Sistemas complexos… Criticalidade & Leis de potência

Caos aqui, se refere ao determinismo de um pequeno número de equações diferenciais com variações capazes de exibir uma dinâmica extremamente complexa… – onde… apenas aparentemente… há aleatoriedade entre elas.

MANDELBROT FRACTAL

MANDELBROT FRACTAL

Nas últimas décadas do século XX, uma pequena parcela da “comunidade física” passou a se interessar pela dinâmica de sistemas – nomeados complexos, cujas partes interagem de forma não-linear.

Uma das propriedades marcantes de tais sistemas é a presença de leis de escala, ou leis de potência. Estas   são observadas em vários contextos,   desde biologia… ao comportamento   das ‘bolsas de valores’.

A tentativa de se construir um esquema teórico geral para esses fenômenos… deu origem a novos ramos da física – como a ‘teoria do caos, e afísica dos sistemas complexos… Conceitos como criticalidade auto-organizada, auto-similaridadefractais, e leis de potência passaram a fazer parte da ciência a partir de 1960…  —  através dos trabalhos do matemático Benoit Mandelbrot.

Criticalidade & Leis de escala

Os Fenômenos críticos ocorrem geralmente em sistemas que se encontram distantes do equilíbrio. Várias grandezas termodinâmicas, como calor específico, compressibilidade,      e susceptibilidade magnética apresentam ‘comportamento singular’ na região crítica,  com divergências assintóticas caracterizadas por expoentes críticos

O comportamento dessas grandezas próximas a um ponto crítico apresenta                     ‘caráter universal’ caracterizado por mesmos valores de ‘expoentes críticos’.

Em um estado crítico, não há razão para buscar causas específicas para grandes eventos…Pequenas forças podem ter efeitos enormes, e catástrofes súbitas parecem surgir do nada. Flutuações no estado crítico não aparentam ser, nem aleatórias, nem previsíveis. – A rara frequência dos eventos pode ser estimada, mas não sua intensidade ou data de ocorrência.

O mais interessante… – é que conceitos matemáticos simples parecem ser comuns a uma ampla gama de “fenômenos críticos”… – apontando para uma universalidade muito além da termodinâmica. – Por sua utilidade…o conceito de ‘criticalidade‘ passou a figurar em várias disciplinas, tais como geofísicabiologiaeconomia… e história.

Trabalhos teóricos em criticalidade utilizam ‘modelos simples’ que podem ser estudados analiticamente, ou em simulações computacionais. Entender os ‘estados críticos‘ em um sistema próprio à certa classe de fenômenosnos faz entender todos demais sistemas dessa classe.

O princípio da universalidade (ubiquidade) significa que devemos selecionar os modelos matemáticos mais simples possíveis… – que possam abranger uma classe universal de fenômenos… Detalhes não são cruciais para decidirmos o resultado –         pois os fenômenos em estado crítico não possuem uma escala típica… Seja no             espaço ou no tempo, estes eventos se apresentam sob a forma das ‘leis de escala‘.

Estas leis revelam ordem e simplicidade por trás da complexidade, e também significam que, nenhuma diferença qualitativa existe entre pequenas e grandes flutuações. Eventos raros não precisam ter causa específica…e podem aparecer a qualquer momento. O que causa um pequeno efeito em uma ocasião… pode iniciar uma mudança devastadora em outra situação… Ademais…nenhuma análise das condições iniciais será suficiente para predizer o evento.

distribuição gaussiana

distribuição gaussiana

Distribuição gaussiana e leis de potência

Quando um estatístico estuda certos dados, tais como o preço de certa mercadoria… utiliza uma ferramenta indispensável: um gráfico em forma de sino, representando a distribuição gaussiana, ou…normal dos dados.

Esta curva mostra, por exemplo, a variação nos preços de certo produto…num dado período de tempo. — A maioria dos valores discretos dos preços situa-se na parte central da curva, ou seja, na média – enquanto que nos lados, a curva cai rapidamente, como uma exponencial. Isto corresponde ao fato de que grandes flutuações são, estatisticamente, pouco prováveis; e, depois de certo ponto, impossíveis.

Distribuições gaussianas são – supostamente…a norma da natureza – validadas pelo  ‘teorema do limite central‘…que diz…‘em qualquer caso onde um grande número de eventos aleatórios independentes contribuem para determinado resultado, este seguirá uma distribuição normal… — Mas… nem tudo na natureza segue uma curva normal. Mesmo ‘eventos não-gaussianos‘ podem apresentar um tipo de regularidade – na forma   de leis de potência, incompatíveis com a noção de que a média retrata a escala padrão.

Quando físicos analisam um fenômeno, encaram algum tipo de equação diferencial – onde as funções possuem alguma escala característica…Em geral, podemos expressar as funções em termos ‘exponenciais‘…onde um certo parâmetro determina a escala do problema. 

Observe-se que…sistemas com escala descrevem quase tudo na natureza — às vezes até sistemas desordenados… – A distribuição de gotas de chuva na calçada, por exemplo…tem uma escala característica – basta…cada vez mais…focalizar – para vermos que o diâmetro médio é uma gota. Mas, existem sistemas que não possuem ‘escala característica’; aqueles cujas soluções de equações funcionais são descritas por… “leis de potência“. 

Uma lei é dita lei de potência se entre 2 escalares x e y ela é tal…que a relação pode ser escrita na forma…  y = ax^k\,\! onde (constante de proporcionalidade) k (expoente) são constantesA ‘lei de potência’ é expressa por uma linha reta em um gráfico log-log pois,  sua equação na forma de logarítimos \log(y) = k\log(x) + \log(a)\,\! … corresponde à equação de uma reta:  y = m.x + c  (Na física dos fenômenos críticos, esta expressão   é conhecida por ‘hipótese de escala‘…ou de ‘homogeneidade‘).

caos financeiro

Caos nos mercados financeiros

As 1ªs tentativas de se usar a teoria do caos na descrição de ‘mercados financeiros’…foi decepcionante. – Embora a hipótese de que mercados financeiros possam ser – ‘de fato’ caóticos ainda não esteja descartada, vários estudos em ‘econofísica pressupõem, que a “dinâmica de preços”, apesar de estocástica, é governada por… “leis de potência.

Preços de mercadorias parecem se comportar desordenadamente no curto prazo…embora tendências sejam comuns quando o horizonte de tempo observado é o longo prazo. Diante disso…Hendrik Houtahkkerum economista de ‘Harvard‘, recorreu a uma distribuição gaussiana para estudar 8 anos de variações no preço do algodão.

Ele constatou que a curva não se ajusta, perfeitamente, à distribuição normal. Estranhamente, a curva se alonga em vez de cair rápido. Ao contrário de núcleos radioativos – por exemplo – onde, processos gaussianos apresentam decaimento exponencial.

Quando o jovem Benoit Mandelbrot expôs seu seminário no “Faculdade de Economia de Harvard”, mostrou uma figura bem parecida à de Houtahkker (…prontamente reconhecida por este).

Mandelbrot aproveitou a mesma base de dados… – Havia dados de preço do algodão para mais de 1 século…Então, ele utilizou os próprios computadores da IBM – local onde trabalhava…para processar esses dados.

Assim, ele confirmou que estes não se ajustavam a uma distribuição normal. Mas percebeu que havia também uma certa ordem oculta (simetria a pequena e grande escalas). – Variações diárias se pareciam com variações mensais; indicando independência de escala das sequencias de variações, e a consequente presença de… ‘leis de potência.

Era isto o que Mandelbrot procurava — um ‘padrão‘,                                                           onde se pensava existir apenas aleatoriedade.

Auto-similaridade e fractais

Logo, ele associou o fenômeno, aos problemas que a sua empresa (IBM) enfrentava nas suas linhas telefônicas… – De vez em quando, surgiam ruídos que provocavam erro nos dados transmitidos. – Mandelbrot sabia que os ruídos – apesar de aleatórios … exibiam características peculiares – em determinados períodos… praticamente não havia ruídos, enquanto que em outros apareciam vários erros de transmissão… Além disso, dentro de certos períodos de erro havia períodos de transmissão perfeita. – A previsão dos ruídos era praticamente impossível.

Com efeito, há um tipo de ruído oscilante que segue uma lei de potência que o relaciona inversamente com sua frequência f…o ruído 1/f. Este pode ser encontrado numa grande variedade de sistemas…desde resistores e ampulhetas, até fluxo de rios, e luminosidade das estrelas…A teoria geral que justifica o surgimento desse ruído, explica a razão física para o surgimento dos fractais, bem como da ‘criticalidade auto-organizada‘…De acordo com ela… – tanto o ruído 1/f… quanto os fractais podem surgir na natureza sem     a necessidade de intervenção externa… Bak et all(“Self-organized criticality”/1987)

“conjunto de Cantor” 
(o 3º excluído, de cima para baixo)

Graças à sua forte intuição geométrica, Mandelbrot associou os 2 fenômenos à construção matemática do conjunto de Cantor.

Mercados financeiros, em particular, possuem diversas…das propriedades típicas de ‘sistemas complexos‘…

Sendo ‘sistemas abertos’, em que sub-unidades interagem de um modo não-linear — possuem propriedades bem diferentes dos ‘sistemas lineares‘.

Por exemplo…se A e B forem soluções de um sistema de equações diferenciais…então, A+B  também será uma solução. Esta regra de superposição não se aplica a ‘sistemas não-lineares‘…( — estes se resolvem numericamente…enquanto ‘sistemas lineares‘, em geral, possuem soluções analíticas.)

Econofísica… e sistemas críticos                                                                                              Se mercados financeiros também forem criticamente organizados,’ crashes’ em                   bolsas de valores não serão anomalias, mas eventos ordinários (embora raros).

Quando oferta e demanda estão em mercados eficientes, o preço expressa o valor normal aos fundamentos estruturais da economia. Na ausência de grandes choques de demanda e oferta, temos que esperar apenas pequenas flutuações para ajustar seus excessos. Grandes variações de preços seriam  ‘altamente improváveis’… Em outras palavras, as variações de preços teriam que se comportar de acordo com uma ‘distribuição gaussiana‘… Seriam um ‘random walk’  —  na linguagem da física estatística.

Benoit Mandelbrot (1924-2010)

Benoit Mandelbrot (1924-2010)

Quando Mandelbrot descobriu não haver distribuição gaussiana… nem escala típica nas variações de preço do algodão, abriu-se a possibilidade de grandes flutuações de preço… – como resultado de um arranjo natural no funcionamento desses mercados… – Ou seja, poderiam oscilar ferozmente de tempos em tempos sem que nada de excepcional se desse nos ‘fundamentos econômicos’.

Contudo, as funções de distribuição mais adequadas na análise do problema… – não decaem exponencialmente, como a ‘gaussiana‘… — Elas devem seguir uma lei de potência, caracterizando assim ‘ausência de escala‘.

As distribuições usadas por Mandelbrot foram as distribuições de Lévy… De fato, as leis de potência podem conviver pacificamente com a teoria financeira vigente. Os econofísicos, inclusive, propõem certa conciliação. – Não descartando a clássica hipótese de mercados eficientes, eles apenas reduzem a sua significância a um caso limite.

Os economistas da área de ‘finanças internacionais’ estão entre aqueles que têm mais chance de tratar os mercados financeiros como um ‘sistema crítico‘...Afinal, como observa Paul Krugman…a maioria dos economistas de hoje acha que  –  os mercados internacionais estão mais para a irracionalidade e instabilidade descritas por Keynes,       do que para o modelo de mercados financeiros eficientes.

Se a macroeconomia for um sistema criticamente organizado, um certo choque não pode ser culpado por desestabilizá-la… A forma como a economia e suas instituições foram ‘estruturalmente‘ desenhadas para responder aos choques, seria o fator mais importante.

Criticalidade auto-organizada

É comum pensar que para se atingir pontos críticos, alguma intervenção externa seja necessária…  Porém, às vezes a criticalidade é naturalmente espontânea — como o fenômeno da    “criticalidade autorganizada.

Esta parece surgir quando as partes de um sistema, bem lentamente…se afastam de um ‘estado de equilíbrio‘, onde as ações individuais se acham dominadas pelas interações com as demais partes do sistema.

Florestas são um bom exemplo de ‘criticalidade autorganizada‘. A rede de árvores forma um estado crítico onde – por exemplo…uma pequena faísca pode se alastrar de modo a destruir toda a floresta, ou destruir apenas um pequeno número de árvores. Ou, não ter efeito algum. Aqui também temos lei de potência na ‘distribuição incendiária’.

Os fundamentos de um ‘estado crítico‘ refletem-se em ‘leis de potência‘, que não possuem escala característica…revelando a       ausência de um ‘tamanho esperado’…para o próximo evento.

Avalanches, Terremotos, e Extinções…                                                                    Talvez não seja necessário que ocorram ‘choques exógenos’…como a conhecida tese do meteoro que caiu no México e provocou a extinção dos dinossauros… Talvez pequenos ‘eventos endógenos’ como a queda de um grão de areia expliquem extinções em massa.

terremoto

Pegue um punhado de arroz…e deposite os grãos – um a um – em cima de uma mesa, de modo a formar uma pilha. A pilha não crescerá para sempre. A adição de um grão a mais, cedo ou tarde, provocará uma avalanche. Mas, este grão será especial, apenas porque foi colocado, no lugar certo e na hora certa. A adição do grão poderia não ter tido nenhum efeito – ou então, precipitado uma pequena avalanche – ou, derrubar toda a estrutura.

A aparente complexidade de uma pilha de grãos colapsa – na simplicidade…  e na ordem oculta de uma… ‘lei de potência‘.

Quando ‘leis de potência surgem em casos como terremotos…extinção de espécies em massa, e crashes de bolsas de valores, o sentido do termo universalidade para fenômenos críticos ganha dimensões inesperadas. Podemos prever a frequência das avalanches, mas não, quando ela irá ocorrer – ou, seu tamanho. – Não é surpreendente que as avalanches maiores ocorram com menor frequência que menores – o surpreendente é que tenhamos novamente uma lei de potência ‘dobrando o tamanho da avalanche de grãos, estas se tornam 2 vezes menos frequentes.’

A vida na Terra também sofre de esporádicos e catastróficos episódios de colapso. Houve pelo menos  5  grandes extinções de espécies na história terrestre… E, com efeito, muitos biólogos não acreditam que a seleção natural seja a única causa de extinções, devendo existir fatores exógenos em ação. No entanto, é possível que extinções em massa possam resultar da própria dinâmica da evolução, como um fenômeno crítico.

Uma lei de potência foi, de fato, observada na análise de fósseis. Curiosamente, ela é idêntica à lei de potência da distribuição de     terremotos… dobrando o tamanho da extinção — ela se torna 4                 vezes mais difícil de ocorrer.

As várias aplicações do conceito de ‘Criticalidade’ 

Toda nova ideia em ciência é como um grão – caindo sobre a pilha do conhecimento.       Cada artigo científico é como um pacote de ideias que – quando colocado na rede de conhecimento…provoca um certo rearranjo. – Para verificar quanto ‘terremoto’ um determinado artigo provoca…podemos checar o nº de vezes que é citado por outros.

A distribuição de citações segue uma ‘lei de potência’ – toda vez que o nº de               citações dobra… – o nº de artigos que recebem citações diminui em 8 vezes.    

Mas, em que sentido… terremotos… incêndios florestais, extinções de espécies… e crashes de bolsas de valores são eventos similares? Como, por exemplo… – um ‘evento caótico‘ como o crash de 1987 chegou sem aviso?

Todos eles podem ser grandes ‘flutuações’ que surgem, ‘universalmente‘, em sistemas que se encontram ‘fora do equilíbrio’, em um ‘estado crítico’… – A organização deles independe da natureza precisa das coisas envolvidas…mas, somente da maneira como as ‘influências’ se propagam…de um lugar a outro… – Eventos raros podem surgir…do mero acúmulo… – e posterior liberação imediata de ‘estresse’.

Assim como é tentador buscar grandes causas por trás de terríveis terremotos, ou mesmo extinções em massa…  –  é também tentador buscar pessoas por trás dos grandes eventos históricos. Porém, é possível que a única causa geral para tais eventos, seja a organização interna de um estado crítico, que faz desses eventos – não só possíveis … mas inevitáveis.

Criticalidade nas Ciências

Um dos maiores feitos de Thomas Khun (1922-1996) foi mostrar que a ciência é capaz de funcionar…apesar do fato de cientistas serem humanos…Pode-se até argumentar que ele descobriu um ‘padrão universal de mudança‘ … ainda mais profundo do que ele mesmo imaginara, ao conceber a ciência como um sistema de acúmulo e alívio de estresse influenciando sua própria história… – De acordo com o ‘filósofo do paradigma’…

“Um trabalho científico revela inconsistências e gera certo estresse no mainstream. Quando este desajuste atinge certo nível, ocorre uma revolução no sistema…Novas   ideias incorporadas, e antigas abandonadas … de forma análoga ao deslocamento           das ‘placas continentais’. Desse modo, revoluções científicas seriam parecidas com terremotos”.

Criticalidade na História

A história é cheia de fatos… – tidos como… inexplicáveis e imprevisíveis. O conceito de criticalidade pode ser útil à compreensão desses fatos históricos. Hegel e Marx, por exemplo pensaram que a História evoluísse em direção a uma maturidade estável… em semelhança ao crescimento de uma árvore. Já outros… como Arnold Toynbee … creem existir ciclos regulares de crescimento e declínio, em todas as civilizações.

Mas há também os que propõem a hipótese da história ser completamente aleatória, sem nenhum padrão perceptível. A este respeito, Herbert Fisher observou que, ao historiador, há apenas uma regra segura… – aceitar que o desenvolvimento humano é governado por contingência e acaso.

Criticalidade nas Artes

A liberdade individual, por sua vez, não oferece escapatória… — à fatal criticalidade…Mesmo que pessoas interajam umas com as outras por meio de suas ‘escolhas pessoais’… existem ‘padrões matemáticos definidos nas atividades do grupo. Tais padrões…não costumam nos auxiliar na previsão individual do comportamento…mas podem ser capazes de predizer o que esperarmos do coletivo.

A teoria da ‘psico-história’ de Isaac Asimov, descrita, em 1950, no seu romance de ficção científica “Fundação” captura a essência do que estamos discutindo aqui. O modo como pessoas se agregam em cidades… – e os padrões populacionais dentro destas…podem ser explicados, recorrendo a simples conceitos de ‘teoria das transições de fase‘. Ou seja, cidades…possivelmente…são fractais

Iram Gleria, Raul Matsushita e Sergio Da Silva  ‘texto base’                                                        Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 26   (23/02/2004)

outras fontes: ‘O poder das leis de potência’ ‘O que é a Econofísica’                            ‘Fazendo média com a média’ (Carlos Orsi) # ‘Matemática dos Fractais’                            ************************(texto complementar)**********************                                “Até os últimos anos … a concepção de natureza sustentada pela Física, enfatizou a estabilidade e o equilíbrio…A biologia e a história humana apareciam então, como distanciando-se do comportamento normal atribuído à matéria…Hoje, no entanto             o que vemos é a instabilidade, as flutuações, a irreversibilidade em todos os níveis. Estamos no limiar de um novo capítulo da história dos saberes, que exigirá novos instrumentos e conceitos – vetores de novos tipos de coerência – para os quais…a assimilação da racionalidade científica ao reducionismo e dualismo — é algo que pertence ao passado.” ———-(Ilya Prigogine – ‘Ciência, Razão e Paixão’)————     ****************************************************************************

‘Sistemas Dinâmicos Complexos (ou Caóticos)                                                             A complexidade tornou-se mais do que uma metáfora – sendo hoje… novo paradigma na ciência, oferecendo conceitos que ajudam a entender diferentes fenômenos, em diferentes áreas do conhecimento:

Em matemática, Poincaré demonstrou que, mesmo sistemas cujo comportamento são bem conhecidos…exibem comportamentos ‘indeterminados’… e, Mandelbrot… — com a geometria fractal, provou como características do Todo – para alguns fenômenos…se reproduzir em suas partes.

Em meteorologia, Lorenz cunhou a metáfora do ‘efeito borboleta para representar na ‘teoria do caos‘…a noção da dependência sensível às condições iniciais – ou seja… a ideia de que pequenas alterações no sistema… podem provocar enormes consequências.

Em química, Prigogine demonstrou o papel das ‘estruturas dissipativas‘ …           em ‘sistemas termodinâmicos’, nos oferecendo o conceito de ‘auto-organização’.

Em biologia, Maturana e Varela criaram o conceito de sistema autopoiético, compreendido como um sistema que exibe características de auto-estruturação, que produz organizações continuamente.

E Larsen-Freeman demonstrou a aplicabilidade dos conceitos de complexidade em Linguística Aplicada, postulando alguns princípios metodológicos, e, implicações práticas à investigação empírica de seu desenvolvimento… – Desse modo, definiu-se:

Sistemas complexos são sistemas compostos por um grande número de elementos ativos – os quais se adaptam…e mudam de comportamento devido a suas interações.       A “complexidade” do sistema surge dessas diferentes interações entre componentes e subsistemas interdependentes. – São sistemas não lineares pois no processo de mudança… seu comportamento não é proporcional às suas causas… Sendo também sistemas abertos… tendo em vista que… devido à sua característica interacional; energia ou informação, flui… – tanto para dentro… – quanto para fora do sistema.

Seu comportamento global emerge dessas interações – mas…não pode ser descrito como a simples soma dos comportamentos de cada agente. Esses sistemas são também sistemas dinâmicos que de acordo com Edward Lorenz, se subdividem em 2 tipos –   os que “variam deterministicamente” ao longo do tempo … e, aqueles que o fazem “de forma aleatória” … – Este último parece ser o caso da ‘aquisição de linguagem’.

Um sistema dinâmico, portanto, é tudo o que se move, muda, ou evolui no tempo. Durante esse processouns agentes aprendem uns com os outros, recebem feedback,         e se transformam… – Tais sistemas são também chamados ‘caóticos‘ pois pequenas mudanças nas condições locais, podem causar…a longo prazo, grandes alterações em     seu ‘comportamento global’. Essa peculiar característica dos sistemas caóticos é mais conhecida como dependência sensível às condições iniciais‘.

Contudo, ‘inicial’ não significa, necessariamente, o momento de criação de um sistema, e pode se referir a qualquer época que interesse ao investigador; de modo que as condições iniciais de uma pesquisa…pode ser o meio do caminho – ou…as condições finais de outra.

A maioria dos sistemas complexos exibe, o que os matemáticos chamam de atratores,  isto é – estados, ou modos particulares de comportamentos, que o sistema – de acordo com suas propriedades, ‘prefere’…Nesse sentido, o conceito de “atrator” não se refere, necessariamente, à ‘atração’ – mas… à uma ‘estabilidade‘ temporária de longo prazo.

Quando, por outro lado, os sistemas apresentam propriedades que são encontradas em diferentes escalas, ou estágios, dizemos que eles exibem dimensões fractais…Assim, a palavra fractal é usada para nomear padrões de formas semelhantes – independente da escala que exibe devido à sua propriedade de autossimilaridade. (Quando pensamos em fractais, pensamos também em operações recursivas, como as que encontramos     no ‘sistema de linguagem‘.) texto base” – Vera Lúcia Menezes de Oliveira (UFMG)

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Sobre Cesarious

estudei Astronomia na UFRJ no período 1973/1979... (s/ diploma)
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2 respostas para Sistemas complexos… Criticalidade & Leis de potência

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