelo menos          5 grandes extinções de espécies na história terrestre – e muitos biólogos não pensam            que a seleção natural seja a única causa de extinções…devendo existir nesse caso, fatores exógenos em ação. No entanto também é possível que extinções em massa possam resultar da própria dinâmica da evolução… – como um ‘fenômeno crítico‘.

Uma lei de potência… – assim como no caso de terremotos,                                                  também foi observada na análise de fósseis… – Dobrando o                                                  tamanho da extinção, esta se torna 4 vezes mais improvável.

As várias aplicações do conceito de ‘Criticalidade’                                                  Toda nova ideia em ciência é como um grão… caindo sobre a pilha do conhecimento.       Cada artigo científico é como um pacote de ideias que – quando colocado na rede de conhecimento, provoca um certo rearranjo… – Para verificar quanto ‘terremoto’ um determinado artigo provoca… podemos checar o nº de vezes que é citado por outros.

Mas, em que sentido…terremotos…incêndios florestais, extinções de espécies e crashes em ‘bolsa de valores’… são eventos semelhantes? Como, por exemplo, um evento caótico como        o crash de 1987 chegou sem aviso?… – Todos podem ser grandes flutuações — que surgem, “universalmente”…em sistemas num “estado crítico”…”fora do equilíbrio“…A organização destes sistemas, com efeito…não depende da natureza precisa das coisas envolvidas…mas, somente da forma como suas ‘influências’ se propagam…de um lugar a outro. — “Eventos raros” podem surgir… — do mero acúmulo…      — e posterior liberação imediata de estresse.

Assim como é tentador buscar grandes causas por trás de terríveis terremotos, ou mesmo extinções em massa…  –  é também tentador buscar pessoas por trás dos grandes eventos históricos. Porém, é possível que a única causa geral para tais eventos, seja a organização interna de um estado crítico, que faz desses eventos – não só possíveis … mas inevitáveis.

a) Criticalidade nas Ciências

Um dos maiores feitos de Thomas Khun (1922-1996) foi mostrar que a ciência pode funcionar através de um padrão universal de mudança ainda mais profundo do que          ele mesmo imaginara…ao conceber a ciência…um sistema de acúmulo e alívio          de estresse influenciando sua própria história… Ao ‘filósofo do paradigma’:        “Um trabalho científico revela inconsistências e gera certo estresse no mainstream. Quando este desajuste atinge certo nível, ocorre uma revolução no sistema…Novas        ideias são incorporadas e antigas abandonadas; de modo análogo à locomoção das      placas continentais. Desse modo…”revoluções científicas” pareceriam terremotos”.

b) Criticalidade na História

A história é cheia de fatos… – tidos como inexplicáveis e imprevisíveis… O conceito de ‘criticalidade‘ pode ser útil à compreensão desses fatos históricos. Hegel e Marx, por exemplo, achavam que a História evoluísse em direção a uma maturidade estável… em semelhança ao crescimento de uma árvore. Já outros… como Arnold Toynbee … creem existir ‘ciclos regulares de crescimento e declínio, em todas as civilizações. Mas, há também os que propõem a hipótese da história ser totalmente aleatória…sem nenhum padrão perceptível. A este respeito, Herbert Fisher observou, que ao historiador só há          uma regra segura… aceitar a evolução humana, governada por contingência e acaso.

c) Criticalidade nas Artes

A liberdade individual por sua vez, não oferece ‘escapatória’… Mesmo que pessoas interajam…umas com as outras…por escolhas próprias… existem ‘padrões matemáticos definidos nas atividades do grupo. Tais padrões…não costumam nos auxiliar na previsão individual do comportamento…mas podem ser capazes de predições do ‘coletivo’.

A teoria da ‘psico-história’ de Isaac Asimov, descrita, em 1950, no seu romance de ficção científica “Fundação” captura a essência do que estamos discutindo aqui. O modo como pessoas se agregam em cidades… – e os padrões populacionais dentro destas…podem ser explicados, recorrendo a simples conceitos de teoria das “transições de fase“…Dessa forma, cidades…poderiam então ser consideradas como… “conglomerados fractais“. 

Iram Gleria, Raul Matsushita e Sergio Da Silva  ‘texto base’                                                        Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 26(23/02/2004)

outras fontes:  ‘O que é a Econofísica’ # ‘O poder das leis de potência’                             *******************************************************************                          

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Com o desenvolvimento das teorias, mas sobretudo dos equipamentos de altíssima precisão necessários, os cientistas estão aos poucos explorando a difusa fronteira entre a física clássica e a física quântica. [Imagem: Frank Steglich]

“Criticalidade quântica”

Um estudo das “mudanças de fase quânticas“, realizado por um grupo de cientistas… revelou uma surpreendente relação entre magnetismo e eletricidade… – é o que afirma o físico Frank Steglich, do Instituto Max Planck… Alemanha:  “Nossos experimentos mostram…claramente, que as variáveis da física clássica não podem explicar todas “propriedades macroscópicas” dos materiais, nos pontos quânticos críticos”. 

Como a aplicação dessa tecnologia pode     revolucionar os transportes…geração de energia, ressonância magnética…e mais              outros ‘campos de pesquisa’ … é melhor sabermos mais da “supercondutividade                de alta temperatura”…afirmou o físico            Qimiao Si…da “Rice University“…EUA:

“A supercondutividade tem sido citada como o maior enigma não resolvido                      na física moderna, e estes resultados dão um apoio adicional à ideia de que                        os efeitos correlacionados aos elétrons, incluindo a ‘supercondutividade’ de                      alta temperatura, ocorrem em consequência dos pontos críticos quânticos”.

Matéria quântica crítica & Ponto quântico crítico                                                        Os metais de férmions pesados, tipo YRS são uma classe de materiais                                quanticamente críticos…e há bons indícios de que supercondutores de                                alta temperatura representam uma outra classe … desse mesmo tipo”.

Experimentos realizados com “metais magnéticos” comprovaram diretamente as consequências eletrônicas…em larga escala…dos “efeitos quanticamente críticos”.              Ao estudar uma classe de materiais tipo supercondutores de alta temperatura foi constatado um comportamento inesperado de ‘transformação de escala nas excitações eletrônicas em um desses materiais…Tais experimentos usaram metal                de férmions pesados contendo itérbio, ródiosilício; um composto da família              das chamadas “terras raras” conhecido como YRS (YbRh2Si2). – Este é um dos              materiais…”quanticamente críticos“…mais estudado… — e melhor caracterizado.

ponto crítico

A criticalidade quântica se refere a uma transição de fase, ou ponto de inflexão — que marca uma mudança abrupta nos ‘atributos físicos’ de um material. — O exemplo mais comum de ‘mudança de fase‘…é a passagem de estados físicos da água… sólida – líquida – gasosa. O termo ‘matéria quântica crítica‘…se refere a todo material que transite de fase devido apenas à agitações subatômicas, tal como foi descrito pelo “princípio da incerteza de Werner Heisenberg.

A “supercondutividade” de alta temperatura…em geral, surge no limiar do magnetismo, segundo alguns físicos, originada nas flutuações associadas à criticalidade quântico-magnética. Em sistemas magnéticos, como o YRS, teorias tradicionais tentam explicar     a ‘criticalidade quântica’ levando em conta apenas o ‘magnetismo’. Nesta abordagem os elétrons são vistos como detalhes microscópicos que não desempenham qualquer papel      na criticalidade quântica. Mas, em 2001, a equipe de Qimiao Si propôs uma nova teoria baseada em novo tipo de…”ponto quântico crítico”. — Sua “criticalidade quântica local” incorpora tanto magnetismo…como excitações eletrônicas induzidas por cargas. — Sua previsão fundamental é que o ‘volume de Fermi‘ colapsa no “ponto quântico crítico“.

O “volume de Fermi” se refere aos momentos combinados (comprimentos de onda) de todos os elétrons em um sólido cristalino. – Ele existe porque elétrons (que são ‘férmions’) devem ocupar diferentes ‘estados quânticos’.

Em 2004, o grupo registrou o 1º indício de ‘colapso’ de um volume de Fermi em matéria quântica crítica…e 3 anos mais tarde…verificou os 1ºs sinais indicadores de uma relação entre o colapso do volume de Fermi e atributos termodinâmicos, também usando o YRS.

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Ilustração esquemática de um ponto crítico quântico mostrando o diagrama de fase (a) e o crescimento de gotas de matéria quântica crítica nas proximidades do ponto crítico quântico. [Imagem: Coleman & Schofield]

Transição de fase quântica

No YRS, a transição de uma fase quântica para outra (‘ponto de inflexão‘) é marcada pela inversão entre os estados magnéticos, e não-magnéticos. Resfriando o material à temperatura próxima ao zero absoluto… e, ajustando o campo magnético aplicado ao YRS super-resfriado…a equipe de Steglich conseguiu marcar os pontos… ao longo do ‘continuum magnético’, indicando tanto o início, quanto o fim do colapso do volume de Fermi… — Este método foi aplicado de forma sistemática… numa grande faixa de temperaturas e campos magnéticos…para 2 amostras diferentes…a fim de descartar  influencias de erro amostral no resultado.

Para cada amostra foi medida a ‘largura do cruzamento‘…correspondente à distância entre os pontos inicial e final da mudança do volume de Fermi. — A quantidade de testes estabeleceu que tal mudança se dá praticamente da mesma forma, mesmo em diferentes tipos de amostras… — Mas…os experimentos também revelaram algo inteiramente novo. Após centenas de experimentos – plotando a “largura do cruzamento”… como função da temperatura, o gráfico formou uma linha reta que ia direto até a origem… Como o efeito foi o mesmo… — independente das diferenças entre amostras … a dependência linear da largura do cruzamento do ‘volume de Fermi’, em relação à temperatura, revela atributos quânticos críticos de…”transformação de escala“…sobre as “excitações eletrônicas”.

Por ser tão forte o “redimensionamento eletrônico” – em um ponto crítico quântico magnético, essa “transformação de escala” refere-se ao fato de que a matemática que descreve o “relacionamento eletrônico” é semelhante à dos “fractais“. Isso significa que tal relacionamento… não depende do tamanho da escala. – A transformação de escala no ponto crítico quântico também é dinâmica, ou seja, não ocorre apenas como uma função de escalas de comprimento – mas também em termos de escalas de tempo, como explica    Silke Paschen…pesquisador da Universidade de Viena – Áustria…e, coautor do trabalho:

“Os experimentos oferecem…pela primeira vez…indícios de uma manifesta propriedade da criticalidade quântica local, qual seja, a força motriz para a transformação de escala dinâmica… — é o colapso do ‘volume de Fermi’, ainda que a ‘transição quântica’ apresente uma característica magnética”.

Com o desenvolvimento de novas teorias…mas sobretudo com equipamentos de altíssima precisão, aos poucos vai se delineando a difusa fronteira entre… física clássica, e quântica. Além da revolucionária descoberta da “magnetricidade”, recentemente foi demonstrada a aplicação da mecânica quântica ao movimento de macro-objetos. — Outros experimentos explorando a interface clássica/quântica incluem a levitação de uma esfera por luz, e um pêndulo mecânico acionado por um sistema quântico. ### (texto base) ## out/2009 ******************************(texto complementar)********************************

Sistemas Dinâmicos Complexos‘  “Caos aqui se refere ao determinismo de certas equações diferenciais, cujas variações são capazes de exibir…uma dinâmica — extremamente complexa, na qual, apenas aparentemente pode existir… ‘aleatoriedade‘… entre elas”.

A complexidade tornou-se mais do que uma metáfora…sendo hoje, novo paradigma na ciência, com conceitos que abarcam – diferentes fenômenos,    emdiversas áreas do conhecimento:

Na matemática, por exemplo, Poincaré demonstrou queaté sistemas apresentando comportamento bem conhecido exibem procedimentos indeterminados, e Mandelbrot, com a “geometria fractal“, provou como, para alguns fenômenos…características do todo se reproduzem em suas partes. Na meteorologia, Lorenz cunhou a metáfora do ‘efeito borboleta‘…para representar…na ‘teoria do caos‘…a noção da dependência sensível às condições iniciais – ou seja…a ideia de que pequenas alterações no sistema podem provocar grandes efeitos – Enquanto na química, Prigogine demonstrava o papel das ‘estruturas dissipativas’ em sistemas termodinâmicos, nos oferecendo o conceito de ‘auto-organização‘, em biologia Maturana e Varela criavam o conceito      de “sistema autopoiético“, caracterizado por uma “auto-estruturação”, produzindo organização continuamente. E tudo isso…finalmente…nos leva à seguinte definição:

Sistemas complexos são sistemas compostos por um grande número de elementos ativos – os quais se adaptam…e mudam de comportamento devido a suas interações.       A complexidade do sistema…surge dessas diferentes interações entre componentes        e subsistemas interdependentes…São ‘sistemas não lineares‘…pois no processo de transformação…seu comportamento não é proporcional às suas causas… E também,         são “sistemas abertos“…pois, devido à sua característica interacional; energia ou informação… flui… tanto para dentro… – quanto para fora do sistema.

Seu “comportamento global” emerge dessas interações – mas não pode       ser descrito, como a simples soma dos comportamentos de cada agente.

sistemas-caos-e-complexidadeEstes “sistemas dinâmicos” se transformam,  evoluindo no tempo…e, de acordo com Edward  Lorenz, se subdividem em 2 tipos…aqueles que variam “deterministicamente“… e, os que o fazem de modo aleatórioQuando o ‘processo evolutivo’ é determinístico – na transformação, seus elementos interagem entre si; de maneira que, a longo prazo…pequenas mudanças locais podem resultar em grandes ‘alterações globais’.

Tal dependência sensível às condições iniciais é uma característica dos ‘sistemas caóticos’.  Contudo, ‘inicial’ não significa, necessariamente, o momento de criação de um sistema, e pode se referir a qualquer época que interesse ao investigador; de modo que as condições iniciais de uma pesquisa…pode ser o meio do caminho – ou…as condições finais de outra.

A maioria dos sistemas complexos exibe, o que os matemáticos chamam de ‘atratores‘,  isto é – estados, ou modos particulares de comportamentos, que o sistema ‘prefere’…de acordo com suas propriedades… – Nesse sentido, o conceito de “atrator” não se refere, necessariamente, à ‘atração‘ – mas… à uma ‘estabilidade‘ temporária de longo prazo.  Quando – por outro lado…estes sistemas apresentam “propriedades“…encontradas em diferentes escalas, ou estágios, dizemos que eles exibem dimensões fractais…Assim, a palavra fractal é usada para nomear padrões de formas semelhantes – independente da escala que exibe devido à sua propriedade de autossimilaridade. (Quando pensamos em fractais, pensamos também em operações recursivas, como as que encontramos     no ‘sistema de linguagem‘.) texto base– Vera Lúcia Menezes de Oliveira (UFMG)  *********************************************************************************

Distribuições estatísticas em sistemas complexos                                                            Quando se aumenta ao extremo as forças externas, o sistema tende a evoluir para uma situação de caos espaçotemporal, onde não mais se observam a ocorrência de padrões. Apenas alguns poucos tipos bem definidos de bifurcação são mecanismos de transição      do regime uniforme, para o caos espaço-temporal. O grau de complexidade aqui, não apenas dificulta se encontrar um modelo dinâmico apropriado – que permita prever o comportamento futuro. – Ocorre que… mesmo uma descrição em termos de grandeza estatística se torna bastante difícil, pelo fato dos padrões, em geral, não apresentarem qualquer comportamento periódico ou correlativo entre diferentes regiões do sistema.

Sistemas com grande número de interações (conhecidas ou não) possuem propriedades emergentes, isto é, propriedades que não são consequências diretas das ‘leis triviais”, mascaracterística do sistema como um todo o que gera “complexidadeEssa variabilidade ocorre em todas as escalas…e emerge, das mais simples e invariantes leis da Física … de modo que a maior parte dos sistemas, que se observam no cotidiano do dia-a-dia…parece longe dessas leis básicas.

Com efeito, partindo da física de partículas, e seguindo a trajetória de todas partículas ao longo do tempo é impossível e inútil tentar explicar esses fenômenos naturais em detalhes. As teorias de “sistemas complexos” são de “natureza estatística”, e portanto, não predizem detalhes específicos. Distribuições estatísticas são recursos matemáticos muito usados em Física, recebendo destaque nas modernas áreas da Física Estatística, e mais notavelmente, na Mecânica Quântica… — Os estudos de alguns “sistemas complexos” são realizados pela análise das distribuições estatísticas de dados sobre grandezas relevantes desses sistemas.

Distribuições Estatísticas                                                                                          Distribuições estatísticas formam a base do estudo de                                                      sistemas compostos…por um grande nº de partículas. 

Estudos iniciais em Física focavam distribuições com médias e variâncias bem definidas. Numa “distribuição normal”a média representa o valor mais provável de uma série de medidas sequenciais de uma determinada quantidade fixa – onde suavariância“, definida pela Função de Erros de Gauss…é relacionada com a incerteza dessas medidas.  Com as distribuições de ‘Maxwell-Boltzmann(termodinâmica), ou a de ‘Planck(‘efeito fotoelétrico’), o enfoque se dá na própria distribuição…que passa a ter um sentido físico. Estar fora da média não implica em erro, e uma alta variância, não indica uma medição imprecisa. A previsão passa a ser toda a distribuição. Tome-se por exemplo, um gás…as velocidades das partículas desse gás obedecem a uma distribuição estatística, e pode-se determinar, a partir dela, grandezas como temperatura e pressão do gás. Nele existirão partículas com velocidades longe da médiae este fato não constitui qualquer absurdo.

Outra distribuição de probabilidades – importante no estudo de sistemas complexos são as distribuições estocásticas de Lévy (ex: movimento browniano) que possuem variância infinita…e, às vezes, inclusive…média infinita. – Estas distribuições estão relacionadas a trajetórias aleatórias fractais chamadas…Lévy Flights…e são representadas por “saltos auto-similares”. Tais distribuições são muito usadas no estudo de sistemas não-lineares, turbulentos, caóticos e fractais…assim como a de Gauss é utilizada em sistemas simples.

Em alguns casos particulares, a Física explica, com sucesso, o comportamento de sistemas constituídos de várias partes (átomos, moléculas, ou elétrons) como, por exemplo, gases e cristais. Cristais são bem entendidos pelas leis da Física – pois os trilhões de átomos que os compõem estão distribuídos uniformemente em redes formando um sistema ordenado, onde cada átomo possui sua posição bem definida, e todos os seus pontos – precisamente, parecem iguais. — Gases… por motivo diverso, podem ser entendidos pelas leis da Física, porque suas inúmeras partículas interagem pouco entre si… formando ao contrário dos cristais, sistemas aleatórios, desordenados. Novamente, a ‘tratabilidade’ do sistema surge de sua… “uniformidade”… – Um gás parece o mesmo em todos os pontos, embora – num determinado instanteos átomos individuais possuam posições e velocidades diferentes.

Porém, o mundo não é composto somente de cristais e gases…e sim de sistemas muito mais complicadosentre os limites da ordem cristalina, e da desordem aleatória total.  Uma das questões mais interessantes sobre o Universo é como ele evoluiu…a partir de poucos tipos básicos de partículas, até gerar…por exemplo…vida, história, economia e literatura, ao invés de ter se tornado um simples gás…ou se condensado…num grande cristal. Ede fato, observam-se fenômenos complexos por todos os lados, embora até recentemente pouco esforço tenha sido empregado para entender o porquê de toda      essa complexidade…Argumenta-se que os comportamentos complexos observados na natureza refletem a tendência dos…”grandes sistemas”…com vários componentes … a evoluírem, a partir de um estado crítico, “fora do equilíbrio”, onde leves perturbações podem acarretar eventos catastróficos, ao invés de seguir caminhos graduais e suaves.

A evolução para este delicado estado ocorre sem a interferência de qualquer                agente externo…e é estabilizado apenas pelas interações dinâmicas entre os                  elementos individuais do sistema, ou seja, o seu estado é… “autorganizado”.

Sistema dinâmico caótico autorganizado                                                              Sistemas dinâmicos caóticos podem comportar processos de auto-organização.                Em muitos casos, a dinâmica dos “atratores” se confunde com tais processos. (D’Ottaviano e Bresciani – “Auto-Organização e Criação”)

Uma condição fundamental do “sistema dinâmico caótico”…é a sua sensibilidade às condições iniciais. Um dado conjunto de condições iniciais pode permitir uma previsão, com certo grau de precisão, da evolução de seus estados… – entretanto, sem a exatidão das “soluções analíticas”.

Nesse caso – um conjunto de condições iniciais, leva a um conjunto de soluções, que caracteriza um atrator do sistema,    o que significa… um ponto – uma curva,    ou superfície do “espaço de fase”… para onde todas trajetóriassão conduzidas.

Em qualquer sistema, quando seus estados se deslocam para caracterizar uma região permanente no espaço… pode-se afirmar que estes estados estão sendo atraídos para      essa região, denominada…”atrator“…que pode ser considerado como a formação de uma região restrita (no “espaço de fases”)a partir de uma região mais ampla (neste mesmo espaço)…por meio de uma ação e controle – exercidos dominantemente pelo próprio sistema com ou sem influência de elementos externos – ou, de fronteira.

Um sistema complexo pode ter muitos atratores, que podem mudar (ou sofrer mutação) em função de determinados parâmetros de controle funcionais e estruturais do sistema.

Como a organização de um sistema é representada pelo conjunto de suas características estruturais e funcionais, ela representa as relações entre os elementos e as atividades, ou comportamentos desse sistema. — Tal conceito leva em conta, que o sistema possui uma dinâmica estrutural e funcional (isto é, organizacional) subjacente…onde a estrutura e o funcionamento do sistema trazem padrões de formação (configuração) e evolução bem definidos, legando identidade ao sistema. – O processo de…”autorganização”… contudo, não carrega esses padrões de formação e evolução de modo predeterminado justamente porque nele existe a possibilidade da ‘emergência‘ de um novo estadocaracterizando ‘criação’ e ‘evolução’…através de um “mecanismo de adaptação”…estrutural e funcional.

Apesar dos sistemas dinâmicos caóticos poderem ser expressos por sistemas de equações matemáticas determinísticas – os fenômenos representados por essas equações podem não ser determináveis e previsíveis. Sob esse ponto de vista é possível considerar que tais sistemas podem conter processos que comportam “emergências auto-organizadas”

Sistemas dinâmicos, mesmo com poucos graus de liberdade, exibem comportamento caótico…quando pequenas alterações nos valores dos parâmetros das equações que o definem…o conduzirem… de um previsível comportamento periódico – a um “estado caótico determinístico”. Nessa transição para o caos, onde ocorre o ponto crítico, o sistema apresenta comportamento complexo – pela perda de estabilidade estrutural, decorrente de uma evolução hipersensível às condições iniciais. Aí, os parâmetros de organização do sistema podem influenciar na ‘transição de fase’, originando padrões distintos de organização… – Em alguns sistemas, onde a “evolução” para uma forma organizada – ocorre na ausência de interação com elementos externos… – múltiplas interações entre fatores de estabilidade e forças de instabilidade atuando no sistema dinâmico…podem promover – tanto a sua organização… – quanto a desorganização.

Nesses casos, a convergência e a divergência, ou mais explicitamentea cooperação            e a competição entre as forças de estabilidade e instabilidade podem criar condições    ideais para se ter um sistema dinâmico caótico…comportando processos que podem          ser considerados…em parte, de “organização”… – e, em parte, de…”desorganização”.

Geometria fractal x Leis de Potência

‘Sistemas em equilíbrio’, por definição, não se alteram. Ligeiramente perturbados…o estado de equilíbrio…é ligeiramente alterado. Nesse caso…a resposta do sistema é proporcional ao tamanho da perturbação — e por esse motivo, são chamados de “sistemas lineares”.  Grandes flutuações no equilíbrio… para estes sistemas, só podem ocorrer se vários eventos aleatórios atuarem ao mesmo tempo e…na mesma direção… o que é extremamente raro.

Em geraltais sistemas são bem comportadosmas em circunstâncias especiaispodem apresentar um comportamento complexo. E isso se dá, exatamentenas “transições de fase”. No ponto crítico da separação entre as fases há um modo de distribuição, em todas as escalas, que se manifesta por vários detalhes. Este tipo de comportamento foi chamado de fractais por Mandelbrot, em um estudo sobre o comprimento da costa da Noruega. Ele observou que a costa aparece como um conjunto hierárquico de fiordes dentro de fiordes, numa sucessão em todas as escalas…Dessa maneira…uma medida do comprimento dessa costa, depende da escala usada para medi-la, ou seja, o comprimento depende da “régua” utilizada para efetuar a medição Muito trabalho tem sido empregado na caracterização geométrica dos fractais, mas o problema na dinâmica da origem dos fractais, permanece.

Embora fractais e caos apareçam quase sempre juntos ‘sistemas caóticos’ não produzem estrutura fractal. Ocorre que, o movimento caótico pode ser descrito em termos de objetos matemáticos conhecidos como “atratores estranhos“…atuando em entidades abstratas, chamadas…“espaços de fase”. Estes atratores quase sempre possuem propriedades fractais, todavia…não representam os “fractais geométricos”…observados no mundo real.

George Kingsley Zipf, linguista da Universidade de Harvard, que na década de 1940,        em sua obra…”Comportamento Humano e o Principio do Menor Esforço”, formulou empiricamente a sua Lei de Zipf…realizando várias observações sobre regularidades        em sistemas de origem humana, como o uso de palavras…em um determinado texto.      Descobriu assimque gráficos logaritmos destes rankings sempre correspondiam a      uma linha reta, denotando uma lei de potência sobre essa distribuição de valores.      Uma lei não empírica mas mais precisa, derivada dos trabalhos de Claude Shannon,          foi descoberta por Benoît Mandelbrotno estudo de variação de preços de ações de algodão (e outras commodities), ao observar que a distribuição da probabilidade de alteração no preço das ações em gráfico logaritmo é uma linha reta (lei de potência).

O mais importante nestes fenômenos estudados é que eles não são uma consequência óbvia das dinâmicas envolvidas…e todas as observações são de natureza estatística. O    fato de apresentarem linhas retas em gráficos logaritmos definem as ‘leis de potência’. 

A Previsibilidade na teoria da Complexidade                                                                    A capacidade de prever é a principal diferença entre ciência e pseudociência — predizer estatísticas sobre um fenômeno, ao invés de detalhes específicos, também é uma maneira perfeitamente legítima de confrontar teoria com observação. Além disso, a complexidade resulta de eventos, em geral, imprevisíveis. Em alguns casos pode ser usada para explicar fatos que aconteceram no passado, mas nunca…para predizer o que acontecerá no futuro.

Uma ‘teoria geral de sistemas complexos’ deve ser necessariamente…abstrata – de natureza estatística, sem poder portanto, predizer detalhes…A confrontação entre teoria e experimentos/observações, que    é essencialem qualquer procedimento científico, faz-se entãocomparando as características estatísticas…sob padrões gerais. Entretanto, abstração e natureza probabilística para teorias deste tipo,  não são novidade nos campos da Física.

A enorme variabilidade dos…”sistemas complexos” – praticamente exclui qualquer possibilidade de observações detalhadas, consolidadas em um pequeno número de equações…No melhor dos casos…a teoria pode explicar porque há a ‘variabilidade’,            ou quais padrões poderiam emergir, mas não é capaz de garantir um determinado            valor para um sistema em particular. A Mecânica Estatística, por exemplo, que              trata dos grandes sistemas em equilíbrio – não pode predizer posição e velocidade            de átomos ou moléculas individuais do sistema, apenas informar sobre grandezas            médias, como temperatura e pressãoA Mecânica Quântica também não pode                fornecer informações específicas sobre velocidade e posição de partículas como elétrons, apenas a probabilidade de um experimento encontrar a partícula em um            certo estado. Novamente, o que pode interessaré alguma propriedade média do            grupo de partículas como (para elétrons)a corrente elétrica em um condutor.

Em sistemas complexos, o estado final do sistema é estabilizado pelas várias interações dinâmicas entre os elementos, e por isso, diz-se que o estado final é auto-organizado criticamente. Aí, o fato das leis da Física serem determinísticas é quase irrelevante, e embora se pense que todos sistemas complexos, inclusive os extremamente complexos ‘sistemas biológicos’ obedeçam a essas leis, é praticamente impossível conectar a física    de partículas, com a química responsável pela formação de moléculas…o agrupamento destas em células…e ainda o arranjo de um conjunto de células em “organismos vivos”.

A começar pelo Big Bang, o universo supostamente evoluiu de acordo com algumas leis. Ao longo do tempo…com o trabalho dos cientistas, estas leis puderam ser conhecidas, e todos fenômenos da natureza, em qualquer escala, deveriam ser explicados por elas. As leis da Física, de modo geralsão simples, e bem expressas, em equações matemáticas. Ocorre que a matemática envolvida na solução destas equações, mesmo para situações simples é extremamente complicada, quando existem mais do que 2 objetos a serem considerados…Nesse caso, os problemas se tornam analiticamente… “caóticos”… e sua solução pode ser apenas aproximada… com o auxílio de… “cálculos computacionais”.

Entretanto, são usualmente considerados problemas práticos, ao invés de questões físicas fundamentais. Como a filosofia da Física sempre foi ‘reducionista’… partindo do princípio de que o mundo pode ser entendido em termos das propriedades de suas menores ‘partes fundamentais’… uma vez que se consiga decompor o mundo às mais simples leis… e, as partículas mais fundamentais tenham enfim, sido identificadas, o trabalho está completo.

Luiz Cressoni Filho – UNESP/Rio Claro 2002 (texto base)

Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979.
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Uma resposta para Complexidade, Criticalidade & Leis de potência

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